小学数学从数到代数的教学研究与案例评析.docx
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小学数学从数到代数的教学研究与案例评析
小学数学“从数到代数”的教学研究与案例评析
小学数学“从数到代数”的教学研究与案例评析
孙兴华（特级教师）
一、核心内容数学基本思想分析
小学阶段代数初步的内容包括式与方程和正反比例，而式与方程中又包括字母表示数和方程两部分。
代数学习的一个重要核心词为“符号意识”，此次标准修订，将原来的“符号感”改为了“符号意识”，这两个称谓就其英文表述来看没有变化，而中文表述将“感”改为“意识”应该说其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。
符号意识主要包括两方面的内容，一个是关于概念的符号，一个是关于关系的符号。
能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。
建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
概念符号。
自然数就是一种符号，人们用自然数这样的符号表达数量的多少。
但“符号意识”中所说的概念符号更为抽象，在小学“数与代数”中主要是指:
用字母表示数。
因为数是对数量的抽象，因此这种表示也蕴含着用字母表示一般的数量。
事实上，人们对这样的表示已经约定俗成:
用t表示时间，用r表示半径;用拉丁字母的前几个a、b、c表示已知量，用拉丁字母的后几个x、y、z表示未知量等等。
关系符号。
关系符号在数学中是必不可少的，这是为了述说的简单准确。
除了用“+”、“-”、“×”、“?
”等符号表示概念之间的运算之外，还用符号表示概念之间的性质关系。
比如，用“=”表示相等的关系，用“?
”表示大约等于的关系，用“,”表示大于的关系，用“?
”表示隶属关系，用“?
”表示包含关系等等。
需要注意的是，用这样的符号表示的是两个或多个概念之间的性质关系，因此在使用这些符号时，一定要清楚符号所代表的性质本身的含义是什么。
符号意识主要强调两条，一条是知道符号可以像数那样进行运算和推理，一条是知道通过符号运算和推理得到的结果具有一般性。
第二学段开始正式引入字母表示数和简易方程，这是学生数学学习的又一次抽象。
《标准》对于这方面的要求是:
1.在具体情境中能用字母表示数。
2.结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。
3.能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2,5，2x-x,3），了解方程的作用。
4.了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。
（一）用字母表示数
用字母表示数是建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃，是形成代数式、整式、分式和根式的一系列概念，对于学会各类运算的基础具有重要的意义，需要引起高度重视，并贯穿于学习数与代数的始终。
从第二学段的式与方程部分开始，讨论在具体情境中会用字母表示数;结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。
以字母表示数为基础，研究代数式的概念与运算。
英国关于儿童数学概念发展水平的研究表明:
学生对字母表示数的理解方式可以概括为六个水平:
?
一看到字母，就直接赋予它一个数值;?
对题中的字母视而不见，不理睬，或者承认其存在，但不赋予它任何意义;?
把代数式中的字母看作具体物体的记号，或直接看作物体;?
把字母看作特定的未知量，这时字母在儿童心中是某个具体的未知数的记号，可以直接参与运算;?
把字母看作广义的数，这时在儿童心中字母是数，而且可以取多个值;?
