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1、算法竞赛入门经典授课教案第6章数据结构基础第6章数据结构基础【教学内容相关章节】6. 1栈和队列 6. 2链表 6. 3二叉树 6. 4图【教学目标】（1） 熟练掌握栈和队列及其实现；（2） 了解双向链表及其实现；（3） 掌握对比测试的方法：（4） 掌握随机数据生成方法：（5） 掌握完全二叉树的数组实现：（6） 了解动态内存分配和释放方法及其注意事项：（7） 掌握二叉树的链式表示法：（8） 掌握二叉树的先序、后序和中序遍历和层次遍历；（9） 掌握图的DFS及连通块计数；（10） 掌握图的BFS及最短路的输出：（11） 掌握拓扑排序算法：（12） 掌握欧拉回路算法。【教学要求】掌握栈和队列及其实

2、现；掌握对比测试的方法：掌握随机数据生成方法；掌握完全二叉 树的数组实现和链式表示法：掌握二叉树的先序.后序和中序遍历和层次遍历；掌握图的 DFS和BFS遍历：掌握拓扑排序算法：掌握欧拉回路算法。【教学内容提要】本章介绍基础数据结构，包括线性表、二叉树和图。有两种特殊的线性表：栈和队列。 对于树型结构主要讨论二叉树，还有二叉树的先序、中序和后序的遍历方式。对于图主要讨 论图的DFS和BFS的遍历方法。这些内容是很多高级内容的基础。如果数据基础没有打好, 很难设计正确、髙效的算法。【教学垂点、难点】教学重点：（1） 掌屋栈和队列及其实现：（2） 掌握对比测试的方法：（3） 掌握随机数据生成方法：

3、（4） 掌握完全二叉树的数组实现和链式表示法：（5） 掌握二叉树的先序.后序和中序遍历和层次遍历：（6） 掌握图的DFS和BFS遍历：（7） 掌握拓扑排序算法和欧拉回路算法。教学难点：（1） 掌握完全二叉树的数组实现和链式表示法：（2） 掌握二叉树的先序.后序和中序遍历和层次遍历：（3） 掌握图的DFS和BFS遍历：（4） 掌握拓扑排序算法和欧拉回路算法。【课时安排（共9学时）】6. 1栈和队列 6. 2链表 6. 3二叉树 6. 4图（1学时）6.1栈和队列线性表是“所有元素排成一行”的数拯结构。除了第一个元素之外，所有元素都有一个 “前一个元素S除了最后一个元素外，所有元素都有“后一个元素

4、化线性结构是重要的算法和数据结构的基础。下而介绍两种特姝的线性表：栈和队列。6.1.1卡片游戏桌上有叠牌，从第一张牌(即位于顶而的牌)开始从上往下依次编号为1n。当至少 还剩两张牌时进行以下操作：把第一张牌扔掉，然后把新的第一张放一整叠牌的最后。输入 m输出每次扔掉的牌，以及最后剩下的牌匚样例输入：7样例输出：1 3 5 7 4 2 6【分析】本题中牌像在排队。每次从排头拿到两个，其中第二个再次排到尾部。这种数据结构称 为队列。在数据结构称为FIFO (First in First out,先进先出)表。用一个数组queue来实现这个队列，可设两个指针front和rear0完整的程序如下：in

5、clude const int MAXN = 50;int queueMAXN;int mainO int n, front, rear;scanf (W &n);for(int i = 0; i n; i+) queuei = i+1; /初始化队列front 二 0;/队首元素的位置rear = n;/队尾元素的后一个位置while(front rear) 当队列非空printf (?，%d 、queueLfront+)；/输出并抛弃队首元素queue rear+ = queuefront+;/队首元素转移到队尾return 0;注意：上而的程序有bug。如果在最后把rear的值打印出来，

6、rear比n大。即在程序 运行的后期，queuerear+ =queuefront+读写了非法内存。也可以采取将数组空间开大 些，或采取一种称为循环队列的技术，重用已出队元素占用的空间。C+提供了一种更加简单的处理方式一一STL队列。下面是代码：include frinclude using namespace std;queue q;int mainO int n, front, rear;q. push(i+l) ; /初始化队列当队列非空/打印队首元素/抛弃队首元素/把队首元素加入队尾/抛弃队首元素scanf f &n);for(int i = 0; i n; i+) while(!q.

