新湘教版必修4高中数学 数列的概念.docx

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新湘教版必修4高中数学数列的概念

9．1

数列的概念

第一课时　数列的概念

[读教材·填要点]

1．数列及其有关概念

（1）数列：

按某种规则依次排列的一列数叫作数列．

（2）项：

数列中的每一个数叫作数列的项，排在第1位的数叫作数列的首项，排在第n位的数叫作数列的第n项．

（3）数列的表示：

数列通常写成a1，a2，…，an，…，其中an表示数列的第n项，数列也可以简记为{an}．

2．数列的分类

3．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式．

[小问题·大思维]

1．1,2,3,4与4,3,2,1是否是相同的数列？

两个数列相同的条件是什么？

[提示]　两数列不是相同的数列．两个数列相同必须同时满足两个条件：

①两个数列中各数相同；②各数的排列次序相同．

2．{an}与an有什么区别？

[提示]　{an}与an是不同的概念．{an}表示数列a1，a2，a3，…，an…，而an仅表示数列{an}的第n项．

3．数列和函数有什么关系？

[提示]　数列可以看成以正整数集N＋（或它的有限子集{1,2，…，n}）为定义域的函数an＝f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．故数列是一种特殊的函数．

已知数列的通项公式写出前几项

已知数列{an}的通项公式an＝（－1）n，求a3，a10，a2n－1.

[解]　当n＝3时，a3＝（－1）3＝－，

当n＝10时，a10＝（－1）10＝，

故a2n－1＝（－1）2n－1＝－.

数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．,

1．根据数列的通项公式，写出它的前4项．

（1）an＝；

（2）an＝.

解：

（1）在通项公式中依次取n＝1,2,3,4，便可得数列{an}的前4项：

a1＝，a2＝＝，a3＝，a4＝＝.

（2）在通项公式中依次取n＝1,2,3,4，便可得数列{an}的前4项：

a1＝－1，a2＝，a3＝－，a4＝.

用观察法求数列的通项公式

写出数列的一个通项公式，使得它的前几项是下列各数．

（1）－1，，－，，…；

（2）0.9,0.99,0.999,0.9999，…；

（3）3,5,3,5,3,5，….

[解]　

（1）任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用－1的多少次幂进行调整，其通项公式为an＝（－1）n·.

（2）原数列可变形为，，，，…，故通项公式为an＝1－.

（3）数列给出前6项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4,4＋1＝5,4－1＝3，因此数列的通项公式又可以写为an＝4＋（－1）n.

1．观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n的关系”，从而确定数列的通项公式．

2．利用观察法求数列的通项时，要抓住以下几个特征：

（1）分式中分子、分母的特征；

（2）相邻项的变化特征；

（3）拆项后的特征；

（4）各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．,

2．写出数列的一个通项公式，使它的前几项是下列各数．

（1），，，，，…

（2），－1，，－，，－，…

（3）3,33,333,3333，…

解：

（1）数列的前5项可以分别改写成，，，，，根据这个规律，数列的第n项可以是，因此，数列的一个通项公式是an＝，n∈N＋.

（2）数列的前5项可以分别改写成，－，，－，，分子分别为12＋1,22＋1,32＋1,42＋1,52＋1，分母分别为2×1＋1,2×2＋1,2×3＋1,2×4＋1,2×5＋1，且奇数项为正，偶数项为负，根据这个规律，数列的第n项可以是（－1）n＋1.因此数列的一个通项公式是an＝（－1）n＋1，n∈N＋.

（3）原数列可改写成×9，×99，×999，×9999，根据这个规律，数列的第n项可以是×（10n－1），因此，数列的一个通项公式是an＝×（10n－1），n∈N＋.

判定数列中项的问题

已知数列{an}的通项公式为an＝，试问和是不是此数列中的项？

如果是，是第几项？

[解]　令＝，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8，又n∈N＋，所以n＝5.所以是此数列的第5项．

令＝，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝或n＝－，因为n∈N＋，所以不是此数列中的项．

判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去列方程．若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．

3．已知有穷数列：

3,5,7,9,11，…，2m＋7（m∈N＋），其中每一项都比它的后一项小2.

