离散数学重修习题集.docx

1、离散数学重修习题集第一、二章 1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。 (PQR) (P(QR) (PQ)(RS) (PQRS) (P(QR)(QP)QR)。解：是合式公式；不是合式公式。2）设 P：天下雪。Q：我将进城。R：我有时间。将下列命题符号化。 天没有下雪，我也没有进城。 如果我有时间，我将进城。 如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。解： PQ RQ PRQ 3）用符号形式写出下列命题。假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。我今天进城，除非下雨。仅当你走，我将留下。解：P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家读书；S：我在家看报；原命题符号化为：（PQ）（

2、PRS）。P：我今天进城；Q：天下雨；原命题符号化为：QP。P：你走；Q：我留下；原命题符号化为：QP。4）用等价演算证明下列命题公式是否为重言式。(P(PQ)Q(P(PQ)Q(P(PQ)Q(PP)(PQ)Q(PQ)QT(Q(PQ)P(Q(PQ)P(Q(PQ)P(Q(PQ)P(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)T(P(PQ)Q(PQ)Q(PQ)QPQQT(PQ)(QR)(PR)(PQ)(QR)(PR)(PQ)(QR)(PR)(PQ)(PQR)(PRR)(PQ)(PQR)(PQRP)(PQRQ)T5）写出下列命题公式的对偶式。 (PQ)R的对偶式是：(PQ)R (PQ)(RP)对偶式是(PQ)(RP

3、) P(QR)(PQ)P(QR)(PQ)(PQ)(PQR)所以P(QR)(PQ)的对偶式是(PQ)(PQR) (PQ)R(PQ)R(PQ)(QP)R(PQ)(QP)R(PQ)(PQ)R所以(PQ)R的对偶式是(PQ)(PQ)R6）写出下列命题公式的主析取范式和主合取范式 (PQ)(QR)(PQ)(QR)(PQ)Q)(PQ)R)(PQ)(PR)(QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)0,1,3,72,4,5,6(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式) (PQ)R(PQ)R(PQR)(PQR)(PR)(

4、PR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)1,3,5,6,70,2,4(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)7）推理理论证明题： PQ，(PQ)(TS)(TS)证明: PQ PP T Q T PQ T QP T (PQ)(QP) T PQ T (PQ)(TS) PTS T (PQ)(RS)，(QP)R,RPQ证明:R P(QP)R PQP T析取三段论RS T附加律(PQ)(RS) PPQ T拒取式(PQ)(QP) T合取引入PQ T双条件等价式PS，RSPR证明:(PR) P(附加前提)PR T条件

5、等价式P T化简律R T化简律RS PS T假言推理PS PP T析取三段论PP(矛盾) T合取引入 P(QR)，QS，(TU)SQT证明:Q P(附加前提)QS PS T析取三段论(TU)S P(TU) T拒取式( TU) T条件等价式TU T德摩根律T T化简律QT CP规则证明下面各命题推得的结论是有效的：如果今天是星期三，那么我有一次离散数学或数字逻辑测验。如果离散数学课老师有事，那么没有离散数学测验。今天是星期三且离散数学老师有事。所以，我有一次数字逻辑测验。证明：设 P：今天是星期三。Q：我有一次离散数学测验。R：我有一次数字逻辑测验。S：离散数学课老师有事。该推理就是要证明：P(

6、QR)，SQ，PSRPS PP T化简律S T化简律SQ PQ T假言推理P(QR) PQR T假言推理R T析取三段论8）将下列命题符号化。并讨论它们的真值。(1) 有些实数是有理数。解：设R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。“有些实数是有理数。”符号化为：(x)(R(x)Q(x)它的真值为：真。(2) 凡是人都要休息。解：设R(x)：x是人。S(x)：x要休息。“凡是人都要休息。”符号化为：(x)(R(x)S(x)它的真值为：真。(3) 每个自然数都有比它大的自然数。解：设N(x)：x是自然数。G(x,y)：x比y大。“每个自然数都有比它大的自然数。”符号化为：(x)(N(x)(y)

7、(N(y)G(y,x)它的真值为：真。(4) 乌鸦都是黑的。解：设A(x)：x是乌鸦。B(x)：是黑的。“乌鸦都是黑的。”符号化为：(x)(A(x)B(x)它的真值为：真。(5) 不存在比所有火车都快的汽车。解：设A(x)：x是汽车。B(x)：是火车。K(x,y)：x比y快。“不存在比所有火车都快的汽车。”符号化为：(x)(A(x)(y)(B(y)K(x,y)它的真值为：真。(6) 有些大学生不佩服运动员。解：设S(x)：x是大学生。L(x)：是运动员。B(x,y)：x佩服y。“有些大学生不佩服运动员。”符号化为：(x)(S(x)L(y)B(x,y)它的真值为：真。(7) 有些女同志既是教练员

