中考数学复习专题讲座三方案设计问题.docx
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中考数学复习专题讲座三方案设计问题
专题复习(三)——方案设计问题
题型概述
方案设计型问题是通过设置一个实际问题情景,给出若干信息,提出解决问题的要求,要求学生运用学过的技能和方法,进行设计和操作,寻求恰当的解决方案,有时也给出几个不同的解决方案,要求判断哪个方案较优。
它包括测量方案设计、作图方案设计和经济类方案设计等。
题型例析
类型1:
利用方程、不等式(组)进行方案设计
这类问题往往列方程组或不等式(组)解应用题,但是列方程的关键又是找出题目中存在的的等量关系或不等式关系;对于设计方案题一般要根据题意列出不等式或不等式组,求不等式组的整数解(或者符合要求的解)。
【例题】一水果经销商购进了A,B两种水果各10箱,分配给他的甲、乙两个零售店(分别简称甲店、乙店)销售,预计每箱水果的盈利情况如下表:
A种水果/箱
B种水果/箱
甲店
11元
17元
乙店
9元
13元
(1)如果甲、乙两店各配货10箱,其中A种水果两店各5箱,B种水果两店各5箱,请你计算出经销商能盈利多少元?
(2)在甲、乙两店各配货10箱(按整箱配送),且保证乙店盈利不小于100元的条件下,请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案,并求出最大盈利为多少?
考点:
一元一次不等式的应用.
分析:
(1)经销商能盈利=水果箱数×每箱水果的盈利;
(2)设甲店配A种水果x箱,分别表示出配给乙店的A水果,B水果的箱数,根据盈利不小于110元,列不等式求解,进一步利用经销商盈利=A种水果甲店盈利×x+B种水果甲店盈利×(10﹣x)+A种水果乙店盈利×(10﹣x)+B种水果甲店盈利×x;列出函数解析式利用函数性质求得答案即可.
解答:
(1)经销商能盈利=5×11+5×17+5×9+5×13=5×50=250;
(2)设甲店配A种水果x箱,则甲店配B种水果(10﹣x)箱,
乙店配A种水果(10﹣x)箱,乙店配B种水果10﹣(10﹣x)=x箱.
∵9×(10﹣x)+13x≥100,
∴x≥2,
经销商盈利为w=11x+17•(10﹣x)+9•(10﹣x)+13x=﹣2x+260.
∵﹣2<0,
∴w随x增大而减小,
∴当x=3时,w值最大.
甲店配A种水果3箱,B种水果7箱.乙店配A种水果7箱,B种水果3箱.最大盈利:
﹣2×3+260=254(元).
点评:
此题考查一元一次不等式的运用,一次函数的实际运用,找出题目蕴含的不等关系与等量关系解决问题.
【变式练习】
某小区为了绿化环境,计划分两次购进A、B两种花草,第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵,共花费675元;第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵。
两次共花费940元(两次购进的A、B两种花草价格均分别相同)。
(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元?
(2)若购买A、B两种花草共31棵,且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍,请你给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用。
考点:
一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用..
专题:
应用题.
分析:
(1)设A种花草每棵的价格x元,B种花草每棵的价格y元,根据第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵,共花费940元;第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵,两次共花费675元;列出方程组,即可解答.
(2)设A种花草的数量为m株,则B种花草的数量为(31﹣m)株,根据B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍,得出m的范围,设总费用为W元,根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式,由一次函数的性质就可以求出结论.
解答:
解:
(1)设A种花草每棵的价格x元,B种花草每棵的价格y元,根据题意得:
,
解得:
,
∴A种花草每棵的价格是20元,B种花草每棵的价格是5元.
(2)设A种花草的数量为m株,则B种花草的数量为(31﹣m)株,
∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍,
∴31﹣m<2m,
解得:
m>
,
∵m是正整数,
∴m最小值=11,
设购买树苗总费用为W=20m+5(31﹣m)=15m+155,
∵k>0,
∴W随x的减小而减小,
当m=11时,W最小值=15×11+155=320(元).
答:
购进A种花草的数量为11株、B种20株,费用最省;最省费用是320元.
点评:
本题考查了列二元一次方程组,一元一次不等式解实际问题的运用,一次函数的解析式的运用,一次函数的性质的运用,解答时根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式是关键.
类型2:
利用函数进行方案设计与选择
首先根据具体的题意建立函数关系式,结合要求选择符合题意的答案进行合理的设计方案。
【例题】某商场在“五一”期间举行促销活动,根据顾客按商品标价一次性购物总额,规定相应的优惠方法:
①如果不超过500元,则不予优惠;②如果超过500元,但不超过800元,则按购物总额给予8折优惠;③如果超过800元,则其800元给予8折优惠,超过800元的部分给予6折优惠.促销期间,小红和她母亲分别看一件商品,若各自单独付款,则应分别付款480元和520元;若合并付款,则她们总共只需付款 838或910 元.
考点:
分段函数.
分析:
根据题意知付款480元时,其实际标价为为480或600元,付款520元,实际标价为650元,求一次购买标价1130元或1250元的商品应付款即可.
解答:
由题意知付款480元,实际标价为480或480×
=600元,
付款520元,实际标价为520×
=650元,
如果一次购买标价480+650=1130元的商品应付款
800×08+(1130﹣800)×06=838元.