把字母看作变量，即儿童把字母看作可在一定范围内的变数，两组这种数之间有一种系统的关系。
可以设计学生熟悉的生活情境，让学生感受字母表示数和用字母表示某些数量关系。
如:
例一:
爸爸25岁时，小明1岁;爸爸26岁时，小明2岁。
可以用下面的方式表示爸爸和小明年龄的关系:
用a表示爸爸的年龄，b表示小明的年龄。
b=a-24表示爸爸的年龄和小明的年龄之间的关系。
从字母表示的“数”这个对象来看，字母是数的化身，但从本质上看字母又不同于数。
字母符号含有丰富的语言特性:
它可以是已知数，也可以是未知数，也可以是变化的数;可以是表示具体意义的数，也可以是一般意义的数。
学生对字母是未知与己知、是特殊表示与一般表示、是确定与可变等这些辩证关系进行考察时，对字母的形式与其所表达内容进行识别的过程中也是在逐步渗透辩证思想的教育。
因此，重视揭示字母表示的形式与内容的辩证
关系，有助于学生学会用辩证的思想去分析和解决问题，形成辩证唯物主义观点。
（二）简易方程
在第二学段，学习了方程的初步知识:
能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2,5，2-,3），了解方程的作用。
了解等式的性质，能用等式的性质解简单的xx
方程。
在这一过程中，了解了等量关系、方程、等式与方程的解等与方程有关的常识，以及解简单方程的方法。
对于方程作为刻画现实情境中数量关系，沟通已知数和未知数的一种数学模型提供了一些素材，留下了初步的印象;进而通过解方程求得未知数的值，对实际问题做出合理解答，初步领会方程的意义。
长期以来，在小学阶段教学简易方程，方程变形的主要依据是四则运算各部分间的关系。
这实际上是用算术的思路求未知数。
这样的教学利用了学生已有的知识，因而易于理解，但是却不易与中学的教学衔接，到了中学还需要重新学习依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程。
现在，根据《标准》的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法，不仅有利于加强中小学数学教学的衔接，而且有利于学生逻辑思维能力的发展。
但对方程和方程的解的概念以及有关解方程的依据和方法的认识只是初步的，尚未把握方程的实质，形成方程的系统理论。
简易方程引入的价值在于，为学生提供用代数方法解决问题的途径。
小学阶段解决问题的基本方式是算术方法。
基本的数量关系模型一是求和的关系（部分+部分=整体），二是求积的关系（每份数*份数=总量）。
具体的表现为加、减、乘、除的意义。
算术方法解决问题基本上是根据加减乘除四则运算的含义，分析问题中的数量关系，列出一个算式。
这个算式的基本特征是将已知的数量构成的算术式使其结果等于所求的数量。
如:
例二:
教室里原本有一些同学，后来又分成2次，每次进来15个同学，现在教室里一共有45个同学。
问原来教室里有多少个同学,
用算术的方法，一定要列一个算术式:
45-15*2
而用方程来解这样的题，可以先用字母x表示教室里原有人数。
按照数量关系，可以列出方程:
X+15*2=45
后者是直接用部分+部分=总体的思路，X在这里和其他的数一起在解题过程中运用。
而前者是求和逆运算，是已经和与一个部分，求另一个部分。
在解决较为复杂的问题时，方程与算术的方法有着明显的区别。
对于解方程，《标准》明确“用等式的性质解简单的方程”。
等式的性质反映了方程的本质，将未知数和已知数同等看待，也是代数思维与算术思维的基本区别。
在上面的例子
中，解这个方程的过程就是:
开始从算术方法到代数方法可能显得比较繁琐，特别是对于简单的数量关系算术的方法操作起来容易一些。
但在解简单方程时还是应当用等式性质，一方面体现代数的方法本质，另一方面也是与第三学段学习方程的思路一致。
（三）正比例、反比例
正比例和反比例是一类常用的数量关系，这部分内容的学习是函数思想在小学的体现。
《标准》中的要求是:
1.在实际情境中理解比例及按比例分配的含义，并能解决简单的问题。
2.通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量。
3.会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值（参见例三）。
4.能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流。
在现实中，有许多数量关系可以表示为成正比例的量和成反比例的量，其本质是两个量按一定的比例关系发生变化。
如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例增加（减少），两个量是成正比例的量。
如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例减少（增加），两个量是成反比例的量。
如果分别用X和Y表示两个量，前者可以表示成Y=aX（a>0）;后者可以表示成Y=a/X，或XY=a（a>0）。
正比例和反比例的关系本质上是函数关系，小学阶段并不出现函数的概念，是让学生具体的感知两个量之间的关系。
一是使学生对数量关系的认识和理解更丰富，二是为第三学段进一步学习正比例函数和反比例函数，以及学习一般的函数知识做准备。
教学中应与实际情境紧密联系，用具体的学生可以理解的方式呈现这个内容，引导学生从数量之间关系的角度，两个量之间变化的规律理解和掌握这个内容。
《标准》中的案例说明了教学中应关注的问题。
例三:
彩带每米售价3.2元，购买2米，3米，„，10米彩带分别需要多少元,在方格纸上把与数对（长度，价钱）相对应的点描出，并且回答下列问题:
（1）所描的点是否在一条直线上,
（2）估计一下买1.5米的彩带大约要花多少元,
（3）小刚买的彩带长度是小红的3倍，他所花的钱是小红的几倍,
希望学生感受成正比例关系的一组数对所对应的点在一条直线上，并且能够借助图形进行数据的估计。
教学中引导学生在描点之前，先建立下面的表格，有利于直观地理解正比例关系，并为描点作准备。
长01234567„
度/米
价03691112„
钱/元.2.4.62.869.22.4
二、核心知识的教学策略
（一）用字母表示数的教学策略
1.帮助学生建立对符号本身的正确认识
调查显示绝大部分学生对文字符号的认识处于比较低级的水平，仅将其作为一个未知的确定的数或者一个特定的记号，鲜有学生能将符号看作推广的数或者变量，这种对符号本身认识上的误区直接造成了学生在代数式使用和操作上的困难。
因此，这个问题的突破成为许多教师教学设计时的重点之一。
例四:
（1）生活中的用字母表示数。
出示:
CCTV和QQ这是什么标志，认识吗,
看来生活中用字母表示一些事物很方便，很简洁。
（这里的字母并不表示数，而仅是英语的缩写，代表一定的含义。
）
出示:
Q、8、J、K
这里的Q就是12，J表示11，K表示13，扑克牌中的字母表示的是一个特定的数。
（仍然是生活中常见的字母，但却代表着一个确定的数，这成为学生在数学中学习用字母表示数的知识增长点。
）
（2）数学中的用字母表示数。
出示:
2、4、6、A、l0、12„„
l、3、5、7、B、11、13„„
这里的A和B表示多少?