（1）写出这个数列的一个通项公式；

（2）指出4m＋9（m∈N＋）是不是这个数列中的项，并说明理由．

解：

（1）观察可得an＝2n＋1，由末项为2m＋7可知，若2n＋1＝2m＋7，则n＝m＋3，说明此数列共有m＋3项．

∴这个数列的一个通项公式为an＝2n＋1（n＝1,2,3，…，m＋3）．

（2）由2n＋1＝4m＋9，得n＝2m＋4，又2m＋4＝（m＋3）＋（m＋1），且m∈N＋，∴2m＋4>m＋3，∴4m＋9不是这个数列中的项．

[随堂体验落实]

1．数列1,3,6,10，x,21,28，…中，x的值是（　　）

A．12　　　　　　　　B．15

C．17D．18

解析：

选B　根据题目所给数列的特点，3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4，x－10＝5,21－x＝6.

故x＝15.

2．已知数列，，，，…，那么9是这个数列的第几项（　　）

A．12B．13

C．14D．15

解析：

选C　由所给出的前4项，可归纳出通项公式为an＝，令an＝9，可解得n＝14.

3．数列－1，，－，，…的一个通项公式是（　　）

A．an＝（－1）n

B．an＝（－1）n

C．an＝（－1）n

D．an＝（－1）n

解析：

选A　数列可以改为－，，－，….

分子1,4,9,16，…，n2，

分母1,3,5,7，…，2n－1，

符号（－1）n，故an＝（－1）n.

4．一个数列给出前三项：

2,4,8，有下面三个通项公式：

（1）an＝n2－n＋2；

（2）an＝2n；（3）an＝n2，则这个数列的通项公式可能为________（把你认为正确的序号都填上）．

解析：

代入验证可知

（1），

（2）都满足．

答案：

（1）、

（2）

5．写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别为下列各数．

（1）3,5,9,17,33；

（2）4，－4,4，－4,4；

（3）1,0,1,0；

（4），，，.

解：

（1）每一项都可以看成2的n次幂加1的形式，

∴an＝2n＋1.

（2）数列中的每一项的绝对值均等于4，

只有各项的系数的符号正负相间，

∴an＝4（－1）n＋1.

（3）原数列可改写为＋，－，＋，…前、后项正负相间，

∴an＝＋（－1）n＋1.

（4）可将分子、分母分别求其通项，再合并，分子通项为2n－1，分母通项为2n＋1，

∴an＝.

[感悟高手解题]

写出数列0,2,0,2,0,2，…的一个通项公式．

[解]　法一：

∵数列的奇数项与偶数项分别相同，可利用分段函数表示．

∴an＝

法二：

该数列具有周期性，可考虑利用较常见的周期函数表示∴an＝2.

法三：

该数列也可看成由以下两个数列叠加而成．

①1,1,1,1，…

②－1,1，－1,1，…

而数列①的通项为bn＝1，

数列②的通项为cn＝（－1）n，

∴原数列的通项公式为an＝1＋（－1）n.

[点评]　法一、法二、法三给出了同一数列不同形式的通项公式，这说明数列的通项公式不一定是唯一的．

一、选择题

1．数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于（　　）

A．2　　　　　　　　　　B．3

C．9D．32

解析：

选B　因为an＝3n－1，

所以a2＝32－1＝3.

2．数列0，，，，，…的一个通项公式是（　　）

A．an＝　　　　　B．an＝

C．an＝D．an＝

解析：

选C　已知数列可化为：

0，，，，，…，故an＝.

3．已知数列{an}的通项公式an＝log（n＋1）（n＋2），则它的前30项之积是（　　）

A.B．5

C．6D.

解析：

选B　a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.

4．已知数列，，2，，…，则2是该数列的（　　）

A．第6项B．第7项

C．第10项D．第11项

解析：

选B　由数列，，，，…，

得通项公式为an＝，

令＝2，∴3n－1＝20，∴n＝7.

二、填空题

5．已知数列{an}，an＝bn＋m（b<0，n∈N＋），满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.

