离散数学重修习题集.docx
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离散数学重修习题集
第一、二章
1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。
⑴（P∧Q→R）
⑵（P∧（Q→R）
⑶（（P→Q）↔（R∨S））
⑷（P∧Q→RS）
⑸（（P→（Q→R））→（（Q→P）↔Q∨R））。
解：
⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。
2）设P：
天下雪。
Q：
我将进城。
R：
我有时间。
将下列命题符号化。
⑴天没有下雪，我也没有进城。
⑵如果我有时间，我将进城。
⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。
解：
⑴P∧Q
⑵R→Q
⑶P∧R→Q
3）用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城，除非下雨。
⑶仅当你走，我将留下。
解：
⑴ P：
上午下雨；Q：
我去看电影；R：
我在家读书；S：
我在家看报；原命题符号化为：
（P→Q）∧（P→R∨S）。
⑵ P：
我今天进城；Q：
天下雨；原命题符号化为：
Q→P。
⑶ P：
你走；Q：
我留下；原命题符号化为：
Q→P。
4）用等价演算证明下列命题公式是否为重言式。
⑴（P∧（P→Q））→Q
（P∧（P∨Q））∨Q
（P∨（P∧Q））∨Q
（（P∨P）∧（P∨Q））∨Q
（P∨Q）∨Q
T
⑵（Q∧（P→Q））→P
（Q∧（P∨Q））→P
（Q∧（P∨Q））∨P
（Q∨（P∧Q））∨P
（P∨Q）∨（P∧Q）
（P∧Q）∨（P∧Q）
T
⑶（P∧（P∨Q））→Q
（P∧Q）→Q
（P∧Q）∨Q
P∨Q∨Q
T
⑷（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）
（（P∨Q）∧（Q∨R））∨（P∨R）
（P∧Q）∨（Q∧R）∨（P∨R）
（P∧Q）∨（（P∨Q∨R）∧（P∨R∨R））
（P∧Q）∨（P∨Q∨R）
（P∨Q∨R∨P）∧（P∨Q∨R∨Q）
T
5）写出下列命题公式的对偶式。
⑴（P∧Q）∧R的对偶式是：
（P∨Q）∨R
⑵（P∨Q）∧（R∨P）对偶式是（P∧Q）∨（R∧P）
⑶P→（（Q→R）∧（P∧Q））
P∨（（Q∨R）∧（P∧Q））
（P∨Q）∧（P∨Q∨R）
所以P→（（Q→R）∧（P∧Q））的对偶式是（P∧Q）∨（P∧Q∧R）
⑷（P↔Q）→R
（P↔Q）∨R
（P→Q）∨（Q→P）∨R
（P∨Q）∨（Q∨P）∨R
（P∧Q）∨（P∧Q）∨R
所以（P↔Q）→R的对偶式是（P∨Q）∧（P∨Q）∧R
6）写出下列命题公式的主析取范式和主合取范式
⑴（P→Q）∧（Q→R）
（P∨Q）∧（Q∨R）
（（P∨Q）∧Q）∨（（P∨Q）∧R）
（P∧Q）∨（P∧R）∨（Q∧R）
（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）
（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）（主析取范式）
∑0,1,3,7
∏2,4,5,6
（P∨Q∨R）∧（P∨Q∨R）∧（P∨Q∨R）∧（P∨Q∨R）（主合取范式）
⑵（P∨Q）∨R
（P∧Q）∨R
（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧R）∨（P∧R）
（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）