7、 empty () printf (?，%d , q. front (); q pop 0 ;q. push(q. front ();Q- Pop 0 ；return 0;上而的程序的可读性大大增强了，体现在“queue： front见名知义的命名，使用了 C+ STL。除此之外，上而的代码还有两个附加的好处。首先，不需要事先知道n的大小： 其次，可以少用两个变front和rear0减少魔术数(magic number)和变量个数都是提 高代码可读性.减少错误可能性的重要手段。说明：(1)任ACH竞赛中，需要用到数组.字符串.队列.堆栈、链表、平衡二叉检索 树等数据结构和排序、搜索等算法，以提

8、髙程序的时间、空间运行效率，这些数据结构，如 果需要手工来编写，那是相当麻烦的事情。(2)ANSI C+中包含了一个 C+ STL (Standard Template Library) 即 C卄标准模板 库，又称为C卄泛型库，它在std命名空间中左义了常用的数据结构和算法，使用起来十分 方便。(3)C+ STL 组件STL组件三种类型的组件：容器、迭代器和算法，它们都支持泛型程序设计标准。容器主要有两类：顺序容器和关联容器。顺序容器(vector, list, queue, string等) 一系列元素的有序集合关联容器(set、multisets map和mulimap)包含査找元素的键值

9、。迭代器的作用是遍历容器。STL算法库包含四类算法：排序算法.不可变序算法、变序性算法和数值算法。(4)queue队列容器queue队列容器是一个先进先岀(First In First Out, FIFO)线性存储表，元素的插 入只能在队尾、元素的删除只能在队首。使用queue需要声明头文件包含语句“#include queue文件在C: Program FilesMicrosoft Visual StudioVC98Include 文件夹里。queue队列的操作有入队pushO (即插入元素)、岀队pop()(即删除元素)、读取队首 元素front 0 .读取队尾元素backO.判断队列是否

10、为空empty 0和队列当前元素的数目 sizeO o下而给出一个程序来说明queue队列的使用方法。include include using namespace std;int mainO 定义队列，元素类型是整型queue q;/入队，即插入元素q. push(l);q. push (2);q. push (3);q. push (9);返回队列元素数咼coutq size () endl;队列是否为空，是空，则返回逻辑真，否则返回逻辑假 coutq. empty () endl;/读取队首元素coutq. front 0 endl;/读取队尾元素coutq. back () endl;

11、/所有元素出列(删除所有元素)while (q. empty () !=true) coutq front 0 ;/队首元素出队(删除队首元素)Q- Pop 0 ；/回车换行coutendl;return 0;运行结果：401912 3 96.1.2铁轨某城市有一个火车站，铁轨铺设如图6-1所示。有n打车厢从A方向驶入车站，按进站 顺序编号为1你的任务是让它们按照某种特左的顺序进入B方向的铁轨并驶出车站。 为了重组车厢，你可以借助中转站C。这是一个可以停放任意多节车厢的车站，但由于末端 封顶，驶入C的车厢必须按照相反的顺序驶岀C。对于每个车厢，一旦从A移入C,就不能 再回到AT： 一旦从C移入

12、B,就不能回到CTo换句话说，在任意时刻，只有两种选择： A-C 和 C-Bc样例输入：512 3 4 5554 12 366 5 4 3 2 1样例输岀：YesNoYes【分析】在中转站C中，车厢符合后进先出的原则，称为栈，即LIFO (Last In First Out)表。 由于它只有一端生成，实现栈时只需要一个数组stack和栈顶指针(始终指向栈顶元素)。完整的程序如T*：Sinclude const int MAXN = 1000 + 10;int n, targetMAXN;int mainO while(scanf(”d, &n) = 1) int stackMAXN, top

13、= 0;int A = 1, B = 1;for(int i = 1; i = n; i+)scanf f &target i);int ok = 1;while(B = n) if(A = targetB) A+; B+； else if(top & stacktop = targetEB) top-； B+; else if(A = n) stack+top = A+;else ok = 0; break; printf(%sn, ok ? Yes : No);return 0;说明：为了方便起见，使用的数组下标均从1开始。例如，target1是指目标序列中 第一个车厢的编号，而stack

