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极值计算专题

全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）

专题04极值计算先判断，单调原则不能撼

【题型综述】

函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）函数极值的判断：

先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右

两侧的导数符号.

（2）求函数f（x）极值的方法:

①确定函数f（X）的定义域.

②求导函数r（x）.

③求方程f'（x）=o的根.

④检查r（x）在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负,

那么f（x在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得

极小值；如果r（x在这个根的左、右两侧符号不变，则f（x）在这个根处没有

极值.

（3）利用极值求参数的取值范围：

确定函数的定义域，求导数f'（x），求方程

f\x}=0的根的情况，得关于参数的方程（或不等式），进而确定参数的取值或

范围.

【典例指引】

例1.已知函数f（X）=（x2+ax-2a2+3a）ex（x亡R）,其中a亡R

⑴当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线的斜率;

⑵当a蔦时，求函数f（x）的单调区间与极值.

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【解析】⑴当"00寸，八力=（P+2力45

所以曲线y=TXQfe点（1J⑴放h的切线的斜率为茲.

⑵f=+（£）+2）jc—2g^

力二0,解得K-一2口，=d—2由d工彳知,-2a^a—2.

以下分两种情况讨论:

①若口>彳』则-2aJ-£当梵变化时』八型只司的娈化情况如下表:

（-00,-2^1）

—2a

（—2码a—2）

0-2

（*3-2,+00）

—

极大值

极小值

所以/（涎（TO,-加）血-2+g）rt是増函数，在（-2^,g-2例是碱函数.

函数=-泌取得极大值找-2心a/（-2^）=如血函数r（劝在*4—魂取得极才、值住-2>且-2）=（4-力）总Z

②若a<-,则-2a>a-2，当x变化时，f'（x）,f（x）的变化情况如下表:

（-处，a-2）

a-2

（a-2,，2a）

-2a

（-24,+处）

—

极大

值

极小

值

所以f（x）在（Y，a-2）,（-2a,+比）内是增函数，在（a-2,-2a）内是减函数。

函数f（X）在X=a-2处取得极大值f（a-2）,且f（a-2）=（4-笑归心.

函数f（X）在X=-2a处取得极小值f（-2a），且f^2a^3a^^a.

例2.已知函数f（x）=a-21nx的图象在x=1处的切线过点（0,2-2a），a,^R.

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（1）若a+b=8，求函数f（x）的极值点;

（2）设X1X2X1X）是函数f（x）的两个极值点，若1今<1，证明：

f（X2）-f（xj<1•e

（提示e2俺7.40）

【思路引导】

ax2x+b,则f，

（1）=a+b-2.又f

（1）=a-b,曲线y=f（x）在x=1处

的切线过点（0,2-2a）利用斜率相等a—bT2—2aLa+b-2,可得a=b.,又a+b=E,

1-0

"c5

可得a=b=4，则厂（x）=2x2-5x+2=0，可得函数f（x）的极值点.

由〔牛灯，可得x^—>1,a:

>0,二f（xi）是函数f（X）的极大值，f（X2）是函数e

f（X1）-f（X2）=41x；1-1nX）?

f（x）的极小值，.••要证f（X2）-f（X,）<1，只需f（X1）-f（X2）<1，计算整理可得

令t=X12，贝J」f

et十12

数讨论函数h（t）的性质即可得证.

【解析】Tf（力=竺芋工…⑴=4+12-又才⑴M-4曲线尸f〔力在*1处的切线

C1）Ta+b=£，・"・门=b=yJ令/*（兀）=0，彳專2x^—5jc+2=0,

解得二一或2」二/（兀）的极值点为一或2・

X上

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例3.已知函数f（X）=x3-2mx2-3nx+4m2在x=1处有极值10.

（1）求实数m,n的值;

（2）设a<^R，讨论函数f（x）在区间［a,a+l］上的单调性.