（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）（主析取范式）
∑1,3,5,6,7
∏0,2,4
（P∨Q∨R）∧（P∨Q∨R）∧（P∨Q∨R）（主合取范式）
7）推理理论证明题：
⑴P∧Q，（P↔Q）→（T∨S）（T∨S）
证明:
⑴P∧QP
⑵PT⑴
⑶QT⑴
⑷P→QT⑶
⑸Q→PT⑵
⑹（P→Q）∧（Q→P）T⑷⑸
⑺P↔QT⑹
⑻（P↔Q）→（T∨S）P
⑼T∨ST⑺⑻
⑵（P→Q）→（R∨S），（Q→P）∨R,RP↔Q
证明:
⑴RP
⑵（Q→P）∨RP
⑶Q→PT⑴⑵析取三段论
⑷R∨ST⑴附加律
⑸（P→Q）→（R∨S）P
⑹P→QT⑷⑸拒取式
⑺（P→Q）∧（Q→P）T⑶⑹合取引入
⑻P↔QT⑹双条件等价式
⑶P∨S，R→SP∨R
证明:
⑴（P∨R）P（附加前提）
⑵P∧RT⑴条件等价式
⑶PT⑵化简律
⑷RT⑵化简律
⑸R→SP
⑹ST⑷⑸假言推理
⑺P∨SP
⑻PT⑹⑺析取三段论
⑼P∧P（矛盾）T⑶⑻合取引入
⑷P→（Q∧R），Q∨S，（T→U）→SQ→T
证明:
⑴QP（附加前提）
⑵Q∨SP
⑶ST⑴⑵析取三段论
⑷（T→U）→SP
⑸（T→U）T⑶⑷拒取式
⑹（T∨U）T⑸条件等价式
⑺T∧UT⑹德·摩根律
⑻TT⑺化简律
⑼Q→TCP规则
⑸证明下面各命题推得的结论是有效的：
如果今天是星期三，那么我有一次离散数学或数字逻辑测验。
如果离散数学课老师有事，那么没有离散数学测验。
今天是星期三且离散数学老师有事。
所以，我有一次数字逻辑测验。
证明：
设P：
今天是星期三。
Q：
我有一次离散数学测验。
R：
我有一次数字逻辑测验。
S：
离散数学课老师有事。
该推理就是要证明：
P→（Q∨R），S→Q，P∧SR
⑴P∧SP
⑵PT⑴化简律
⑶ST⑴化简律
⑷S→QP
⑸QT⑶⑷假言推理
⑹P→（Q∨R）P
⑺Q∨RT⑵⑹假言推理
⑻RT⑸⑺析取三段论
8）将下列命题符号化。
并讨论它们的真值。
（1）有些实数是有理数。
解：
设R（x）：
x是实数。
Q（x）：
x是有理数。
“有些实数是有理数。
”符号化为：
（x）（R（x）∧Q（x））
它的真值为：
真。
（2）凡是人都要休息。
解：
设R（x）：
x是人。
S（x）：
x要休息。
“凡是人都要休息。
”符号化为：
（x）（R（x）→S（x））
它的真值为：
真。
（3）每个自然数都有比它大的自然数。
解：
设N（x）：
x是自然数。
G（x,y）：
x比y大。
“每个自然数都有比它大的自然数。
”符号化为：
（x）（N（x）→（y）（N（y）∧G（y,x）））
它的真值为：
真。
（4）乌鸦都是黑的。
解：
设A（x）：
x是乌鸦。
B（x）：
是黑的。
“乌鸦都是黑的。
”符号化为：
（x）（A（x）→B（x））
它的真值为：
真。
（5）不存在比所有火车都快的汽车。
解：
设A（x）：
x是汽车。
B（x）：
是火车。
K（x,y）：
x比y快。
“不存在比所有火车都快的汽车。
”符号化为：
¬（x）（A（x）∧（y）（B（y）→K（x,y）））
它的真值为：
真。
（6）有些大学生不佩服运动员。
解：
设S（x）：
x是大学生。
L（x）：
是运动员。
B（x,y）：
x佩服y。
“有些大学生不佩服运动员。
”符号化为：
（x）（S（x）∧L（y）∧¬B（x,y））
它的真值为：
真。
（7）有些女同志既是教练员又是运动员。
解：
设W（x）：
x是女同志。
J（x）：
x是教练员。
L（x）：
x是运动员。
“有些女同志既是教练员又是运动员。
”符号化为：
（x）（W（x）∧J（x）∧L（x））
它的真值为：
真。
（8）除2以外的所有质数都是奇数。
解：
设A（x）：
x是质数。
B（x）：
x是奇数。
C（x,y）：
x不等于y。
