最新北师大版数学九年级下册第二章检测试题及答案.docx
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最新北师大版数学九年级下册第二章检测试题及答案
第二章达标测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝3x－1B．y＝3x2－1C．y＝（x＋1）2－x2D．y＝
2．对于二次函数y＝3（x－2）2＋1的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝－2
C．顶点坐标是（2，1）D．与x轴有两个交点
3．将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线为（ ）
A．y＝－2（x＋1）2－1B．y＝－2（x＋1）2＋3
C．y＝－2（x－1）2＋1D．y＝－2（x－1）2＋3
4．已知函数y＝x2＋2x－3，当x＝m时，y＜0，则m的值可能是（ ）
A．－4B．0C．2D．3
5．若A
，B
，C
为二次函数y＝x2＋4x－5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2
6．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象可能是（ ）
7．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．－1＜x＜3
B．x＜－1
C．x＞3
D．x＜－1或x＞3
8．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：
m）与小球运动的时间t（单位：
s）之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（ ）
A．6sB．4sC．3D．2s
9．抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于A点，与x轴的正半轴交于B，C两点，且BC＝2，S△ABC＝3，则b的值是（ ）
A．－5B．4或－4C．4D．－4
10．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，E，F，G，H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为y，AE为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）
二、填空题（每题3分，共24分）
11．抛物线y＝－x2＋15有最________点，其坐标是________．
12．如图所示，二次函数的图象与x轴相交于点（－1，0）和（3，0），则它的对称轴是直线________．
13．a，b，c是实数，点A（a＋1，b），B（a＋2，c）在二次函数y＝x2－2ax＋3的图象上，则b，c的大小关系是b________c.
14．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴的一个交点的坐标为（－1，0），则一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的根为________．
15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5时，x的取值范围是______________．
16．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量减少10kg，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为________元时，获得的月利润
最大．
17．如图是一座抛物线型拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为________．
（第17题） （第18题）
18．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①2a＋b＝0；②
a＋c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0.其中正确的结论是________（填写序号）．
三、解答题（19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分）
19．求下列函数的最大值或最小值．
（1）y＝－x2＋2x－1；
（2）y＝4x2－4x－6.
20．已知抛物线y＝（m－1）x2＋m2－2m－2的开口方向向下，且经过点（0，1）．
（1）求m的值；
（2）求此抛物线的顶点坐标及对称轴；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
21．已知抛物线y＝
x2和直线y＝ax＋1.求证：
不论a为何值时，抛物线与直线必有两个不同的交点．
22．某产品每件的成本是120元，试销阶段，每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）的关系如下表：
x/元
130
150
165
y/件
70
50
35
（1）若日销售量y（件）是每件产品的销售价x（元）的一次函数，求y与x的函数关系式．
（2）若每日获得的利润用P（元）表示，求P与x之间的函数关系式．
（3）当每件产品的销售价为多少元时，才能使每日获得最大利润？
最大利润为多少？
23．如图所示，有一条双向公路隧道，其截面由抛物线和矩形ABCO组成，隧道最大高度为4.9m，AB＝10m，BC＝2.4m．现把隧道的截面放在直角坐标系中，若有一辆高为4m、宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道，如果不考虑其他因素，汽车的右侧离隧道的右壁超过多少米才不至于碰到隧道顶部？
（抛物线部分为隧道顶部，AO，BC为壁）
24．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.
（1）求过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式．
（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q.
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．
②若点P的横坐标为t（－1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？
请说明理由．
答案
一、1．B 2．C
3．D 点拨：
将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线为y＝－2（x－1）2＋3.故选D.
4．B 点拨：
令y＝0，得到x2＋2x－3＝0，即（x－1）（x＋3）＝0，解得x＝1或
x＝－3.由函数图象得当－3＜x＜1时，y＜0，则m的值可能是0.故选B.
5．D 6．C 7．A 8．A 9．D 10．B
二、11．高；（0，15） 12．x＝1 13．＜
14．x1＝－1，x2＝3
15．0＜x＜4 点拨：
由表可知，二次函数图象的对称轴为直线x＝2.∵当x＝0时y＝5，∴当x＝4时，y＝5，∴当y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4.
16．70 点拨：
设销售单价为x元，月利润为y元，则y＝（x－40）·[500－
10（x－50）]，即y＝－10（x－70）2＋9000，当x＝70时，y有最大值，获得的月利润最大．
17．2
m 18．①④
三、19．解：
（1）∵y＝－x2＋2x－1＝－（x2－2x＋1）＝－（x－1）2.
∴函数有最大值，最大值是0.
（2）∵y＝4x2－4x－6
＝4（x2－x＋
）－7
＝4（x－
）2－7.
∴函数有最小值，最小值是－7.
20．解：
（1）∵抛物线y＝（m－1）x2＋m2－2m－2的开口向下，且经过点（0，1），
∴
解得m＝－1.
（2）当m＝－1时，此抛物线表达式为y＝－2x2＋1，故顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴．
（3）当x＜0时，y随x的增大而增大．
21．证明：
由
消去y，
整理得
x2－ax－1＝0，
∴Δ＝（－a）2－4×
×（－1）＝a2＋1.
∵不论a取何值，a2总是大于或等于0，
∴a2＋1＞0，即方程有两个不等实根，
∴不论a取何值，抛物线与直线必有两个不同的交点．
22．解：
（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
将（130，70），（150，50）代入得
解得
∴y与x的函数关系式为y＝－x＋200.
（2）P＝（x－120）y
＝（x－120）（－x＋200）
＝－x2＋320x－24000（120≤x≤200）．
（3）∵P＝－x2＋320x－24000
＝－（x－160）2＋1600，
∴当每件产品的销售价为160元时，才能使每日获得最大利润，最大利润为1600元．
23．解：
如图所示，由题意得抛物线的顶点坐标为（5，2.5），且过点O（0，0）和点C（10，0），可求出抛物线的函数表达式为y＝－
x2＋x.用矩形DEFG表示汽车的截面，设BD＝m，直线DG交抛物线于H，交x轴于M，则AD＝
10－m，HM＝－
（10－m）2＋10－m.
∴HD＝－
（10－m）2＋10－m＋2.4.
由题意得－
（10－m）2＋12.4－m＞4，
化简得（m－2）（m－8）＜0，∴2＜m＜8.
故汽车的右侧离隧道右壁超过2m才不至于碰到隧道顶部．
24．解：
（1）联立方程组
解得
∴B点坐标为（－1，1）．
又C点为B点关于原点的对称点，
∴C点坐标为（1，－1）．
∵直线y＝－2x－1与y轴交于点A，
∴A点坐标为（0，－1）．
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，
把A，B，C三点的坐标分别代入，得
解得
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－x－1.
（2）①连接PQ.
由题易知PQ与BC交于原点O.当四边形PBQC为菱形时，PQ⊥BC，
∵直线BC对应的函数表达式为y＝－x，
∴直线PQ对应的函数表达式为y＝x.
联立方程组
解得
或
∴P点坐标为（1－
，1－
）或（1＋
，1＋
）．
②当t＝0时，四边形PBQC的面积最大．理由如下：
如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，过P作x轴的垂线，交直线BC于点E，
易知S四边形PBQC＝2S△PBC＝2×
BC·PD＝BC·PD.
∵线段BC的长固定不变，
∴当PD最大时，四边形PBQC的面积最大．
又∠PED＝∠AOC（固定不变），
∴当PE最大时，PD也最大．
∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，
∴P点坐标为（t，t2－t－1），
E点坐标为（t，－t）．
∴PE＝－t－（t2－t－1）＝－t2＋1.
∴当t＝0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．
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