算法竞赛入门经典授课教案第6章数据结构基础.docx
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算法竞赛入门经典授课教案第6章数据结构基础
第6章数据结构基础
【教学内容相关章节】
6.1栈和队列6.2链表6.3二叉树6.4图
【教学目标】
（1）熟练掌握栈和队列及其实现；
（2）了解双向链表及其实现；
（3）掌握对比测试的方法：
（4）掌握随机数据生成方法：
（5）掌握完全二叉树的数组实现：
（6）了解动态内存分配和释放方法及其注意事项：
（7）掌握二叉树的链式表示法：
（8）掌握二叉树的先序、后序和中序遍历和层次遍历；
（9）掌握图的DFS及连通块计数；
（10）掌握图的BFS及最短路的输出：
（11）掌握拓扑排序算法：
（12）掌握欧拉回路算法。
【教学要求】
掌握栈和队列及其实现；掌握对比测试的方法：
掌握随机数据生成方法；掌握完全二叉树的数组实现和链式表示法：
掌握二叉树的先序.后序和中序遍历和层次遍历；掌握图的DFS和BFS遍历：
掌握拓扑排序算法：
掌握欧拉回路算法。
【教学内容提要】
本章介绍基础数据结构，包括线性表、二叉树和图。
有两种特殊的线性表：
栈和队列。
对于树型结构主要讨论二叉树，还有二叉树的先序、中序和后序的遍历方式。
对于图主要讨论图的DFS和BFS的遍历方法。
这些内容是很多高级内容的基础。
如果数据基础没有打好,很难设计正确、髙效的算法。
【教学垂点、难点】
教学重点：
（1）掌［屋栈和队列及其实现：
（2）掌握对比测试的方法：
（3）掌握随机数据生成方法：
（4）掌握完全二叉树的数组实现和链式表示法：
（5）掌握二叉树的先序.后序和中序遍历和层次遍历：
（6）掌握图的DFS和BFS遍历：
（7）掌握拓扑排序算法和欧拉回路算法。
教学难点：
（1）掌握完全二叉树的数组实现和链式表示法：
（2）掌握二叉树的先序.后序和中序遍历和层次遍历：
（3）掌握图的DFS和BFS遍历：
（4）掌握拓扑排序算法和欧拉回路算法。
【课时安排（共9学时）】
6.1栈和队列6.2链表6.3二叉树6.4图
（1学时）
6.1栈和队列
线性表是“所有元素排成一行”的数拯结构。
除了第一个元素之外，所有元素都有一个“前一个元素S除了最后一个元素外，所有元素都有“后一个元素化
线性结构是重要的算法和数据结构的基础。
下而介绍两种特姝的线性表：
栈和队列。
6.1.1卡片游戏
桌上有叠牌，从第一张牌（即位于顶而的牌）开始从上往下依次编号为1〜n。
当至少还剩两张牌时进行以下操作：
把第一张牌扔掉，然后把新的第一张放一整叠牌的最后。
输入m输出每次扔掉的牌，以及最后剩下的牌匚
样例输入：
7
样例输出：
1357426
【分析】
本题中牌像在排队。
每次从排头拿到两个，其中第二个再次排到尾部。
这种数据结构称为队列。
在数据结构称为FIFO（FirstinFirstout,先进先出）表。
用一个数组queue来实现这个队列，可设两个指针front和rear0
完整的程序如下：
^include
constintMAXN=50;
intqueue[MAXN];
intmainO{
intn,front,rear;
scanf（W&n）;
for（inti=0;ifront二0;
//队首元素的位置
rear=n;
//队尾元素的后一个位置
while（front〃当队列非空
printf（?
，%d"、queueLfront++]）；
//输出并抛弃队首元素
queue^rear++]=queue[front++];
//队首元素转移到队尾
}
return0;
}
注意：
上而的程序有bug。
如果在最后把rear的值打印出来，rear比n大。
即在程序运行的后期，queue[rear++]=queue[front++]读写了非法内存。
也可以采取将数组空间开大些，或采取一种称为循环队列的技术，重用已出队元素占用的空间。
C++提供了一种更加简单的处理方式一一STL队列。
下面是代码：
^include
frinclude
usingnamespacestd;
queueq;
intmainO{
intn,front,rear;
q.push（i+l）;//初始化队列
〃当队列非空
//打印队首元素
//抛弃队首元素
//把队首元素加入队尾
//抛弃队首元素
scanff&n）;
for（inti=0;iq.empty（））{
printf（?