“除2以外的所有质数都是奇数。
”符号化为：
（x）（A（x）∧C（x,2）→B（x））
它的真值为：
真。
9）谓词推理理论
⑴（x）（F（x）→（G（y）∧R（x））），（x）F（x）（x）（F（x）∧R（x））
证明：
⑴（x）F（x）P
⑵F（c）ES⑴
⑶（x）（F（x）→（G（y）∧R（x）））P
⑷F（c）→（G（y）∧R（c））US⑶
⑸G（y）∧R（c）T⑵⑷假言推理
⑹R（c）T⑸化简律
⑺F（c）∧R（c）T⑵⑹合取引入
⑻（x）（F（x）∧R（x））EG⑺
⑵（x）（F（x）→G（x）），（x）（R（x）→G（x））（x）（R（x）→F（x））
证明：
⑴（x）（R（x）→G（x））P
⑵R（c）→G（c）US⑴
⑶（x）（F（x）→G（x））P
⑷F（c）→G（c）US⑶
⑸G（c）→F（c）T⑷假言易位式
⑹R（c）→F（c）T⑵⑸假言三段论
⑺（x）（R（x）→F（x））UG⑹
⑶（x）（F（x）∨G（x）），（x）（G（x）→R（x）），（x）R（x）（x）F（x）
证明：
⑴（x）R（x）P
⑵R（c）US⑴
⑶（x）（G（x）→R（x））P
⑷G（c）→R（c）US⑶
⑸G（c）T⑵⑷拒取式
⑹（x）（F（x）∨G（x））P
⑺F（c）∨G（c）US⑹
⑻F（c）T⑸⑺析取三段论
⑼（x）F（x）UG⑻
⑷（x）（F（x）→R（x））（x）F（x）→（x）R（x）
证明：
⑴（x）F（x）P（附加前提）
⑵F（c）US⑴
⑶（x）（F（x）→R（x））P
⑷F（c）→R（c）US⑶
⑸R（c）T⑵⑷假言推理
⑹（x）R（x）UG⑸
⑺（x）F（x）→（x）R（x）CP
⑸（x）（F（x）∨G（x）），（x）（G（x）∧R（x））（x）R（x）→（x）F（x）
证明：
⑴（x）R（x）P（附加前提）
⑵R（c）US⑴
⑶（x）（G（x）∧R（x））P
⑷（x）（G（x）∧R（x））T⑶量词否定等价式
⑸（G（c）∧R（c））US⑷
⑹G（c）∨R（c）T⑸德摩根律
⑺G（c）T⑵⑹析取三段论
⑻（x）（F（x）∨G（x））P
⑼F（c）∨G（c）US⑻
⑽F（c）T⑺⑼析取三段论
⑾（x）F（x）UG⑽
⑿（x）R（x）→（x）F（x）CP
⑹（x）（F（x）∨G（x））（x）F（x）∨（x）G（x）
证明：
⑴（（x）F（x）∨（x）G（x））P（附加前提）
⑵（x）F（x）∧（x）G（x））T⑴德摩根律
⑶（x）F（x）∧（x）G（x））T⑵量词否定等价式
⑷（x）F（x）T⑶化简律
⑸F（c）ES⑷
⑹（x）G（x））T⑶化简律
⑺G（c）US⑹
⑻（x）（F（x）∨G（x））P
⑼F（c）∨G（c）US⑻
⑽F（c）T⑺⑼析取三段论
⑾F（c）∧F（c）（矛盾）T⑸⑽合取引入
⑺（x）（F（x）∨G（x）），（x）（G（x）→R（x）），（x）R（x）（x）F（x）
证明：
⑴（x）F（x）P（附加前提）
⑵（x）F（x）T⑴量词否定等价式
⑶F（c）ES⑵
⑷（x）（F（x）∨G（x））P
⑸F（c）∨G（c）US⑷
⑹G（c）T⑶⑸析取三段论
⑺（x）（G（x）→R（x））P
⑻G（c）→R（c）US⑺
⑼R（c）T⑹⑻假言推理
⑽（x）R（x）P
⑾R（c）US⑽
⑿R（c）∧R（c）（矛盾）T⑼⑾合取引入
⑻（x）（F（x）→G（x）），（x）（G（x）∨R（x）），（x）R（x）（x）F（x）
证明：
⑴（x）R（x）P
⑵R（c）ES⑴
⑶（x）F（x）P（附加前提）
⑷（x）F（x）T⑶量词否定等价式
⑸F（c）US⑷
⑹（x）（F（x）→G（x））P
⑺F（c）→G（c）US⑹
⑻G（c）T⑸⑺假言推理
⑼（x）（G（x）∨R（x））P
⑽G（c）∨R（c）US⑼
⑾R（c）T⑻⑽析取三段论
⑿R（c）∧R（c）（矛盾）T⑵⑾合取引入
