新湘教版必修4高中数学 数列的概念.docx

1、新湘教版必修4高中数学 数列的概念91数列的概念第一课时数列的概念读教材填要点1数列及其有关概念(1)数列：按某种规则依次排列的一列数叫作数列(2)项：数列中的每一个数叫作数列的项，排在第1位的数叫作数列的首项，排在第n位的数叫作数列的第n项(3)数列的表示：数列通常写成a1，a2，an，其中an表示数列的第n项，数列也可以简记为an2数列的分类3数列的通项公式如果数列an的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列an的通项公式小问题大思维11,2,3,4与4,3,2,1是否是相同的数列？两个数列相同的条件是什么？提示两数列不是相同的数列两个数列相同必须同时满足两个条件：两

2、个数列中各数相同；各数的排列次序相同2an与an有什么区别？提示an与an是不同的概念an表示数列a1，a2，a3，an，而an仅表示数列an的第n项3数列和函数有什么关系？提示数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集1,2，n)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值故数列是一种特殊的函数已知数列的通项公式写出前几项 已知数列an的通项公式an(1)n，求a3，a10，a2n1.解当n3时，a3(1)3，当n10时，a10(1)10，故a2n1(1)2n1.数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求

3、出数列的相应项,1根据数列的通项公式，写出它的前4项(1)an；(2)an.解：(1)在通项公式中依次取n1,2,3,4，便可得数列an的前4项：a1，a2，a3，a4.(2)在通项公式中依次取n1,2,3,4，便可得数列an的前4项：a11，a2，a3，a4.用观察法求数列的通项公式 写出数列的一个通项公式，使得它的前几项是下列各数(1)1，；(2)0.9,0.99,0.999,0.999 9，；(3)3,5,3,5,3,5，.解(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用1的多少次幂进行调整，其通项公式为an(1)n.(2)原数列可变形为，故通项公式

4、为an1.(3)数列给出前6项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为4,415,413，因此数列的通项公式又可以写为an4(1)n.1观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n的关系”，从而确定数列的通项公式2利用观察法求数列的通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想,2写出数列的一个通项公式，使它的前几项是下列各数(1)，(2)，1，(3)3,33,333,3 333，解：(

5、1)数列的前5项可以分别改写成，根据这个规律，数列的第n项可以是，因此，数列的一个通项公式是an，nN.(2)数列的前5项可以分别改写成，分子分别为121,221,321,421,521，分母分别为211,221,231,241,251，且奇数项为正，偶数项为负，根据这个规律，数列的第n项可以是(1)n1.因此数列的一个通项公式是an(1)n1，nN.(3)原数列可改写成9，99，999，9 999，根据这个规律，数列的第n项可以是(10n1)，因此，数列的一个通项公式是an(10n1)，nN.判定数列中项的问题 已知数列an的通项公式为an，试问和是不是此数列中的项？如果是，是第几项？解令，

6、则n23n400，解得n5或n8，又nN，所以n5.所以是此数列的第5项令，则4n212n270，解得n或n，因为nN，所以不是此数列中的项判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去列方程若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项3已知有穷数列：3,5,7,9,11，2m7(mN)，其中每一项都比它的后一项小2.(1)写出这个数列的一个通项公式；(2)指出4m9(mN)是不是这个数列中的项，并说明理由解：(1)观察可得an2n1，由末项为2m7可知，若2n12m7，则nm3，说明此数列共有m3项这个数列的一个通项公式为an2n1(n1,2,3，m3)(

7、2)由2n14m9，得n2m4，又2m4(m3)(m1)，且mN，2m4m3，4m9不是这个数列中的项随堂体验落实1数列1,3,6,10，x,21,28，中，x的值是()A12 B15C17 D18解析：选B根据题目所给数列的特点，312,633,1064，x105,21x6.故x15.2已知数列，那么9是这个数列的第几项()A12 B13C14 D15解析：选C由所给出的前4项，可归纳出通项公式为an，令an9，可解得n14.3数列1，的一个通项公式是()Aan(1)nBan(1)nCan(1)nDan(1)n解析：选A数列可以改为，.分子1,4,9,16，n2，分母1,3,5,7，2n1，

8、符号(1)n，故an(1)n.4一个数列给出前三项：2,4,8，有下面三个通项公式：(1)ann2n2；(2)an2n；(3)ann2，则这个数列的通项公式可能为_(把你认为正确的序号都填上)解析：代入验证可知(1)，(2)都满足答案：(1)、(2)5写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别为下列各数(1)3,5,9,17,33；(2)4，4,4，4,4；(3)1,0,1,0；(4)，.解：(1)每一项都可以看成2的n次幂加1的形式，an2n1.(2)数列中的每一项的绝对值均等于4，只有各项的系数的符号正负相间，an4(1)n1.(3)原数列可改写为，前、后项正负相间，an(1)n1.(4)可