，%d",q.front（））;q・pop0;
q.push（q.front（））;
Q-Pop0；
}
return0;
}
上而的程序的可读性大大增强了，体现在“queue：
"front"见名知义的命名，使用了C++STL。
除此之外，上而的代码还有两个附加的好处。
首先，不需要事先知道n的大小：
其次，可以少用两个变front和rear0减少魔术数（magicnumber）和变量个数都是提高代码可读性.减少错误可能性的重要手段。
说明：
（1）任ACH竞赛中，需要用到数组.字符串.队列.堆栈、链表、平衡二叉检索树等数据结构和排序、搜索等算法，以提髙程序的时间、空间运行效率，这些数据结构，如果需要手工来编写，那是相当麻烦的事情。
（2）ANSIC++中包含了一个C++STL（StandardTemplateLibrary）^即C卄标准模板库，又称为C卄泛型库，它在std命名空间中左义了常用的数据结构和算法，使用起来十分方便。
（3）C++STL组件
STL组件三种类型的组件：
容器、迭代器和算法，它们都支持泛型程序设计标准。
容器主要有两类：
顺序容器和关联容器。
顺序容器（vector,list,queue,string等）一系列元素的有序集合◎关联容器（set、multisetsmap和mulimap）包含査找元素的键值。
迭代器的作用是遍历容器。
STL算法库包含四类算法：
排序算法.不可变序算法、变序性算法和数值算法。
（4）queue队列容器
queue队列容器是一个先进先岀（FirstInFirstOut,FIFO）线性存储表，元素的插入只能在队尾、元素的删除只能在队首。
使用queue需要声明头文件包含语句“#includequeue文件在C:
\ProgramFiles\MicrosoftVisualStudio\VC98\Include文件夹里。
queue队列的操作有入队pushO（即插入元素）、岀队pop（）（即删除元素）、读取队首元素front0.读取队尾元素backO.判断队列是否为空empty0和队列当前元素的数目sizeOo
下而给出一个程序来说明queue队列的使用方法。
^include
^include
usingnamespacestd;
intmainO{
〃定义队列，元素类型是整型
queueq;
//入队，即插入元素
q.push（l）;
q.push
（2）;
q.push（3）;
q.push（9）;
〃返回队列元素数咼
cout<〃队列是否为空，是空，则返回逻辑真，否则返回逻辑假cout<//读取队首元素
cout«q.front0«endl;
//读取队尾元素
cout<//所有元素出列（删除所有元素）
while（q.empty（）!
=true）{
cout<//队首元素出队（删除队首元素）
Q-Pop0；
}
//回车换行
cout«endl;
return0;
}
运行结果：
4
0
1
9
1239
6.1.2铁轨
某城市有一个火车站，铁轨铺设如图6-1所示。
有n打车厢从A方向驶入车站，按进站顺序编号为1〜你的任务是让它们按照某种特左的顺序进入B方向的铁轨并驶出车站。
为了重组车厢，你可以借助中转站C。
这是一个可以停放任意多节车厢的车站，但由于末端封顶，驶入C的车厢必须按照相反的顺序驶岀C。
对于每个车厢，一旦从A移入C,就不能再回到AT：
一旦从C移入B,就不能回到CTo换句话说，在任意时刻，只有两种选择：
A-C和C-Bc
样例输入：
5
12345
5
54123
6
654321
样例输岀：
Yes
No
Yes
【分析】
在中转站C中，车厢符合后进先出的原则，称为栈，即LIFO（LastInFirstOut）表。
由于它只有一端生成，实现栈时只需要一个数组stack和栈顶指针（始终指向栈顶元素）。
完整的程序如T*：
Sinclude
constintMAXN=1000+10;
intn,target[MAXN];
intmainO{
while（scanf（”％d",&n）=1）{
intstack[MAXN],top=0;
intA=1,B=1;
for（inti=1;i<=n;i++）
scanff&target[i]）;
intok=1;
while（B<=n）{
if（A=target[B]）{A++;B++；}
elseif（top&&stack[top]==targetEB]）{top--；B++;}
elseif（A<=n）stack[++top]=A++;
else{ok=0;break;}
}
printf（"%s\n",ok?
"Yes":
"No"）;
}
return0;
}
说明：
为了方便起见，使用的数组下标均从1开始。
例如，target[1]是指目标序列中第一个车厢的编号，而stackEl]是栈底元素（这样，栈空当且仅当top二0）。
下而给出STL栈来实现的程序：
^include
^include
usingnamespacestd;
constintMAXN=1000+10;
intn,target[MAXN];
intmainO{
while（scanf（z，%d，/,&n）==1）{stacks;
intA=1,B=1;
for（inti=1;i<=n;i++）scanf&target[i]）;
intok=1;
while（B<=n）{
辻（A=targetLB]）{A++;B++;}
elseif（!
s・empty（）&&
s.top0
=target[B]）{
s・pop0;
B++;}
elsei.f（A<=n）s
；・push（A++）;
else{ok=0;break;}
}
printf（”％s\n",ok?