【思路引导】

⑴根据题意得到关于讪勺方程组｛ff:

鶯:

爲:

。

解方程组求得m'n即可；

（2）先判断函数f（x）=x2+4x2-11x+16的单调性，然后根据a的取值情况分

类讨论判断函数f（x在区间［a,a+1］上的单调性.

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【解析】（1>/（兀）走义域为底fJ

■//（X）在蓝=1处有极倩10,

5）=0且/⑴=10,

眄3—4加—3科,

1-2耕—3科+4和2=10

3m=-2

«!

=—

2或｛11

«=—13

当蹿=丄』=—1时，/（X）=3;^-6x+3=3（x-lf>0,2

当iM=—2/=¥时，/（JC）=3壬+8兀一11=（£—1）（3工+11）,

.fg在芷=1处有极值10时，m=-2.#l=y.

（2）由

（1）可知f（x）=x3+4x2-11X+16，

二f'（x）=3x2+8x-11=（x—1X3X+11）

当X变化时，f\x},f（X）的变化情况如下表:

（11y

V，3丿

（号〕

（1,址）

f'（X）

f（X）

增

极大

减

极小

增

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6-¥）上单调递増，在区间（-¥卫+1］上

二①当口即时，/（力在E间［比4十1］上的单调递増,

②当a<-U

333

单调递减』

③兰|"一¥且口+1<1」即一¥"£0时，/（X）在区间［林4+】］上单调递减；

©当"15+1,即0—幻时，/（对在区间［ql）上的单调递减，在区间（jd+q上单调递增，

⑤当3>1时，f（x莊区间［a,a+1］上单调递增.

综上所述:

当a—匕或^1时，f（x）在区间［a,a+1】上单调递增;

11,a+1】上单调递减

I3」

当—^<^-11时，f（x）在区间上［a,-口］上单调递增，在】

331_3丿

当-一

当Oca兰1时，f（x）在区间［a,1）上单调递减，在（1,a+1］上单调递增.

点评：

解答本题的易错点有两个：

（1）在第一问中忽视了对m,n值的检验，因为

导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，这是很容易出现的错误.

（2）第二问中不能熟练地通过对a进行分类讨论求解；还有，即便是分类了，分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况.

【同步训练】

1.设f（x）=xlnx-ax2+（2aT）x,a亡R.

（1）令g（x戶f'（x）,求g（x）的单调区间;

（2）已知f（x在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围.

【思路引导】

（1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于

零分别解出所对应的增减区间，但要含参问题时则要注意讨论，由g0）=-_2a=上空，根据a的不同取值讨论即可得出单调区间；

（2）已知f（x）在xx

x=1处取得极大值，故f・

（1）=0.，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围

试题解析：

CI）由可得貞工）=1让一2^十加，

则『（葢）=1—2a=丄^^,

当衣0时，龙£（6刊0）时Jy{x）>o,函数貞对单调遥増$

当"0时，乂丘卜―J时，y（x）>0j函数貞刃单调递増；jeel—,+x/（x）<0,函数

综上所述J当2兰0时，函数gd）单调递増E间为Q+x）,

当"0时，函数g（jc）单调递増E间为fo.—L单谓递减区间为f—,-hQol.I切By

（2）由

（1）知，f'

（1）=0.

①当am时，r（x）单调递增.

所以当X巳0,1）时，「（x）<0，f（x）单调递减.当X巳1,畑）时，r（^>0，f（x）单

调递增.

所以f（X在X=1处取得极小值，不合题意.

②当。

皆1时，存1，由「）知fS在禺］内单调递增

可得当x€（0,1）时，厂（x）<0，x/1丄〕时，f'（x）：

>0，

V2a丿

所以f（x在（0,1）内单调递减，在S,丄

I2a丿

内单调递增，所以f（x）在X=1处取得极小

值，不合题意.

a」时，即丄=1时，「（x）在（0,1）内单调递增，在（1,咼）内单调递减,

22a

所以当Ne（OPi）时，广（刃/（0单调递减不合题鼠

③当

碍冷时，即,当珂吕）时，朋单调递増,

当/（兀）单调递减，

所以刘在乂=1处取得极大值，合题意一

综上可知，实数诃值范围为“亍

2.已知函数f（x）=xlnx-x-2ax2（a€R）,在定义域内有两个不同的极值点

Xl,X2（Xi

（I）求a的取值范围;

（II）求证：

X,+X2：

>2e.