可能是别的吗?
数学上也常用字母来表示特定的数。
出示:
一个正方形，这个正方形周长怎么求?
正方形的边长用什么字母来表示?
a可以是哪些数?
（a可以表示任意一个正方形的边长，它是一个变化的数。
）
在数学上我们经常采用一个英文单词的开头字母来表示概念。
出示:
英文字母C、S、v、t„„
面积用S表示，你能说出正方形面积的字母公式吗?
S=a×a
这里的字母也是英语单词的缩写，但是在公式中，也表示变化的数。
学生在生活和学习中，已经累积了一些关于字母表示数的经验，唤醒和提炼学生的经验，使学生认识到字母符号的多重含义，有助于学生形成对符号本身的正确认识。
2.优化学生对用字母表示数的认识
虽然学生积累了一些关于用字母表示数的感性经验，但是不管是运算律还是公式，绝大部分学生仅将其作为一种固定的模式记忆，缺乏对用字母表示数的抽象过程的经历。
因此，让学生经历用字母表示数的过程，优化学生对用字母表示数的认识，是许多教师教学设计时的另一关注点。
例五:
小棒摆三角形。
摆一个三角形要用几根小棒,摆两个三角形要用几根棒呢,三个呢,四个呢,怎样列式,l×3、2×3、3×3、4×3
像这样继续说下去我们说的完吗,看来就是因为表示三角形的个数的“数字”总在变化，才让我们说也说不完，写也写不完，那我们能想个办法，就用一个式子表示所有式子
吗?
（学生说出a×3，b×3等等含有字母的式子。
）
我们用简单的“a×3”就表示了摆三角形用小棒根数的所有可能的情况，看来用字母表示数确实很方便，很简洁。
这里的字母不再表示特定的数，而是表示变化的数。
在教学设计中，教师通过问题的引导，激发了学生用字母表示数的需求，凸显了用字母表示数的产生过程极其简洁、信息量大的优点，对问题所蕴含的关系规律讨论透彻，对取值范围的讨论自然深入。
在例题的教学中，我们要关注用字母表示变化的数的把握，学生的认识集中在字母与字母表示“数”的层面上，随后我们就要引入一些素材，引导学生进一步理解如何用字母表示数量关系，即用代数式表示不变的关系。
上个案例的设计意图就在于此，将学生的注意力集中在关系的表示上，引导学生进一步辨析代数式所表示的意义，使学生对代数式的认识不仅限于字母，而扩展到对整个代数式的结构和意义的把握。
3.提高学生符号表征的意识和能力
例六:
（1）任意框几次，看看每次框出的5个数的和与中间的数有什么关系,
（2）如果框出的5个数的和是180，应该怎样框,能框出和是100的5个数吗?
为什么,
问题
（2）的解决必须以问题
（1）的解决为基础。
题目的设计意图是让学生通过多次的框数和计算总结规律，但从实际做题情况来看，有很多学生只会再框一次数，便草率地下结论，这样的思维过程是极不严谨的。
同时，同类问题在教材和练习中多次出现，而每次的要求都只是让学生总结规律，并没有进一步探索的要求，久而久之学生记住的只是一成不变的结论，造成了素材资源的浪费，不利于学生的数学学习。
为了解决这一问题，我们在学生初步总结出规律之后，可以通过符号表征进一步引导学生探索规律形成的内在成因，同时也验证自己的初步猜测，使学生较严谨、完整地经历解决问题的全过程。
如:
为什么中间的数会成为5个数的平均数呢?