"Yes":
"No"）;
}
return0;
}
说明：
（1）stack栈容器是一种C++STL中的容器，它是一个后进先出（LastInFirstOut,LIFO）的线性表，插入和删除元素都只能在表的一端进行。
插入元素的一端称为栈顶（StackTop）,而另一端称为栈底（StackBottom）«插入元素称为入栈（Push）,元素的删除则称为出栈（Pop）o
（2）要使用stack,必须声明头文件包含语句“#include〈stack〉"。
stack文件在C:
\ProgramF订es\MicrosoftVisualStudio\VC98\Include文件夹中。
（3）栈只提供入栈、出栈、栈顶元素访问和判断是否为空等几种方法。
釆用pushO方法将元素入栈：
采用pop（）方法出栈：
釆用top（）方法访问栈顶元素；采用empty0方法判断栈是否为空，如果为空，则返回逻辑真，否则返回逻假。
当然，可以采用sizeO方法返回当前栈中有几个元素。
下而的程序是对栈各种方法的示例：
^include
^includeusingnamespacestd;
intmainO{
//立义栈s,其元素类型是整型
stacks;
//元素入栈，即插入元素
s.push（l）;
s.push
（2）;
s.push（3）;
s.push（9）;
//读取栈顶元素
cout«s・top0<//返回栈元素数量
cout«s・size（）«endl;
〃判断栈是否为空
cout«s・empty（）«endl;
//所有元素出栈（删除所有元素）
while（s.empty0!
=true）{//栈非空
COUt«S.top（）V”；//读取栈顶元素
s.pop（）;//出栈（即删除栈顶元素）
}
//回车换行
cout«endl;
return0;
}
运行结果：
9
4
0
9
9321
6.2链表
在多数情况下，线性表都用它的顺序存储结构一一数组很轻松实现，但对有些问题有时用它的链式存储结构一一链表更好。
6.2.1初步分析
例6-1移动小球。
你有一些小球，从左到右依次编号为1,2,3,-sn,如图6-2所示。
图6-2链表的初始状态
可以执行两种指令。
其中，AXY表法把小球X移动到小球Y左边，BXY表示把小球X移动到小球Y右边。
指令保证合法，即X不等于人
例如，在初始状态下执行A14后，小球被移动小球4的左边，如图6-3所示。
图6-3—次操作后的链表状态
如果再执行B35,结点3将会移到5的右边，如图6-4的所示。
图6-4两次操作后的链表状态
输入小球个数m指令条数m和n条指令，从左到右输出最后的序列。
注意，n可能髙达500000,而m可能高达100000.
样例输入：
62
A14
B35
样例输出：
214536
【分析】
各个小球在逻辑上是相邻的，因此可考虑把它们放在一个数组A中，所以完整的程序如下：
^include
constintMAXN=1000;
intn,A[MAXN];
intfind（intX）{
for（inti=1;i<=n;i++）
辻（A[i]=X）returni;
return0;
}
voidshift_circular_left（inta,intb）{
intt=A[a];
for（inti=a;iA[b]=t;
}
voidshift_circular_right（inta,intb）{
intt=A[b];
for（inti=b;i>a;i—）A[i]二A[i-1];
A[a]=t;
}
intmainO{
intm,X,Y,p,q;
chartype[9];
scanf（，z%d%d/z,&n,&m）;
for（inti=1;i<=n;i++）//初始化数组
A[i]=i;
for（inti=0;iscanfC%s%d%d\type,&X,&Y）;
P二find（X）;//查找X和Y在数组中的位置
q=find（Y）;
if（typeE0]==，A，）{
if（q>P）shift_circular_left（p,qT）;//A[p]到A[qT]往左循环移动
elseshift_circular_right（q,p）;//A[q]到A[p]往右循环移动
}else{
if（q>p）shift_circular_left（p,q）;//A[p]到A[q]往左循环移动
elsesh辻t_circular_right（q+1,p）;//A[q+1]到A[p]往右循环移动
}
}
for（inti=l;i<=n;i++）
printf（z，%d"、A[i]）;
printf（，z\n/z）;
return0;
}
对于上而的程序，当数据量很大时.代码是否会超时。
一般来说，可以用两种方法判断:
测试和分析。
讣时测试的方法在前而已讲过，它的优点是原理简单、可操作性强，缺点在于必须事先程序写好一一包括主程序和测试数据生成器」如果算法非常复杂，这是相当花时间的。
另一种方法是写程序之前进行算法分析，估算时间效率,这种方法在第8章会详细分析。
不过现在可以直观分析一下：
如果反复执行B1n和A12,每次都移动几乎所有元素。