如果一次购买标价600+650=1250元的商品应付款
800×08+(1250﹣800)×06=910元.
故答案为:
838或910.
点评:
本小题主要考查函数模型的选择与应用,考查函数的思想.属于基础题.
【变式练习】
为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神.某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划.现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖,若用大小货车共15辆,则恰好能一次性运完这批鱼苗,已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆,其运往A、B两村的运费如下表:
目的地
车型
A村(元/辆)
B村(元/辆)
大货车
800
900
小货车
400
600
(1)求这15辆车中大小货车各多少辆?
(2)现安排其中10辆货车前往A村,其余货车前往B村,设前往A村的大货车为x辆,前往A、B两村总费用为y元,试求出y与x的函数解析式.
(3)在
(2)的条件下,若运往A村的鱼苗不少于100箱,请你写出使总费用最少的货车调配方案,并求出最少费用.
考点:
一次函数的应用.
分析:
(1)设大货车用x辆,小货车用y辆,根据大、小两种货车共15辆,运输152箱鱼苗,列方程组求解;
(2)设前往A村的大货车为x辆,则前往B村的大货车为(8﹣x)辆,前往A村的小货车为(10﹣x)辆,前往B村的小货车为[7﹣(10﹣x)]辆,根据表格所给运费,求出y与x的函数关系式;
(3)结合已知条件,求x的取值范围,由
(2)的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案.
解答:
(1)设大货车用x辆,小货车用y辆,根据题意得:
解得:
.
∴大货车用8辆,小货车用7辆.
(2)y=800x+900(8﹣x)+400(10﹣x)+600[7﹣(10﹣x)]=100x+9400.(0≤x≤10,且x为整数).
(3)由题意得:
12x+8(10﹣x)≥100,
解得:
x≥5,
又∵0≤x≤10,
∴5≤x≤10且为整数,
∵y=100x+9400,
k=100>0,y随x的增大而增大,
∴当x=5时,y最小,
最小值为y=100×5+9400=9900(元).
答:
使总运费最少的调配方案是:
5辆大货车、5辆小货车前往A村;3辆大货车、2辆小货车前往B村.最少运费为9900元.
点评:
本题考查了一次函数的应用,二元一次方程组的应用.关键是根据题意,得出安排各地的大、小货车数与前往B村的大货车数x的关系.
类型3:
统计问题中的方案设计
解决此类问题关键是把握好关于统计中的几个概念:
“平均数”“中位数众数”等的含义,运用它们来分析数据的特点,预测数据的发展趋势,由此选择或解释符合实际的方案。
【例题】某校分别于2012年、2014年随机调查相同数量的学生,对数学课开展小组合作学习的情况进行调查(开展情况分为较少、有时、常常、总是四种),绘制成部分统计图如下.请根据图中信息,解答下列问题:
(1)a= 19 %,b= 20 %,“总是”对应阴影的圆心角为 144 °;
(2)请你补全条形统计图;
(3)若该校2014年共有1200名学生,请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名?
(4)相比2012年,2014年数学课开展小组合作学习的情况有何变化?
考点:
条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
分析:
(1)先用80÷40%求出总人数,即可求出a,b;用40%×360°,即可得到圆心角的度数;
(2)求出2014年“有时”,“常常”的人数,即可补全条形统计图;
(3)根据样本估计总体,即可解答;
(4)相比2012年,2014年数学课开展小组合作学习情况有所好转.
解答:
(1)80÷40%=200(人),a=38÷200=19%,b=100%﹣40%﹣21%﹣19%=20%;40%×360°=144°,
故答案为:
19,20,144;
(2)“有时”的人数为:
20%×200=40(人),“常常”的人数为:
200×21%=42(人),如图所示:
(3)1200×
=480(人),
答:
数学课“总是”开展小组合作学习的学生有480人;
(4)相比2012年,2014年数学课开展小组合作学习情况有所好转.
点评:
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
【变式练习】
某学校对某班学生“五·一”小长假期间的度假情况进行调查,并根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下面的问题:
(1)(4分)求出该班学生的总人数.
(2)(4分)补全频数分布直方图.
(3)(2分)求出扇形统计图中∠α的度数.
(4)(2分)你更喜欢哪一种度假方式.
考点:
频数(率)分布直方图;扇形统计图..
分析:
(1)根据其它的人数和所占的百分比求出总人数;
(2)分别求出徒步和自驾游的人数,从而补全统计图;
(3)用360°乘以自驾游所占的百分比,求出∠α的度数;
(4)根据自己喜欢的方式即可得出答案.
解答:
解:
(1)该班学生的总人数是:
=50(人);
(2)徒步的人数是:
50×8%=4(人),
自驾游的人数是:
50﹣12﹣8﹣4﹣6=20(人);
补图如下:
(3)扇形统计图中∠α的度数是:
360°×
=144°;
(4)最喜欢的方式是自驾游,它比较自由,比较方便.
点评:
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.
类型4:
图形问题中的方案设计
图形问题方案设计通常是先给出一个图形(可能是规则的也可能是不规则的),然后让你用直线或弧线将图形分成形状或面积相等的几部分,解决此类问题可借助对称的性质、角度的大小和面积公式等方法进行分割。
【例题】手工课上,老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到