【思路引导】

（1）函数f（x）=xlnx-x—ax2（a亡R），在定义域内有两个不同的极值点Xi,X2（^

对g（x）求导，按照a"

和a〉0分类判断单调性及极限，求出函数的极值，确定a的范围；

（2）证明X,+X^2e,

即证X1+X2>2,7{lnx^ax^,^lnx^,即证x2+x1〉23（X2〉X1〉0）,

aInX2=ax2x^x1InX2Tnxj

2（X2-Xi）

即证Inx2-Inxj》（X2AXj>0）,构造函数h（x）=Inx-2（x

X2+X1

亠（x>1）求导判断单

X+1

调性求出函数的最值，即可证明不等式成立.

试题解析：

（I）令g（x）=fO）=lnx—ax,由题意可知,g（x）=0在（0,畑）上有两个不同根X1,x2,且X1VX2,

11_ax

；g'（x）=——a=”•.当a<0时，g'（x）>0,y=g（x在0,耘）上单增，不合题意，

y=g（X）在0,-A单增

Va/

1aA0时，令g'（x）=0二x=a

）1

XT0时,g（x戸亠,XT畑时,g（x）Twg（x）=g!

-=—lna—1>0=Ocav-,la丿e

••.a的取值范围为『O,1].

Ve丿

_Inx^ax1

*InX2=ax2

2（II）由题意及（I）可知，即证X1+X2>-,a

二a=即证x^x^^^2XJ（x^x^0）,

X2—x1lnX2-lnxr

a…2（X2—Xt}

即证lnX2-lnxj>（X2AXj>0）

X2+X1

令X=—>1,则原不等式成立.

3.已知函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2.

（I）若函数y=f（x）在X=-1时有极值0,求常数a,b的值;

（H）若函数g（x）=f（x）+sin2x在点（0,g（0））处的切线平行于X轴，求实数b的值.

【思路引导】

（1）根据函数的极值点的概念得到｛f'（T）=3—6a+b：

0，极值点既在切线上f（T）=T+3a—b+a=0

又在曲线上，得到参数值.

（2）根据导数的几何意义得到g'（0）=0，从而得到参数

【解析】/'｛x）=3x^+6flx+&

广（一1）=3—6/3+b=0a=la=2

⑴依题意得久匕丄+—0解得｛—或J®

（31-n

当｛—时，/'｛x）=3jc^+6x+3=3（x+1）>0,

i=3这时函数/（力无极值，与已矢呀盾，故舍去;

当｛"二2时，/'（x）=3x^+12x+9=3仗+1｝仗+3）,A二9

此时，当一3＜丸＜—1时，广（力＜0;当兀》—1曰寸，广00＞0

孑（[>）=f（Q）+2c"0=A+2=0

（a<0）.

<2）S=/'（^）+2cos2x,由已知得所以b=-2.

.已知函数f（x）=lnx—X,g（x）=ax2+2x

（1）求函数f（x）在［l,e］上的最值;

Le」

（2）求函数h（x）=f（x）+g（x啲极值点.

【思路引导】

（1）对函数f（X）进行求导可得「（X尸丄-1,求出极值，比较端点值和极值即可得

函数的最大值和最小值；

（2）对h（x）进行求导可得h（x戶2ax+X+1，利用求根

公式求出导函数的零点，得到导数与0的关系，判断单调性得其极值.试题解析：

（1）依题意，f'（x）=-T,令丄-1=0，解得x=1.因为f

（1）=-1,

口一1-1,f（e）=1-e，且1_e<—1—1，故函数f（x）在P，el上的最大值为

2丿eeg」

-1，最小值为1-e.