⑼证明下面推理。
每个有理数都是实数。
有的有理数是整数。
因此，有的实数是整数。
解：
首先将命题符号化：
Q（x）：
x是有理数。
R（x）：
x是实数。
Z（x）：
x是整数。
本题要证明：
（x）（Q（x）→R（x））,（x）（Q（x）∧Z（x））（x）（R（x）∧Z（x））
证明：
⑴（x）（Q（x）∧Z（x））P
⑵Q（c）∧Z（c）ES⑴
⑶Q（c）T⑵化简律
⑷Z（c）T⑵化简律
⑸（x）（Q（x）→R（x））P
⑹Q（c）→R（c）US⑸
⑺R（c）T⑶⑹假言推理
⑻R（c）∧Z（c）T⑷⑺合取引入
⑼（x）（R（x）∧Z（x））EG⑻
第三章
1）确定下列集合的幂集合。
⑴a,b
⑵a,b,c
⑶a,b,a,c
⑷P（）
⑸P（P（））
解：
⑴,a,b,a,b
⑵,a,b,c
⑶,a,b,a,c,a,b,a,c
⑷,
⑸,,,
2）设全集E=1,2,3,4,5,6，A=1,4，B=1,2,5，C=2,4。
求下列各集合。
⑴A∩~B
⑵（A∩B）∪~C
⑶~（A∩B）
⑷A
B
解：
⑴A∩~B=1,4∩3,4,6=4
⑵（A∩B）∪~C=（1,4∩1,2,5）∪1,3,5,6=1∪1,3,5,6=1,3,5,6
⑶~（A∩B）=~1=23,4,5,6
⑷A
B=（A∪B）－（A∩B）=1,2,4,5－1=2,4,5
3）设A,B,C,D是任意集合（*参考）
证明：
⑴A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）
证明：
xA∪（B∩C）xA∨xB∩C
xA∨（xB∧xC）
（xA∨xB）∧（xA∨xC）
（xA∨xB）∧（xA∨xC）
xA∪B∧xA∪C
x（A∪B）∩（A∪C）
所以A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）
⑵A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
证明：
xA∩（B∪C）xA∧xB∪C
xA∧（xB∨xC）
（xA∧xB）∨（xA∧xC）
xA∩B∨xA∩C
x（A∩B）∪（A∩C）
所以A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
⑶~（~A）=A
证明：
x~（~A）（x~A）（xA）xA
所以~（~A）=A
⑷A∪E=E
证明：
xA∪ExA∨xExA∨TTxE
所以A∪E=E
⑸A∩~A=
证明：
xA∩~AxA∧x~AxA∧（xA）Fx
所以A∩~A=
⑹A∪（A∩B）=A
证明：
xA∪（A∩B）xA∨xA∩BxA∨（xA∧xB）xA（吸收律）
所以A∪（A∩B）=A
⑺~（A∩B）=~A∪~B
证明：
x~（A∩B）（xA∩B）（xA∧xB）xA∨xB
x~A∨x~Bx~A∪~B
所以~（A∩B）=~A∪~B
4）判断下列结论是否正确。
⑴若A∪B=A∪C，则B=C
解：
不正确。
反例，令A=1,2,3，B=1,2，C=1。
A∪B=1,2,3=A∪C，但B≠C。
⑵若A∩B=A∩C，则B=C
解：
不正确。
反例，令A=1，B=1,2，C=1,2,3。
A∩B=1=A∩C，但B≠C。
5）设A=a,b，B=1,2,3，求：
A×B，B×A，A×A，B×B和（A×B）∩（B×A）。
解：
A×B=a,1,a,2,a,3,b,1,b,2,b,3
B×A=1,a,1,b,2,a,2,b,3,a,3,b
A×A=a,a,a,b,b,a,b,b
B×B=1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3
（A×B）∩（B×A）=
6）证明下列各题。
⑴如果A×A＝B×B，那么A＝B