14、El是栈底元素(这样，栈空当且仅当top二0)。下而给出STL栈来实现的程序：include include using namespace std;const int MAXN = 1000 + 10;int n, targetMAXN;int mainO while(scanf(z，%d，/, &n) = 1) stack s;int A = 1, B = 1;for (int i = 1; i = n; i+) scanf&targeti);int ok = 1;while(B = n) 辻(A = target LB) A+; B+; else if (!s empty() &s. t

15、op 0=targetB)s pop 0 ;B+; else i.f(A = n) s； push (A+);else ok = 0; break; printf(”sn, ok ? Yes : No);return 0;说明：(1) stack栈容器是一种C+ STL中的容器，它是一个后进先出(Last InFirst Out, LIFO)的线性表，插入和删除元素都只能在表的一端进行。插入元素的一端称为栈顶 (Stack Top),而另一端称为栈底(Stack Bottom)插入元素称为入栈(Push),元素的删 除则称为出栈(Pop)o(2)要使用stack,必须声明头文件包含语句“#in

16、cludestack。stack文件在C: Program F订esMicrosoft Visual StudioVC98Include 文件夹中。(3)栈只提供入栈、出栈、栈顶元素访问和判断是否为空等几种方法。釆用pushO方 法将元素入栈：采用pop()方法出栈：釆用top()方法访问栈顶元素；采用empty0方法判 断栈是否为空，如果为空，则返回逻辑真，否则返回逻假。当然，可以采用sizeO方法返 回当前栈中有几个元素。下而的程序是对栈各种方法的示例：include include using namespace std;int mainO /立义栈s,其元素类型是整型stack s;/

17、元素入栈，即插入元素s. push(l);s. push (2);s. push (3);s. push (9);/读取栈顶元素couts top 0 endl;/返回栈元素数量couts size () endl;判断栈是否为空couts empty () endl;/所有元素出栈(删除所有元素)while(s. empty 0 !=true) /栈非空COUtS. top () V ” ； /读取栈顶元素s. pop(); /出栈(即删除栈顶元素)/回车换行coutendl;return 0;运行结果：94099 3 2 16.2链 表在多数情况下，线性表都用它的顺序存储结构一一数组很轻松

18、实现，但对有些问题有时 用它的链式存储结构一一链表更好。6. 2.1初步分析例6-1移动小球。你有一些小球，从左到右依次编号为1,2, 3,-sn,如图6-2所示。图6-2链表的初始状态可以执行两种指令。其中，A X Y表法把小球X移动到小球Y左边，B X Y表示把小球 X移动到小球Y右边。指令保证合法，即X不等于人例如，在初始状态下执行A 1 4后，小球被移动小球4的左边，如图6-3所示。图6-3 次操作后的链表状态如果再执行B 3 5,结点3将会移到5的右边，如图6-4的所示。图6-4两次操作后的链表状态输入小球个数m指令条数m和n条指令，从左到右输出最后的序列。注意，n可能髙 达5000

19、00,而m可能高达100000.样例输入：6 2A 1 4B 3 5样例输出：21 4 5 3 6【分析】各个小球在逻辑上是相邻的，因此可考虑把它们放在一个数组A中，所以完整的程序如 下：include const int MAXN = 1000;int n, AMAXN;int find(int X) for(int i = 1; i = n; i+)辻(Ai = X) return i;return 0;void shift_circular_left(int a, int b) int t = Aa;for(int i = a; i a; i) Ai二 Ai-1;Aa = t;int m

20、ainO int m, X, Y, p, q;char type9;scanf (，z%d%d/z, &n, &m);for (int i = 1; i = n; i+) /初始化数组Ai = i;for(int i = 0; i P)shift_circular_left (p, qT) ; /Ap到 AqT往左循环移动else shift_circular_right (q, p); /Aq到 Ap往右循环移动 else if (q p) shift_circular_left (p, q) ; /Ap到 Aq往左循环移动else sh辻t_circular_right (q+1, p)

21、; /Aq+1到 Ap往右循环移动for(int i=l; i = n; i+)printf (z，%d 、Ai);printf (，zn/z);return 0;对于上而的程序，当数据量很大时.代码是否会超时。一般来说，可以用两种方法判断: 测试和分析。讣时测试的方法在前而已讲过，它的优点是原理简单、可操作性强，缺点在于必须事先 程序写好一一包括主程序和测试数据生成器如果算法非常复杂，这是相当花时间的。另一种方法是写程序之前进行算法分析，估算时间效率,这种方法在第8章会详细分析。 不过现在可以直观分析一下：如果反复执行B 1 n和A 1 2,每次都移动几乎所有元素。元 素个数和指令条数都那么