8、又是运动员。解：设W(x)：x是女同志。J(x)：x是教练员。L(x)：x是运动员。“有些女同志既是教练员又是运动员。”符号化为：(x)(W(x)J(x)L(x)它的真值为：真。(8) 除2以外的所有质数都是奇数。解：设A(x)：x是质数。B(x)：x是奇数。C(x,y)：x不等于y。“除2以外的所有质数都是奇数。”符号化为：(x)(A(x)C(x,2)B(x)它的真值为：真。9）谓词推理理论(x)(F(x)(G(y)R(x)，(x)F(x)(x)(F(x)R(x)证明： (x)F(x) P F(c) ES (x)(F(x)(G(y)R(x) P F(c)(G(y)R(c) US G(y)R(

9、c) T假言推理 R(c) T化简律 F(c)R(c) T合取引入 (x)(F(x)R(x) EG(x)(F(x)G(x)，(x)(R(x)G(x)(x)(R(x) F(x)证明： (x)(R(x)G(x) P R(c)G(c) US (x)(F(x)G(x) P F(c)G(c) US G(c)F(c) T假言易位式 R(c)F(c) T假言三段论 (x)(R(x)F(x) UG (x)(F(x)G(x)，(x)(G(x)R (x)，(x)R(x)(x)F(x)证明： (x)R(x) P R(c) US (x)(G(x)R(x) P G(c)R(c) US G(c) T拒取式 (x)(F(x

10、)G(x) P F(c)G(c) US F(c) T析取三段论 (x)F(x) UG(x)(F(x)R(x)(x)F(x)(x)R(x)证明： (x)F(x) P(附加前提) F(c) US (x)(F(x)R(x) P F(c)R(c) US R(c) T假言推理 (x)R(x) UG (x)F(x)(x)R(x) CP (x)(F(x)G(x)，(x)(G(x)R(x)(x)R(x)(x)F(x)证明： (x)R(x) P(附加前提) R(c) US (x)(G(x)R(x) P (x)(G(x)R(x) T量词否定等价式 (G(c)R(c) US G(c)R(c) T德摩根律 G(c)

11、T析取三段论 (x)(F(x)G(x) P F(c)G(c) US F(c) T析取三段论 (x)F(x) UG (x)R(x)(x)F(x) CP (x)(F(x)G(x)(x)F(x)(x)G (x)证明： (x)F(x)(x)G (x) P(附加前提) (x)F(x)(x)G (x) T德摩根律 (x)F(x)(x)G (x) T量词否定等价式 (x)F(x) T化简律 F(c) ES (x)G(x) T化简律 G(c) US (x)(F(x)G(x) P F(c)G(c) US F(c) T析取三段论 F(c)F(c)(矛盾) T合取引入(x)(F(x)G(x)，(x)(G(x)R (

12、x)，(x)R(x)(x)F(x)证明： (x)F(x) P(附加前提) (x)F(x) T量词否定等价式 F(c) ES (x)(F(x)G(x) P F(c)G(c) US G(c) T析取三段论 (x)(G(x)R(x) P G(c)R(c) US R(c) T假言推理 (x)R(x) P R(c) US R(c)R(c)(矛盾) T合取引入(x)(F(x)G(x)，(x)(G(x)R(x)， (x)R(x) (x)F(x)证明： (x)R(x) P R(c) ES (x)F(x) P(附加前提) (x)F(x) T量词否定等价式 F(c) US (x)(F(x)G(x) P F(c)G

13、(c) US G(c) T假言推理 (x)(G(x)R(x) P G(c)R(c) US R(c) T析取三段论 R(c)R(c)(矛盾) T合取引入证明下面推理。每个有理数都是实数。有的有理数是整数。因此，有的实数是整数。解：首先将命题符号化：Q(x)：x是有理数。 R(x)：x是实数。Z(x)：x是整数。 本题要证明：(x)(Q(x)R(x), (x)(Q(x)Z(x)(x)(R(x)Z(x)证明： (x)(Q(x)Z(x) P Q(c)Z(c) ES Q(c) T化简律 Z(c) T化简律 (x)(Q(x)R(x) P Q(c)R(c) US R(c) T假言推理 R(c)Z(c) T合