元素个数和指令条数都那么大，移动总次数将是相当可观的。
6.2.2链式结构
第二种方法是强调小球之间的相对顺序，而非绝对顺序。
用left[i]和right[i]分别表示编号为i的小球左边和右边的小球编号（如果是0,表示不存在），则在移动过程中可以分成两个步骤：
把X移岀序列：
把X重新插入序列。
第一步让1eft[X]right[X]相互连接即可,如图6-5所示。
注意，其他所有的left
和right都不会变化。
图6-5在链表中删除结点
第二步类似。
对于A指令，需要修改left[Y]的right值和Y的left值，如图6-6所
图6-6在链表中插入结点（情况A）
而对于B指令,需要修改Y的right值和right[Y]的left的值，如图6-7所示。
图6-7在链表中插入结点（情况B）
不管在哪种情况下，最后都需要修改X自己的left和righto对于特殊情况下，对于最左的小球X,它的leftEX]的值为0,但可以假想最左的小球左边有一个编号为0的虚拟的小球。
那么对最右的小球的右边的虚拟小球编号为n+1。
核心的代码如下：
scanfC%s%d%d",type,&X,&Y）;
link（leftEX],right[X]）;
if（type[01='A'）{
linkdeftEY],X）;//这一行和下一行不能搞反
link（X,Y）;
}
else{
link（X,right[Y]）;//这一行和下一行不能搞反
link（Y,X）;
}
函数link（X,Y）的作用是赋值right[X]二Y,然后left[Y]=Xo
完整的程序如下：
^include
constintMAXN=1000;
intn,left[MAXN],right[MAXN];
voidlink（intX,intY）{
right[X]=Y;left[Y]=X;
}
intmainO{
intm,X,Y;
chartype[9];
scanf（z/%d%dz\&n,&m）;
for（inti=1;i<=n;i卄）{
leftti]二i-1;right[i]二i+1;
}
for（inti=0;iscanfC%s%d%d",&type,&X,&Y）;
1ink（left[X],right[X]）;
if（type[0]二二’A'）{
link（left[Y],X）;//这一行和下一行不能搞反
link（X,Y）;
}
else{
link（X,right[Y]）;//这一行和下一行不能搞反
link（Y,X）;
}
}
for（intX=right[0];X!
=n+1;X=right[X]）
printf（z，%d",X）;
printf（，z\n/z）;
return0;
}
6.2.3对比测试
对于写好的程序，可能会花费较长的时间进行调试，所以要具备一上的调试和测试能力。
测试的任务就是检查一份代码是否正确匚如果找到了错误，最好还能提供一个让它错误的数据。
有了错误数据之后，接下来的任务便是调试：
找出岀错的原因。
如果找到了错，最好把它改对一一至少对于刚才的错误数拯能得到正确的结果。
改对一组数据之后，可能还有其他错误，因此需要进一步测试：
即使以前曾经正确的数据，也可能因为多次改动之后反而变错了，需要再次调试。
总之，在编码结朿后，为确保程序的正确性，测试和调试往往要交替进行。
确保代码正确的方法是：
再找一份完成同样功能的代码与之对比，用它来和这个新程序“对答案”（俗称对拍）。
对比测试首先需要数据，而且是大虽:
数据。
为此，需要编写数据生成器，完整的代码如下：
^include
^include//randO和stand（）需要
^include//time0需要
intn=100,m=100000;
doublerandom（）{〃生成[0,1]之间的均匀随机数
return（double）randO/RAND_MAX;
}
intrandom（intm）{//生成[0,mT]之间的均匀随机数
return（int）（random0*（m-1）+0・5）;
}
intmainO{
srand（time（NULL））;//利用系统时间，初始化随机数种子
printf（，z%d%d\n，z,n,m）;
for（inti=0;iif（randO%2=0）printf（"A"）;elseprintf（"B"）;//随机指令种类
intX,Y;
for（;;）{
X=random（n）+l；
Y=random（n）+l;
if（X!
=Y）break;//只有X和Y不相等时才是合法的
}
printfC%d%d\n',X,Y）;
}
return0;
}
核心函数是stdlib.h中的randO,它生成一个闭区间［0,RAND_MAX］的均匀随机整数（均匀的含义是：
该区间内每个整数被产生的概率相同），其中RAND_MAX至少为32767（215-1）,在不同的环境下的值可能不同。
严格地说，这个随机数是“伪随机数笃因为它也是由数学公式计算出来的。
6.2.4随机数发生器
上而的程序使用了randO函数和s
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