（2）依题意，h（x）=f（x）+g（x）=Inx+ax2+x,h7x）=」+2ax+1=2ax中X+1，当

2ax2+x+1_

a<0时，令h（x）=0，贝J2ax2+x+1=0.因为△=1-8a>0，所以h（x）=

2a（x—X1"-X2），其中X1=_上姮a,X2=-上03.因为a<0，所以x^0,

4a4a

1+Ea为函数h（x）的极大值点，函

x2>0,所以当0exVX2时，h'（x）:

>0,当XAX2时，h'（x）v0,所以函数h（x）在（0必）上是增函数，在（X2,乜）上是减函数，故X2=-

数h（x）无极小值点.

5.设函数f（x）=lnx++ax2+x+1.

（I）a二-2时，求函数f（X）的极值点;

（n）当a=0时，证明xex>f（x）在（0,+乂）上恒成立.

【思路引导】

（1）求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点；

（2）当a=0时构造函数F（X）=xeX-f（X）=xeX-lnx—x—1,（x>0）,只要证明F（x）>=0即可.

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试题解析：

（I）由题意得函数的定义域为（6©九

■/f（K）司nxlax%+l,

二十（翼）丄-2我w

令严（K）＞0,解得0＜X＜b令严（K）＜0,解得衣＞1,二f（X）在（0,1）上单调递増，在〔b-KO）上单调递减,

二沪1是函数f（X〉的极大值点汀无极小值点;

（n）证明：

当a=0时，f（x）=lnx+x+1

令F（x）=xex-f（x）=xex-Inx-x-1,（x>0）,

x+1x

则F'（x）=—?

（xe-1）,

令G（x）=xex-1,

则G（x）=（x+1）e>0,（x>0）,•••函数G（乂）在（0，+x）递增,又G（0）二—1<0,G

（1）=e-1>0,

.•.存在唯一c€（0,1）使得G（c）=0,

在（0,c）上单调递减，在（c,+x）上单调递增,

>F（c）=c?

e-Inc—c-1,

由G（c）

=0,得c?

e-1=0,得Inc+c=0,

=0,

>F（c）=0,

从而证得xex>f（x）.

点评：

在本题（n）的解答中，为了求F（x）的最小值，通过求导得到F'（x）

二?

（xex-1），不容易判断F（X）的单调性，故构造G（x）=xex-1,采用二X

次求导的方法，在求G（X）零点的过程中遇到了零点不可求的问题，此类问题的解法是利用G（X）的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后理通过整体代换的方法求函数F（X）的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法.

6.已知函数f（x）=e,g（x）=—^x2—X,（其中R,e为自然对数的底数,

e=2.71828）.

（1）令h（x）=「（x），求h（x）的单调区间;

（2）已知f（x在x=0处取得极小值，求实数a的取值范围.

【思路引导】

（1）求导函数的导数得h（x）=eX-a，再根据是否变号进行分类讨论单调性：

当

a"时，导函数不变号，为单调递增；当^0时，导函数先负后正，对应单调区

间为先减后增；

（2）由题意得f\0}=0，结合

（1）根据导函数h（x）单调性分类讨

论在x=0处是否为极小值：

当a"时，f（x）在x=0附近先减后增，为极小值;

当a>0时，按Ina与零大小关系进行二次讨论：

Inav。

，「（x）在（1na,畑）单调递增;

f（x）在x=0附近先减后增，为极小值；当a=1时，f'（x）二0,无极值；Ina"时,

f'（x在（31na）单调递减；f（x）在x=0附近先增后减，为极大值；综上可得实数a的取值范围.

试题解析：

（I）因为/\x）=C-GX-i,所叹丹3）=寸一6

当a>03寸J由丹（兀）=』一«=0，得jc=1ii£F7

XE（—□d^Im）时,/i*（x）<0fx€（lnfl,-KB）0寸J/?