14、取引入 (x)(R(x)Z(x) EG第三章1）确定下列集合的幂集合。a,ba,b,ca,b,a,cP( )P(P( )解： ,a,b,a,b ,a,b,c ,a,b,a,c,a,b,a,c , , , , 2）设全集E=1,2,3,4,5,6，A=1,4，B=1,2,5，C=2,4。求下列各集合。 AB (AB)C (AB) AB解：AB=1,43,4,6=4(AB)C=(1,41,2,5)1,3,5,6=11,3,5,6=1,3,5,6 (AB)=1=2 3,4,5,6AB=(AB)(AB)=1,2,4,51=2,4,53）设A,B,C,D是任意集合（*参考）证明：A(BC)=(AB)(A

15、C) 证明： xA(BC) xAxBC xA(xBxC) (xAxB)(xAxC) (xAxB)(xAxC) xABxAC x(AB)(AC)所以A(BC)=(AB)(AC) A(BC)= (AB)(AC)证明： xA(BC) xAxBCxA(xBxC)(xAxB)(xAxC)xABxACx(AB)(AC)所以A(BC)=(AB)(AC) (A)=A证明： x (A)(xA)(xA)xA所以 (A)=A AE=E证明：xAExAxExATTxE所以AE=E AA= 证明：xAAxAxAxA(xA)F x 所以AA= A(AB)=A证明：xA(AB) xAxABxA(xAxB)xA (吸收律)所

16、以A(AB)= A (AB)=AB证明：x(AB)(xAB)(xAxB)xAxBxAxBxAB所以 (AB)=AB4）判断下列结论是否正确。 若AB=AC，则B=C解：不正确。反例，令A=1,2,3，B=1,2，C=1。AB=1,2,3=AC，但BC。 若AB=AC，则B=C解：不正确。反例，令A=1，B=1,2，C=1,2,3。AB=1=AC，但BC。5）设A=a,b，B=1,2,3，求：AB，BA，AA，BB和(AB)( BA)。解：AB=a,1,a,2,a,3,b,1,b,2,b,3BA=1,a,1,b,2,a,2,b,3,a,3,bAA=a,a,a,b,b,a,b,bBB=1,1,1,

17、2,1,3,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3(AB)(BA)= 6）证明下列各题。 如果AABB，那么AB证明：xAxAxAx,xAAx,xBBxBxBxB，所以AB 如果ABAC且A ，那么BC因为A ，xA，以下证明BCyBxAyBx,yABx,yACxAyCyC，所以BC (AB)(CD)(AC)(BD)证明：x,y(AB)(CD)xAByCDxAxByCyDxAyCxByDx,yACx,yBDx,yACBD所以 (AB)(CD)(AC)(BD)7）用列举法表示A到B的二元关系R，写出关系矩阵，画出关系图。 A=1,2,3,4,5，B=a,b,c，R=1,a,1,b,2,b

18、,3,a A=a,b,c，B=1,2,3,4,5，R=a,2,c,4,c,5 A=0,1,2，B=0,2,4，R=a,b| aAbBabAB，其中是普通乘法。 A=1,2,3,4,5，B=1,2,3，R=a,b| aAbBa=b2解答： MR=R关系图如图4.20所示。 MR=R关系图如图4.21所示。 MR=R关系图如图4.22所示。 MR=R关系图如图4.23所示。8）设A=1,2,3，A上二元关系定义为：R=1,1,1,2,1,3,3,3 S=1,1,1,2,2,1,2,2,3,3 T=1,1,1,2,2,2,2,3 (空关系)AA(全域关系)判断上述关系是否是自反的，对称的，传递的，反

19、对称的。解：各关系的自反性、对称性、传递性和对称性如表4.2所示。 表4.2自反对称传递反对称R否否是是S是是是否T否否否是 否是是是AA是是是否9）设A=1,2,3,4，A上二元关系R定义为：R=1,2,2,1,2,3,3,4 求R的自反闭包、对称闭包和传递闭包。 用R的关系矩阵和四阶单位阵求R的自反闭包、对称闭包和传递闭包的关系矩阵。再由关系矩阵写出它们的集合表达式。 根据R的关系图，画出R的自反闭包，对称闭包和传递闭包的关系图，再由关系图写出它们的集合表达式。解答： r(R)=1,2,2,1,2,3,3,4,1,1,2,2,3,3,4,4s(R)=1,2,2,1,2,3,3,4,3,2,