9、将分子、分母分别求其通项，再合并，分子通项为2n1，分母通项为2n1，an.感悟高手解题写出数列0,2,0,2,0,2，的一个通项公式解法一：数列的奇数项与偶数项分别相同，可利用分段函数表示an法二：该数列具有周期性，可考虑利用较常见的周期函数表示an2.法三：该数列也可看成由以下两个数列叠加而成1,1,1,1，1,1，1,1，而数列的通项为bn1，数列的通项为cn(1)n，原数列的通项公式为an1(1)n.点评法一、法二、法三给出了同一数列不同形式的通项公式，这说明数列的通项公式不一定是唯一的一、选择题1数列an中，an3n1，则a2等于()A2 B3C9 D32解析：选B因为an3n1，所

10、以a23213.2数列0，的一个通项公式是()Aan Ban Can Dan 解析：选C已知数列可化为：0，故an .3已知数列an的通项公式anlog(n1)(n2)，则它的前30项之积是()A. B5C6 D.解析：选Ba1a2a3a30log23log34log45log3132log232log2255.4已知数列，2，则2是该数列的()A第6项 B第7项C第10项 D第11项解析：选B由数列，得通项公式为an，令2，3n120，n7.二、填空题5已知数列an，anbnm(b0，nN)，满足a12，a24，则a3_.解析：an(1)n3，a3(1)332.答案：26数列0.8,0.98

11、,0.998,0.999 8的一个通项公式是_解析：0.810.21，09810.021，099810.0021，0999 810.000 21，猜想：an1.答案：an17已知数列2，2，的通项公式为an，则a5_.解析：将a12，a2代入通项公式得所以an.所以a5.答案：8如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为_解析：4个图形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，都是3的指数幂，猜想数列的通项公式为an3n1.答案：an3n1三、解答题9根据下列各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)7,77,

12、777,7 777，；(3)，. 解：(1)应解决两个问题一是符号问题可考虑用(1)n或(1)n1表示；二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面数的绝对值总比它前面数的绝对值大6，故通项公式an(1)n(6n5)(2)先联想1,11,111,1 111，的通项，它又与数列9,99,999,9 999，的通项有关，而10n1，于是an(10n1)(3)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积经过组合所求数列的通项公式an.10数列an的通项公式是ann2110n.(1)依次写出该数列的前3项；(2)判别25是不是该数列中的项；

13、(3)求该数列的最小项解：(1)a111108，a222110215，同理可得a320；(2)由n2110n25，解得：n12(n2舍去)，因为12N，所以25是该数列的第12项；(3)配方得ann2110n(n5)224，所以，n5时，数列的最小值是24，即数列的第5项为最小项，为24.第二课时数列的递推公式读教材填要点递增、递减数列(1)若anan1，nN，则数列an叫作单调递减数列(2)递推公式如果数列an的任一项an1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an1f(an)，n1.那么这个公式就叫作数列an的递推公式，a1称为数列an的初始条件小问题大思维如何判定数列的单调性？

14、提示判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化为判断一个数列an的任意相邻两项之间的大小关系来确定，可用作差比较或作商比较数列的最大项、最小项及单调性问题 已知数列an的通项公式是an(n1)n，试问该数列an有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由解法一：an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an.a1a2a3a11a12，该数列中有最大项，为第9、10项，且a9a10109.法二：根据题意，令即解得9n10.又nN，n9或n10.该数列中有最大

15、项，为第9、10项，且a9a10109.研究数列的最大(小)项问题的常用途径为(1)由于数列是特殊的函数，可画出数列的图像求得数列的最大项，需注意使an为最大项的n值必须是正整数；(2)利用不等式组找到最大项an.1设数列an的通项公式为ann2kn(nN)，若数列an是单调递增数列，求实数k的取值范围解：因为数列an是单调递增数列，所以an1an0(nN)恒成立又ann2kn(nN)，所以(n1)2k(n1)(n2kn)0恒成立，即2n1k0，所以k(2n1)(nN)恒成立而nN时，(2n1)的最大值为3(n1时取得)，所以k3即为所求的取值范围由数列的递推公式求数列的项 数列an中，a11

16、，a23，aanan2(1)n，求an的前5项解由aanan2(1)n，得an2，又a11，a23，a310，a433，a5109.数列an的前5项为1,3,10,33,109.由递推公式求数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式2已知数列an满足下列条件，写出它的前5项(1)a10，an1an(2n1)；(2)a11，an1.解：(1)a10，an1an(2n1)，a2a1(211)1，a3a2(

17、221)4，a4a3(231)9，a5a4(241)16.它的前5项为0,1,4,9,16.(2)a11，an1，a2，a3，a4，a5.它的前5项依次为1，.由已知数列递推公式求通项公式 (1)已知a11，an1an2，求通项公式；(2)已知a11，an12an，求通项公式解(1)法一：(累加法)a11，an1an2，a2a12，a3a22，a4a32，anan12，将这些式子的两边分别相加得(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2(n1)，即ana12(n1)，又a11，通项公式为an2n1.法二：(迭代法)anan112an222a1(n1)22n1.(2)法一：(累乘法)由