（JC）>O,

所以凤刃的减区间为（YO血0）,增区间为（1M.-HGO）

综上可得.当«<0时，丘（力在（Ff权）上单调递増

当20时，A（K）的増区间为（Ina-Mo）,减区间为（yoJuj）.

（II）由题意得-】，r（&）=o.

⑴当*0时，f（刃在上单调递检所以当xO时，/W

当兀aO时，r（x）>/（0）=0.

所臥才（刃在X"处取得极小值，符合题意一

（2）当0

（3）当a=1时，由（I）知f\x）在区间（=,lna）单调递减，f'（x）在区间（Ina,+^

单调递增,所以f'（x）在x=lna处取得最小值，即厂（X）3f'（lna）=f'（O）=O,所以函数f（x）在R上单调递增,

所以f（x疵x=0处无极值，不符合题意.

（4）当ail时，InaiO,由（I）知f'（x）的减区间为（=,1na）.

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所以当x€（=,0）时，fOpr（0）=0，当x€（0,lna）时，fo）

综上可知，实数a的取值范围为（二,1）.

7.已知函数f（x）=2lll[nx+x^-mx（e€R）.

（1）若fk）在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；

17一

（2）若5

【思路引导】

函数在某区间上单调递增，说明函数的导数大于或等于0在该区间上恒成立，分

离参数m,利用极值原理求出参数m的取值范围；当5

为方程+2=0的两个根，根据根与系数关系找出SB与系数的关系，根据m的

范围解出®的范围，表示出根据"广「减元，利用构造函数法求出其取值范围.

试题解析：

⑴fOO的定义域为0*呵，f何在定义域内单调递増，

22_…

由于-+2iti4,所扶mw斗，实数m的取值范围是卜叫4|.

（对由⑴知匸仪祖+切m，"当55疋Z寸问有两个极值点，此时如7十?

X，=b

XX22

11711

因为国丁h解得-“严-，

*442

由于皆-J于罡朋卜fg）=叶'm勺*21叫-仅:

-mxj+210X^1

=城*黑了-皿时*巾）+押叫*叫）=上-興：

+4叫

1}-2（（.1）2令hW=—・）c+4lnK^贝iJh'（K）=<0,

二h伺在〔予上单调递减，h（-）

4224

gn4U-ln2）—<<16（1-In2）-—.

4^216

故㈣弋q的取值范围为［--4lna,^-16ln2）.

4Id

8.已知函数f（X）=x3+ax2+bx+c（a,b,c忘R）.

（1）若函数f（x）在x=—1和x=2处取得极值，求a,b的值;

（2）在

（1）的条件下，当2,3］时，f（^>2c恒成立，求C的取值范围.

【思路引导】

（1）求出导函数f'（X）,利用厂（-1）=0,且厂

（2）=0,解方程组可求得｛a"2；

（2）

b=—6

利用导数研究函数f（x）的单调性，可得函数f（x）在［-2,3］时，f（x）的最小值为C-10，只需C-10〉2c即可求c的取值范围.

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试题解析:

（1）由题可得，/（力=3£+

T函数才（刘在"-1和*2处取得极值』

二—匕2是方程3J—2ax+b=0的两根,

（2）由

（1）知f（x）=x3-尹2-6x+c,fYx）=3x2-3x-6,

当x变化时，r（xif（X）随x的变化如下表：

-2

（-2,-1）

-1

（-1,2）

（2,3）

厂（X）

f（X）

C-2

增

减

C-10

增

•••当［-2,3］时，f（X）的最小值为C-10,

要使f（x）:

>2c恒成立，只要C-10>2c即可,

二CV—10,

•••C的取值范围为（=,-10）.

9.已知函数恥）"血+（-1）=,其中neN\.为常数.

（1）当X2,且"2时，判断函

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