20、4,3R2=RR=1,1,1,3,2,2,2,4R3=R2R=1,2,1,4,2,1,2,3R4=R2R=1,1,1,3,2,2,2,4=R2t(R)=RR2R3R4= 1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,4解：MR= Mr(R)= MR= r(R)=1,2,2,1,2,3,3,4,1,1,2,2,3,3,4,4Ms(R)= MR=s(R)= 1,2,2,1,2,3,3,4,3,2,4,3MRMR=MR= =MR=Mt(R)= MRt(R)= 1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,4R的关系图如图4.30所示，R的自反闭包、对称闭包

21、和传递闭包的关系图如图4.31、图4.32和图4.33所示。10）设R是A上的二元关系，证明： R是对称的当且仅当s(R)=R R是传递的当且仅当t(R)=R证明：设R是对称的，下证s(R)=R令R=R R=R是对称的。 因为RR=R，所以RR。 有任意对称二元关系R且RR，下证RR因为R=RR，所以RR设s(R)=R，下证R是对称的。由对称闭包的定义，显然R是对称的。设R是传递的，下证t(R)=R令R=R R=R是传递的。 因为RR=R，所以RR。 有任意传递二元关系R且RR，下证RR因为R=RR，所以RR设t(R)=R，下证R是传递的。由传递闭包的定义，显然R是传递的。11）设R和S是A上

22、的二元关系，RS，证明： r(R)r(S) s(R)s(S) t(R)t(S) 证明： r(R)=IAR IAS =r(S )，即r(R)r(S)。先证RCSC，a,bRCb,aRb,aSa,b SC，所以RC SC s(R)=RRCSSC =s(S) ，所以s(R)s(S)。RSt(S)，t(S)是包含R的传递关系，而t(R) 是包含R的最小的传递关系。所以t(R)t(S)12）设R和S是A上的二元关系，证明： r(RS)=r(R)r(S) s(RS)=s(R)s(S)证明：r(RS)=RSIA=(RIA)(SIA)=r(R)r(S)s(RS)= (RS)(RS)C=(RRC)(SSC)=s

23、(R)s(S)13）设A=1,2,3,4,5，A上的等价关系R定义为：R=1,2,2,1,3,4,4,3IA画出关系图，找出所有等价类，总结等价类和关系图的关系。解：R的关系图如图4.34所示。1R=2R=1,2，3R=4R=3,4，5R=5关系图每一个连通分支的结点构成的集合是一个等价类。或者说，每一个等价类导出了关系图的一个连通分支。14）集合A是自然数集合的子集，A上的整除关系R是偏序关系。定义为R=x,y| xAyAx整除y。求出下列集合A上的盖住关系COV A，画出哈斯图，指出该偏序关系是否为全序关系。 A=3,9,27,54 A=1,2,3,4,6,8,12,24 A=1,3,5,

24、9,15,18,27,36,45,54 A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12解：R=3,9,3,273,54,9,27,9,5427,54IA集合A上的盖住关系COV A=3,9,9,2727,54哈斯图如图4.39所示。R是全序关系。 R=1,2,1,3,1,4,1,6,1,8,1,12,1,24,2,4,2,6,2,8,2,12,2,24,3,6,3,12,3,24,4,8,4,12,4,24,6,12,6,24,8,24,12,24IACOV A=1,2,1,3,2,4,2,6,3,6,4,8,4,12,6,12,8,24,12,24哈斯图如图4.40所示。R不是全序

25、关系。 R=1,3,1,5,1,9,1,15,1,18,1,27,1,36,1,45,1,54,3,9,3,15,3,18,3,27,3,36,3,45,3,54,5,15,5,45,9,18,9,27,9,36,9,45,9,54,15,45,18,36,18,54,27,54IACOV A=1,3,1,5,3,9,3,15,5,15,9,18,9,27,9,45,15,45,18,36,18,54,27,54哈斯图如图4.41所示。不是全序关系。 R=1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,8,1,9,1,10,1,11,1,12,2,4,2,6,2,8,2,10,2,12,3,6,3,9,3,12,4,8,4,12,5,10,6,12IACOV A=1,2,1,3,1,5,1,7,1,11,2,4,2,6,3,6,3,9,4,8,4,12,5,10,6,12哈斯图如图4.42所示。不是全序关系。15）求出下列各偏序集A