解析：

∵∴

∴an＝（－1）n＋3，∴a3＝（－1）3＋3＝2.

答案：

2

6．数列0.8,0.98,0.998,0.9998…的一个通项公式是________．

解析：

0.8＝1－0.2＝1－，

0．98＝1－0.02＝1－，

0．998＝1－0.002＝1－，

0．9998＝1－0.0002＝1－，

猜想：

an＝1－.

答案：

an＝1－

7．已知数列2，，2，…的通项公式为an＝，则a5＝________.

解析：

将a1＝2，a2＝代入通项公式得

∴

所以an＝＝.

所以a5＝＝.

答案：

8．如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．

解析：

4个图形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，都是3的指数幂，猜想数列的通项公式为an＝3n－1.

答案：

an＝3n－1

三、解答题

9．根据下列各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

（1）－1,7，－13,19，…；

（2）7,77,777,7777，…；

（3），，，，，….

解：

（1）应解决两个问题．一是符号问题．可考虑用（－1）n或（－1）n＋1表示；二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面数的绝对值总比它前面数的绝对值大6，故通项公式an＝（－1）n（6n－5）．

（2）先联想1,11,111,1111，…的通项，它又与数列9,99,999,9999，…的通项有关，而

＝10n－1，于是an＝（10n－1）．

（3）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…每一项都是两个相邻奇数的乘积．

经过组合所求数列的通项公式an＝.

10．数列{an}的通项公式是an＝n2＋1－10n.

（1）依次写出该数列的前3项；

（2）判别25是不是该数列中的项；

（3）求该数列的最小项．

解：

（1）a1＝1＋1－10＝－8，a2＝22＋1－10×2＝－15，同理可得a3＝－20；

（2）由n2＋1－10n＝25，解得：

n＝12（n＝－2舍去），因为12∈N＋，所以25是该数列的第12项；

（3）配方得an＝n2＋1－10n＝（n－5）2－24，所以，n＝5时，数列的最小值是－24，即数列的第5项为最小项，为－24.

第二课时　数列的递推公式

[读教材·填要点]

递增、递减数列

（1）若anan＋1，n∈N＋，则数列{an}叫作单调递减数列．

（2）递推公式

如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f（an），n≥1.那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式，a1称为数列{an}的初始条件．

[小问题·大思维]

如何判定数列的单调性？

[提示]　判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化为判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定，可用作差比较或作商比较．

数列的最大项、最小项及单调性问题

已知数列{an}的通项公式是an＝（n＋1）n，试问该数列{an}有没有最大项？

若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．

[解]　法一：

∵an＋1－an＝（n＋2）n＋1－（n＋1）n＝n×，

当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；

当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1

∴a1a11>a12>…，

∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a9＝a10＝10×9.

法二：

根据题意，令

即解得9≤n≤10.又n∈N＋，

∴n＝9或n＝10.∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a9＝a10＝10×9.

研究数列的最大（小）项问题的常用途径为

（1）由于数列是特殊的函数，可画出数列的图像求得数列的最大项，需注意使an为最大项的n值必须是正整数；

（2）利用不等式组找到最大项an.

1．设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn（n∈N＋），若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围．

解：

因为数列{an}是单调递增数列，

所以an＋1－an>0（n∈N＋）恒成立．

又an＝n2＋kn（n∈N＋），

所以（n＋1）2＋k（n＋1）－（n2＋kn）>0恒成立，

即2n＋1＋k>0，所以k>－（2n＋1）（n∈N＋）恒成立．

而n∈N＋时，－（2n＋1）的最大值为－3（n＝1时取得），

所以k>－3即为所求的取值范围．

由数列的递推公式求数列的项

数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a－anan＋2＝（－1）n，求{an}的前5项．

[解]　由a－anan＋2＝（－1）n，得an＋2＝，又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝＝＝10，a4＝＝＝33，a5＝＝＝109.∴数列{an}的前5项为1,3,10,33,109.

由递推公式求数列的项的方法

（1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．

（2）若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．

（3）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．

2．已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项．

（1）a1＝0，an＋1＝an＋（2n－1）；

（2）a1＝1，an＋1＝.