（过渡）
通过框数，你能发现框中的五个数之间有怎样的关系吗?
（为符号表征作准备）
如果中间的数用a表示，你能表示出框中的其它数吗?
任意框一次，框中的五个数都可以这样表示，那么五个数的和应该如何表示呢?
现在你能看出中间数与五个数的和是什么关系吗?
这种一般化的讨论方法具有很强的适用性，可以帮助学生研究其它类型的框数问题。
（二）方程的教学策略
1.方程的意义
含有未知数的等式。
学习方程不仅是知道这个定义，学习方程的价值在于会用方程解决问题，并且学会运用代数的方法思考问题，培养学生代数思维的能力。
方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在:
（1）建模思想;
（2）转化（数学上通常叫化归）思想。
因此方程在学习时有两个方面要加以重视:
第一，方程刻画的是等量关系，用等号将相互等价的两件事情联系起来，同时，在刻画过程中，把未知数看成和已知数同等的地位。
如人教版教材，突出了对于天平平衡的理解以及从不等关系到相等关系的过程，学生将已知数和未知数自然的联系起来建立等量关系，从而体会了方程的意义。
第二，把方程看成是刻画现实世界中相等关系的重要模型。
在学习中应强调使学生能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2.关于列方程
方程中的等号是问题的核心。
在讨论加法时曾经说过，符号“=”的本质含义是:
等号两边的量相等。
因此，方程的本质是描述现实世界中的等量关系。
更具体的说，方程描述的是现实世界中与数量有关的两个故事，其中用字母表示未知的量;这两个故事有一个共
同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。
这就是列方程的基本原则。
3.关于解方程
解方程的基本原则是利用方程的性质:
等式两边加减乘除同一个数，等式不变;等式两边交换，等式不变。
如:
例七:
求方程5–x=3的解。
根据所说的原则，可以如下教学:
等式两边同时加x，得到:
5=3+x
等式两边同时减3，得到:
5-3=x
等式两边交换，得到:
x=5–3
最后计算，得到:
x=2。
许多教师会认为，这样计算实在是多此一举，因为可以通过减法直接得到结果。
但应当清楚的是:
现在是在教如何解方程，就应当让学生掌握解方程的通性通法，让学生更好地把握方程的本质。
一题一解的教学方法是不足取的，技能表现于一般性，技巧表现于特殊性。
事实上，问题稍微复杂一些，就不可能用减法直接得到结果了，比如，5–x=3+2x。
因此在数学教学过程中，需要培养的是技能而不是技巧，在“四基”中强调的是技能。
（三）正反比例的教学策略
1.帮助学生理解变化的量及变量之间的关系
在正式学习正、反比例关系这前，可以设计学生感兴趣的日常生活或其他学科中的情境，使他们体会变量和变量之间相互依赖的关系，以及变化之中的不变。
对于变量和变量之间关系的学习，除了为正式引入正、反比例做准备之外，能使学生感受到存在着大量的变量与变量之间的关系，感受到数学在解决问题中的作用。
2.加强正、反比例解决问题中对“变”的关注
正、反比例反映的都是两种量之间存在的一种关系，是一种变化关系，在变化中又存在着某种不变。
因此，正、反比例的概念有两个值得关注的地方，一是关注“变化”，二是关注“不变”。
在比例的概念中存在着两组对应的四个数值，用比例解决问题本质上就是通
过己知的三个数值去求出未知的第四个数值。
教材中，用比例解决问题更多的是关注“不变”。
例八:
张大妈家上个月用了8吨水，水费是12.8元。
李奶奶家用了10吨水，上个月水费是多少钱?