证明：
xAxA∧xAx,xA×Ax,xB×BxB∧xBxB，所以A＝B
⑵如果A×B＝A×C且A≠，那么B＝C
因为A≠，xA，以下证明B＝C
yBxA∧yBx,yA×Bx,yA×CxA∧yCyC，所以B＝C
⑶（A∩B）×（C∩D）＝（A×C）∩（B×D）
证明：
x,y（A∩B）×（C∩D）xA∩B∧yC∩D
xA∧xB∧yC∧yD
xA∧yC∧xB∧yD
x,yA×C∧x,yB×D
x,yA×C∩B×D
所以（A∩B）×（C∩D）＝（A×C）∩（B×D）
7）用列举法表示A到B的二元关系R，写出关系矩阵，画出关系图。
⑴A=1,2,3,4,5，B=a,b,c，R=1,a,1,b,2,b,3,a
⑵A=a,b,c，B=1,2,3,4,5，R=a,2,c,4,c,5
⑶A=0,1,2，B=0,2,4，R=a,b|aA∧bB∧a×bA∩B，其中×是普通乘法。
⑷A=1,2,3,4,5，B=1,2,3，R=a,b|aA∧bB∧a=b2
解答：
⑴MR=
R关系图如图4.20所示。
⑵MR=
R关系图如图4.21所示。
⑶MR=
R关系图如图4.22所示。
⑷MR=
R关系图如图4.23所示。
8）设A=1,2,3，A上二元关系定义为：
R=1,1,1,2,1,3,3,3
S=1,1,1,2,2,1,2,2,3,3
T=1,1,1,2,2,2,2,3
（空关系）
A×A（全域关系）
判断上述关系是否是⑴自反的，⑵对称的，⑶传递的，⑷反对称的。
解：
各关系的自反性、对称性、传递性和对称性如表4.2所示。
表4.2
自反
对称
传递
反对称
R
否
否
是
是
S
是
是
是
否
T
否
否
否
是
否
是
是
是
A×A
是
是
是
否
9）设A=1,2,3,4，A上二元关系R定义为：
R=1,2,2,1,2,3,3,4
⑴求R的自反闭包、对称闭包和传递闭包。
⑵用R的关系矩阵和四阶单位阵求R的自反闭包、对称闭包和传递闭包的关系矩阵。
再由关系矩阵写出它们的集合表达式。
⑶根据R的关系图，画出R的自反闭包，对称闭包和传递闭包的关系图，再由关系图写出它们的集合表达式。
解答：
⑴
r（R）=1,2,2,1,2,3,3,4,1,1,2,2,3,3,4,4
s（R）=1,2,2,1,2,3,3,4,3,2,4,3
R2=R
R=1,1,1,3,2,2,2,4
R3=R2
R=1,2,1,4,2,1,2,3
R4=R2
R=1,1,1,3,2,2,2,4=R2
t（R）=R∪R2∪R3∪R4=1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,4
⑵解：
MR=
Mr（R）=MR∨
=
∨
=
r（R）=1,2,2,1,2,3,3,4,1,1,2,2,3,3,4,4
Ms（R）=MR∨
=
∨
=
s（R）=1,2,2,1,2,3,3,4,3,2,4,3
MR
MR=
=
=
MR=
=
=
MR=
=
Mt（R）=MR∨
∨
∨
t（R）=1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,4
⑶R的关系图如图4.30所示，R的自反闭包、对称闭包和传递闭包的关系图如图4.31、图4.32和图4.33所示。
10）设R是A上的二元关系，证明：
⑴R是对称的当且仅当s（R）=R
⑵R是传递的当且仅当t（R）=R
证明：
⑴设R是对称的，下证s（R）=R
令R′=R
①R′=R是对称的。
②因为RR=R′，所以RR′。
③有任意对称二元关系R′′且RR′′，下证R′R′′
因为R′=RR′′，所以R′R′′
设s（R）=R，下证R是对称的。
由对称闭包的定义，显然R是对称的。
⑵设R是传递的，下证t（R）=R
令R′=R
①R′=R是传递的。
②因为RR=R′，所以RR′。