解：

（1）∵a1＝0，an＋1＝an＋（2n－1），

∴a2＝a1＋（2×1－1）＝1，a3＝a2＋（2×2－1）＝4，

a4＝a3＋（2×3－1）＝9，a5＝a4＋（2×4－1）＝16.

∴它的前5项为0,1,4,9,16.

（2）∵a1＝1，an＋1＝，

∴a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.

∴它的前5项依次为1，，，，.

由已知数列递推公式求通项公式

（1）已知a1＝1，an＋1－an＝2，求通项公式；

（2）已知a1＝1，an＋1＝2an，求通项公式．

[解]　

（1）法一：

（累加法）∵a1＝1，an＋1－an＝2，

∴a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2，将这些式子的两边分别相加得（a2－a1）＋（a3－a2）＋（a4－a3）＋…＋（an－an－1）＝2（n－1），即an－a1＝2（n－1），又a1＝1，∴通项公式为an＝2n－1.

法二：

（迭代法）an＝an－1＋1×2＝an－2＋2×2＝…＝a1＋（n－1）×2＝2n－1.

（2）法一：

（累乘法）由已知得＝2（n≥2），∴＝2，＝2，＝2，…，＝2，将这些式子的两边分别相乘得···…·＝＝2n－1（n≥2），又a1＝1＝20，∴通项公式为an＝2n－1.

法二：

（迭代法）an＝2an－1＝22an－2＝23an－3＝…＝2n－1a1＝2n－1，即通项公式为an＝2n－1.

由数列的递推公式求通项公式的常用方法

（1）累加法

当an－an－1＝f（n）满足一定条件时，

常用an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1累加．

（2）累乘法

当＝g（n）满足一定条件时，

常用an＝··…··a1累乘．另外也可以通过迭代法求得通项公式，它们都是求递推数列通项公式的有效方法．

3．设{an}是首项为1的正项数列，且＝.求它的通项公式．

解：

法一（累乘法）：

····…·

＝····…·，

∴＝.

又∵a1＝1，∴an＝a1＝.

法二（迭代法）：

∵an＋1＝an，

∴an＝an－1＝·an－2

＝··an－3＝…

＝···…·a1，

∴an＝.

[随堂体验落实]

1．已知数列{an}中，an－1＝man＋1（n>1），且a2＝3，a3＝5，则实数m等于（　　）

A．0　　　　　　　　　B.

C．2D．5

解析：

选B　由a2＝ma3＋1，得3＝5m＋1，

∴m＝.

2．已知数列{an}满足a1>0,2an＋1＝an，则数列{an}是（　　）

A．递增数列B．递减数列

C．常数列D．以上都不正确

解析：

选B　∵＝<1，a1>0，

∴{an}是一个递减数列．

3．数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＝an－1an－2（n>2），则a4等于（　　）

A．2B．3

C．6D．18

解析：

选D　a3＝a2a1＝3×2＝6，

a4＝a3a2＝6×3＝18.

4．已知f

（1）＝2，f（n＋1）＝（n∈N*），则f（4）＝________.

解析：

∵f

（1）＝2，f（n＋1）＝，

∴f

（2）＝＝.

∴f（3）＝＝＝.

f（4）＝＝＝.

答案：

5．已知函数f（x）＝x－.数列{an}满足f（an）＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．

解：

∵f（x）＝x－，

∴f（an）＝an－，

∵f（an）＝－2n.

∴an－＝－2n，

即a＋2nan－1＝0.

∴an＝－n±.

∵an>0，∴an＝－n.

[感悟高手解题]

在数列{an}中，a1＝2，a2＝1，且an＋2＝3an＋1－an，求a6＋a4－3a5.

[解]　法一：

∵a1＝2，a2＝1，

an＋2＝3an＋1－an，

∴a3＝3a2－a1＝3×1－2＝1，

a4＝3a3－a2＝3×1－1＝2，

a5＝3a4－a3＝3×2－1＝5，

a6＝3a5－a4＝3×5－2＝13，

∴a6＋a4－3a5＝13＋2－3×5＝0，

法二：

∵an＋2＝3an＋1－an，

令n＝4，

则有a6＝3a5－a4，

∴a6＋a4－3a5＝0.