教材中呈现的方法是“张家水费:
张家用水吨数=李家水费:
李家用水吨数”这个比例式，显然是更关注每吨水的价钱“不变”。
《标准》中对正、反比例这一内容的定位是“根据一种量的变化规律来探讨另一种量的变化规律”，这样用比例解决问题显然很难实现这一目的。
如果再补充一种方法，即:
“张家水费:
李家水费=张家用水吨数:
李家用水吨数”的比例式，就更突出“水费”随着“用水吨数”发生相同倍数的“变化”规律，是“根据一种量的变化来探讨另一种量的变化”了。
3.在教学中渗透函数思想
在有关正、反比例的教学中，我们常说要渗透函数思想，但“函数”并不是小学的学习内容，那在小学学习正比例和反比例的价值是什么呢,
函数是一种具有普遍意义的数学模型，在分析和解决一些实际问题中有着广泛的应用。
函数是“数与代数”的重要内容，也是义务教育阶段学生比较难理解和掌握的数学概念之一。
《标准》在三个学段中均安排了与函数相关联的内容目标，希望学生能够逐渐加深对函数的理解。
因此，教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的原则，分阶段逐渐深化。
在第二学段中，引入正比例与反比例，它们是一类常用的数量关系，这部分内容的学习是函数思想在小学的体现。
在现实中，有许多数量关系可以表示为成正比例的量和成反比例的量，其本质是两个量按一定的比例关系发生变化。
如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例增加（减少），两个量是成正比例的量;
如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例减少（增加），两个量是成反比例的量;
如果分别用X和Y表示两个量，前者可以表示成Y=aX（a>0）;后者可以表示成Y=a/X，或XY=a（a>0）。
正比例和反比例的关系本质上是函数关系，小学阶段并不出现函数的概念，但要让学生感知两个量之间的关系。
一是使学生对数量关系的认识和理解更加丰富，二是为第三学段进一步学习正比例函数和反比例函数，以及学习一般的函数知识做准备。
教学中应与实际情境紧密联系，用学生可以理解的具体的方式呈现这些内容，引导学生从数量关系的角度，以
及两个量之间变化的规律的角度来理解并掌握这个内容。
4.图像在正、反比例教学中的价值
学生对正、反比例的学习，就是从简单的数量关系过渡到对“变化关系”的认识和学习。
与以往的教材和教学要求相比，在方格纸上画图是个新的要求，教材中也出现了“正比例”及“反比例”的图像，它的价值是什么,教师该如何发挥好“图像”的作用，更好地体现和渗透函数思想呢,
“成正比例的量”这节课有的老师紧紧抓住了“图像”作为帮助学生认识和理解正比例的重要素材。
老师在学生根据表格、算式等熟悉的方式表示出正比例关系之后，引出了“图像”，把它作为新朋友非常隆重地介绍给了学生。
让学生通过初步的猜想和分析，对图像有初步的感知，为后面深入而细致的探究奠定了基础。
正比例教学是从常量数学到变量数学学习的启蒙阶段;图像教学能够直观地呈现两个变量之间的相依关系，使学生加深对正比例意义的理解。
通过这样的教学，可以渗透函数思想，促进中小衔接，能够为学生今后的学习奠定基础。
因为学生有折线统计图的学习基础，描点连线对学生而言并不困难，可以自然地迁移。
因此，在课堂上让学生认识正比例图像是有认知基础的。
但同时也会存在困难，例如:
该不该从0开始画呢,这个学生在学习正比例图像是普遍存在的问题。
这个问题对于学生理解正比例有怎样的意义呢,可以看出，课堂上虽然学生能画出图像，但他们大都是依据画折线统计图时的经验，这其实是错误的。
在教学中，老师要及时抓住学生生成的问题，逐步进行深入的剖析，使学生明确这条直线是由无数个处在同一条直线上的点形成的。
学生在探究的过程中，虽然会描点连线，甚至能找到变化规律，但是并没能够顺利地在图像、表格和规律之间建立有机的联系。
对于数学的认识还是比较孤立、比较静止的，缺乏运动的观点和变量的意识。
这正是函数的核心所在，是引导学生深入理解正比例关系的要害所在，也正是发挥“图像”作用的重要契机。
因此，老师要帮助学生进一步展开分析，对图像的补充过程，也正是学生对正比例关系认识的完善过程。
函数有三种数学表示方法:
表格、关系式和图像，这就是人们通常所说的函数的多重表示。
多重表示的方法不仅可以加强概念的理解，也是解决问题的重要策略。
图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义。
函数关系用图像来表示，以其直观性有着其它表示方式所不能替代的作用，它是“看见”两种量之间的关系和变化情况的途径之一。
学生在现阶段学习正比例图像，是十分困难的，这是他们第一次接触函数图像。
在学习的过程中，重在让学生认识图像，感受图像的作用、价值和美，为将来继续学习函数和图像做好心理准备。
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