18、已知得2(n2)，2，2，2，2，将这些式子的两边分别相乘得2n1(n2)，又a1120，通项公式为an2n1.法二：(迭代法)an2an122an223an32n1a12n1，即通项公式为an2n1.由数列的递推公式求通项公式的常用方法(1)累加法当anan1f(n)满足一定条件时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1累加(2)累乘法当g(n)满足一定条件时，常用ana1累乘另外也可以通过迭代法求得通项公式，它们都是求递推数列通项公式的有效方法3设an是首项为1的正项数列，且.求它的通项公式解：法一(累乘法)：，.又a11，ana1.法二(迭代法)：an1an，anan1a

19、n2an3a1，an.随堂体验落实1已知数列an中，an1man1(n1)，且a23，a35，则实数m等于()A0 B.C2 D5解析：选B由a2ma31，得35m1，m.2已知数列an满足a10,2an1an，则数列an是()A递增数列 B递减数列C常数列 D以上都不正确解析：选B0，an是一个递减数列3数列an中，a12，a23，anan1an2(n2)，则a4等于()A2 B3C6 D18解析：选Da3a2a1326，a4a3a26318.4已知f(1)2，f(n1)(nN*)，则f(4)_.解析：f(1)2，f(n1)，f(2).f(3).f(4).答案：5已知函数f(x)x.数列an

20、满足f(an)2n，且an0.求数列an的通项公式解：f(x)x，f(an)an，f(an)2n.an2n，即a2nan10.ann.an0，ann.感悟高手解题在数列an中，a12，a21，且an23an1an，求a6a43a5.解法一：a12，a21，an23an1an，a33a2a13121，a43a3a23112，a53a4a33215，a63a5a435213，a6a43a5132350，法二：an23an1an，令n4，则有a63a5a4，a6a43a50.点评递推公式是一种给出数列的方法，应用递推公式可以求数列中的项，但需要一项一项去递推，故在运算过程中要格外细心，中间一个值的计

21、算失误，往往引起后面值的错误一、选择题1符合递推关系式anan1的数列是()A1,2,3,4， B1，2,2，C.，2，2， D0，2,2，解析：选BB中从第二项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式anan1.2已知数列an对任意的p，qN满足apqapaq，且a26，那么a10等于()A165 B33C30 D21解析：选Ca2a1a16，所以a13.a10a5a52a52(a2a3)2a2(a2a1)4a22a124630.3数列an中，已知a612 018，且an1ann，则a1等于()A176 B177C188 D179解析：选Can1ann，a2a11，a3a22，a61a6060，

22、a61a11260，a1188.4已知函数f(x)若数列an满足a1，an1f(an)，nN，则a2 017a2 018等于()A4 BC. D.解析：选Ba2f1；a3f1；a4f；a5f21；a6f21；即从a3开始数列an是以3为周期的周期数列a2 017a2 018a4a5.故选B.二、填空题5已知数列an中，a1，an11(n2)，则a16_.解析：a211，a312，a41，此数列为循环数列，a1a4a7a10a13a16.答案：6已知数列an的通项公式为an2n221n，则该数列的数值最大的项为第_项解析：f(n)2n221n22(nN)，n5或6时an最大a555，a654，最

23、大项为第5项答案：57已知数列an中，an1对任意正自然数n都成立，且a7，则a5_.解析：由已知a7，所以a6，又因为a6，所以a51.答案：18在数列an中，a12，an1anln，则an等于_解析：an1anln，a2a1ln 2，a3a2ln，a4a3ln，anan1ln，以上n1个式子相加可得：ana1ln 2lnlnlnln n，an2ln n.答案：2ln n三、解答题9一个数列的通项公式为an30nn2.(1)问60是否为这个数列中的项？(2)当n分别为何值时，an0，an0，an0.(3)当n为何值时，an有最大值，并求出最大值解：(1)令30nn260，即n2n900，n1

24、0或n9(舍)，60是这个数列的第10项，即a1060.(2)令30nn20，即n2n300.n6或n5(舍)，即当n6时，an0.同理，当30nn20，即n2n300.解不等式，得5n6.又nN*，当n等于1,2,3,4,5时，an0.令30nn20，解不等式，得n6或n5.又nN*，可得，当n6且nN*时，an0.(3)an30nn22，又nN，故当n1时，an有最大值，其最大值为30.10在数列an中，已知a11，且an1an，试求数列an的通项公式解：由an1an得(n1)an1(n2)an，即nan(n1)an1，(n1)an1nan2，(n2)an2(n1)an3，3a34a2，2a23a1，以上各式左右两边分别相乘可得：2an(n1)a1.a11，an.