[点评]　递推公式是一种给出数列的方法，应用递推公式可以求数列中的项，但需要一项一项去递推，故在运算过程中要格外细心，中间一个值的计算失误，往往引起后面值的错误．

一、选择题

1．符合递推关系式an＝an－1的数列是（　　）

A．1,2,3,4，…　　　　　B．1，，2,2，…

C.，2，，2，…D．0，，2,2，…

解析：

选B　B中从第二项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.

2．已知数列{an}对任意的p，q∈N＋满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于（　　）

A．－165B．－33

C．－30D．－21

解析：

选C　a2＝a1＋a1＝－6，所以a1＝－3.

a10＝a5＋a5＝2a5＝2（a2＋a3）＝2[a2＋（a2＋a1）]

＝4a2＋2a1＝－24－6＝－30.

3．数列{an}中，已知a61＝2018，且an＋1＝an＋n，则a1等于（　　）

A．176B．177

C．188D．179

解析：

选C　∵an＋1－an＝n，

∴a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，a61－a60＝60，

∴a61－a1＝1＋2＋…＋60，

∴a1＝188.

4．已知函数f（x）＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f（an），n∈N＋，则a2017＋a2018等于（　　）

A．4B．

C.D.

解析：

选B　a2＝f＝－1＝；

a3＝f＝－1＝；

a4＝f＝＋＝；

a5＝f＝2×－1＝；

a6＝f＝2×－1＝；

即从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列．

∴a2017＋a2018＝a4＋a5＝.故选B.

二、填空题

5．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－（n≥2），则a16＝________.

解析：

a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列为循环数列，∴a1＝a4＝a7＝a10＝a13＝a16＝.

答案：

6．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列的数值最大的项为第________项．

解析：

∵f（n）＝－2n2＋21n

＝－22＋（n∈N＋），

∴n＝5或6时an最大．

∵a5＝55，a6＝54，∴最大项为第5项．

答案：

5

7．已知数列{an}中，an＋1＝对任意正自然数n都成立，且a7＝，则a5＝________.

解析：

由已知a7＝＝，所以a6＝，又因为a6＝＝，所以a5＝1.

答案：

1

8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于________．

解析：

∵an＋1－an＝ln，

∴a2－a1＝ln2，a3－a2＝ln，a4－a3＝ln，…，an－an－1＝ln，

以上n－1个式子相加可得：

an－a1＝ln2＋ln＋ln＋…＋ln＝lnn，∴an＝2＋lnn.

答案：

2＋lnn

三、解答题

9．一个数列的通项公式为an＝30＋n－n2.

（1）问－60是否为这个数列中的项？

（2）当n分别为何值时，an＝0，an＞0，an＜0.

（3）当n为何值时，an有最大值，并求出最大值．

解：

（1）令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0，

∴n＝10或n＝－9（舍），

∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60.

（2）令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0.

∴n＝6或n＝－5（舍），即当n＝6时，an＝0.

同理，当30＋n－n2＞0，即n2－n－30＜0.

解不等式，得－5＜n＜6.又n∈N*，

∴当n等于1,2,3,4,5时，an＞0.

令30＋n－n2＜0，解不等式，得n＞6或n＜－5.

又∵n∈N*，∴可得，当n＞6且n∈N*时，an＜0.

（3）an＝30＋n－n2＝－2＋，

又∵n∈N＋，故当n＝1时，an有最大值，其最大值为30.

10．在数列{an}中，已知a1＝1，且an＋1＝an＋，试求数列{an}的通项公式．

解：

由an＋1＝an＋得（n＋1）an＋1＝（n＋2）an，

即nan＝（n＋1）an－1，（n－1）an－1＝nan－2，

（n－2）an－2＝（n－1）an－3，…，3a3＝4a2，

2a2＝3a1，

以上各式左右两边分别相乘可得：

2an＝（n＋1）a1.

∵a1＝1，∴an＝.