22、大，移动总次数将是相当可观的。6. 2.2链式结构第二种方法是强调小球之间的相对顺序，而非绝对顺序。用lefti和righti分别表 示编号为i的小球左边和右边的小球编号(如果是0,表示不存在)，则在移动过程中可以 分成两个步骤：把X移岀序列：把X重新插入序列。第一步让1 eft X rightX相互连接即可,如图6-5所示。注意，其他所有的left和right都不会变化。图6-5在链表中删除结点第二步类似。对于A指令，需要修改leftY的right值和Y的left值，如图6-6所图6-6在链表中插入结点(情况A)而对于B指令,需要修改Y的right值和right Y的left的值，如图6-7

23、所示。图6-7在链表中插入结点(情况B)不管在哪种情况下，最后都需要修改X自己的left和righto对于特殊情况下，对于 最左的小球X,它的leftEX的值为0,但可以假想最左的小球左边有一个编号为0的虚拟 的小球。那么对最右的小球的右边的虚拟小球编号为n+1。核心的代码如下：scanfC%s%d%d, type, &X, &Y);link(leftEX, rightX);if (type 01 = A) linkdeftEY, X); /这一行和下一行不能搞反link(X, Y);else link(X, right Y) ; /这一行和下一行不能搞反link(Y, X);函数link(X

24、, Y)的作用是赋值right X二Y,然后leftY=Xo完整的程序如下：include const int MAXN = 1000;int n, leftMAXN, rightMAXN;void link(int X, int Y) rightX = Y; leftY = X;int mainO int m, X, Y;char type9;scanf (z/%d%dz &n, &m);for(int i = 1; i = n; i卄)leftti二 i-1; righti二 i+1;for(int i = 0; i m; i+) scanf C%s%d%d, &type, &X, &Y)

25、;1ink(leftX, rightX);if (type 0二二A) link(leftY, X); /这一行和下一行不能搞反link(X, Y);else link(X, right Y) ; /这一行和下一行不能搞反link(Y, X);for(int X = right0; X != n+1; X = rightX)printf (z，%d , X);printf (，zn/z);return 0;6. 2.3对比测试对于写好的程序，可能会花费较长的时间进行调试，所以要具备一上的调试和测试能力。 测试的任务就是检查一份代码是否正确匚如果找到了错误，最好还能提供一个让它错误 的数据。有了

26、错误数据之后，接下来的任务便是调试：找出岀错的原因。如果找到了错，最 好把它改对一一至少对于刚才的错误数拯能得到正确的结果。改对一组数据之后，可能还有其他错误，因此需要进一步测试：即使以前曾经正确的数 据，也可能因为多次改动之后反而变错了，需要再次调试。总之，在编码结朿后，为确保程 序的正确性，测试和调试往往要交替进行。确保代码正确的方法是：再找一份完成同样功能的代码与之对比，用它来和这个新程序 “对答案”(俗称对拍)。对比测试首先需要数据，而且是大虽:数据。为此，需要编写数据生成器，完整的代码如 下：include include /randO 和 stand ()需要include /ti

27、me 0 需要int n = 100, m = 100000;double random() 生成0, 1之间的均匀随机数return (double)randO / RAND_MAX;int random(int m) /生成0, mT之间的均匀随机数return (int)(random0 * (m-1) + 0 5);int mainO srand(time(NULL); /利用系统时间，初始化随机数种子printf(，z%d %dn，z, n, m);for(int i = 0; i m; i+) if (randO % 2 = 0) printf (A); else printf (

28、B) ; /随机指令种类int X, Y;for(;) X = random (n)+l ；Y = random(n)+l;if(X != Y) break; /只有X和Y不相等时才是合法的printfC %d %dn, X, Y);return 0;核心函数是stdlib. h中的randO ,它生成一个闭区间0, RAND_MAX的均匀随机整数(均 匀的含义是：该区间内每个整数被产生的概率相同)，其中RAND_MAX至少为32767 (215-1), 在不同的环境下的值可能不同。严格地说，这个随机数是“伪随机数笃因为它也是由数学 公式计算出来的。6. 2.4随机数发生器上而的程序使用了 randO函数和s