③有任意传递二元关系R′′且RR′′，下证R′R′′
因为R′=RR′′，所以R′R′′
设t（R）=R，下证R是传递的。
由传递闭包的定义，显然R是传递的。
11）设R和S是A上的二元关系，RS，证明：
⑴r（R）r（S）
⑵s（R）s（S）
⑶t（R）t（S）
证明：
⑴
r（R）=IA∪RIA∪S=r（S），即r（R）r（S）。
⑵
先证RCSC，a,bRCb,aRb,aSa,bSC，所以RCSC
s（R）=R∪RCS∪SC=s（S），所以s（R）s（S）。
⑶
RSt（S），t（S）是包含R的传递关系，而t（R）是包含R的最小的传递关系。
所以t（R）t（S）
12）设R和S是A上的二元关系，证明：
⑴r（R∪S）=r（R）∪r（S）
⑵s（R∪S）=s（R）∪s（S）
证明：
⑴r（R∪S）=R∪S∪IA=（R∪IA）∪（S∪IA）=r（R）∪r（S）
⑵s（R∪S）=（R∪S）∪（R∪S）C=（R∪RC）∪（S∪SC）=s（R）∪s（S）
13）设A=1,2,3,4,5，A上的等价关系R定义为：
R=1,2,2,1,3,4,4,3∪IA
画出关系图，找出所有等价类，总结等价类和关系图的关系。
解：
R的关系图如图4.34所示。
[1]R=[2]R=1,2，[3]R=[4]R=3,4，[5]R=5
关系图每一个连通分支的结点构成的集合是一个等价类。
或者说，每一个等价类导出了关系图的一个连通分支。
14）集合A是自然数集合的子集，A上的整除关系R是偏序关系。
定义为R=x,y|xA∧yA∧x整除y。
求出下列集合A上的盖住关系COVA，画出哈斯图，指出该偏序关系是否为全序关系。
⑴A=3,9,27,54
⑵A=1,2,3,4,6,8,12,24
⑶A=1,3,5,9,15,18,27,36,45,54
⑷A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
解：
⑴R=3,9,3,273,54,9,27,9,5427,54∪IA
集合A上的盖住关系COVA=3,9,9,2727,54
哈斯图如图4.39所示。
R是全序关系。
⑵R=1,2,1,3,1,4,1,6,1,8,1,12,1,24,2,4,
2,6,2,8,2,12,2,24,3,6,3,12,3,24,4,8,
4,12,4,24,6,12,6,24,8,24,12,24∪IA
COVA=1,2,1,3,2,4,2,6,3,6,4,8,4,12,
6,12,8,24,12,24
哈斯图如图4.40所示。
R不是全序关系。
⑶R=1,3,1,5,1,9,1,15,1,18,1,27,1,36,1,45,1,54,
3,9,3,15,3,18,3,27,3,36,3,45,3,54,
5,15,5,45,9,18,9,27,9,36,9,45,9,54,
15,45,18,36,18,54,27,54∪IA
COVA=1,3,1,5,3,9,3,15,5,15,9,18,9,27,9,45,15,45,18,36,
18,54,27,54
哈斯图如图4.41所示。
不是全序关系。
⑷R=1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,8,1,9,1,10,1,11,1,12,
2,4,2,6,2,8,2,10,2,12,3,6,3,9,3,12,4,8,4,12,
5,10,6,12∪IA
COVA=1,2,1,3,1,5,1,7,1,11,2,4,2,6,3,6,3,9,
4,8,4,12,5,10,6,12
哈斯图如图4.42所示。
不是全序关系。
15）求出下列各偏序集A
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