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1、极值计算专题全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)专题04 极值计算先判断，单调原则不能撼【题型综述】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)函数极值的判断：先确定导数为 0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)求函数f(x )极值的方法:确定函数f (X )的定义域.求导函数r(x).求方程f(x)=o的根.检查r(x)在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负,那么f(x在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x )在这个根处取得极小值；如果r(x在这个根的左、右两侧符号不变，则 f(x)在这个根处没有极值.(3)利用极值求参数的取值范围：确定函数的

2、定义域，求导数 f(x)，求方程fx = 0的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.【典例指引】例 1.已知函数 f（X）=（x2+ax-2a2+3a）ex（x亡 R）,其中 a亡 R当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率;2当a蔦时，求函数f(x)的单调区间与极值.3全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）【解析】当00寸，八力=（P +2力45彳则-2aJ-当梵变化时八型 只司的娈化情况如下表:X（-00,-21）2a（2码 a 2）0-2（*3-2,+ 00）+00+极大值极小值Z所以/（涎（TO,-加）血-2 +g）rt是増函数

3、，在（-2, g-2例是碱函数.函数=-泌取得极大值找-2心a/（-2）=如血 函数r（劝在*4 魂取得极才、值住-2且-2）=（4-力）总Z2若a a-2，当x变化时，f（x）, f（x）的变化情况如下表: 3x（-处，a-2）a -2（a -2,，2a）-2a（-24, +处）+00+极大值极小值所以f（x）在（Y，a-2）,（-2a, +比）内是增函数，在（a-2,-2a）内是减函数。函数f（X ）在X =a-2处取得极大值f（a-2）,且f （a-2） = （4-笑归心.函数f（X）在X = -2a处取得极小值f （-2a），且f2a3aa.2例2.已知函数f（x） = a-21 nx

4、的图象在x=1处的切线过点（0,2-2a），a, R .x全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)(1)若a+b=8，求函数f(x )的极值点;5(2)设X1X2X1 X )是函数f(x )的两个极值点，若1今1，证明：f (X2 )-f (xj 1 , a:0 ,二f(xi )是函数f(X)的极大值，f(X2 )是函数 ef(X1 )- f(X2 )= 41 x； 1-1 nX)?f(x )的极小值，.要证 f(X2)-f(X, )1，只需f(X1 )-f(X2 )1，计算整理可得,令t=X12，贝Jftc1，设叽门二丄1nt，利用导e t 十1 2数讨论函数h(t )的性质即可得证.

5、【解析】Tf (力=竺芋工=4+12-又才M-4曲线尸f力在*1处的切线XC1) T a + b= ，门=b = y J 令/*(兀)=0，彳專 2x 5jc+2= 0,解得二一或2二/(兀)的极值点为一或2X 上全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)例3.已知函数f（X ） = x3-2mx2 -3nx + 4m2在x = 1处有极值10.(1)求实数m,n的值;(2)设a /（兀）走义域为底f J/（X）在蓝=1处有极倩10,5)=0 且/= 10,眄34加3科,1-2耕3科 + 4和2 = 103 m = -2!= 2 或 11=1 3当蹿=丄=1时，/(X)=3;-6x+3 =

6、 3(x-lf 0, 2当iM=2/=时，/(JC)=3壬+8兀一11 =(1)(3工+11),:.fg在芷=1处有极值10时，m =-2.#l = y.(2)由(1)可知 f (x) = x3+4x2-11X+16，二 f(x)=3x2+8x-11=(x1X3X+11)当X变化时，fx,f（X ）的变化情况如下表:X( 11 yV ，3丿113（号1（1,址）f（X）+0-0+f（X）增极大减极小增全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）6-）上单调递増，在区间（-卫+1上二当口即时，/（力在E间比4十1上的单调递増,当a-Ud+i,目卩一 -a寸，/（刃在区间3 3 3单调递减兰|一

7、且口+11时，f（x莊区间a,a +1上单调递增.综上所述: 当a匕或1时，f（x ）在区间a,a+1】上单调递增;311,a +1】上单调递减I 3 当-11时，f（x ）在区间上a,-口 上单调递增，在】3 3 1_ 3 丿11当-一o,函数貞对单调遥増$当0时，乂丘卜J时，y(x)0j函数貞刃单调递増；jeel ,+x /(x) 0,函数综上所述J当2兰0时，函数gd)单调递増E间为Q+x),当0时，函数g(jc)单调递増E间为fo.L单谓递减区间为f ,-hQol. I切 By(2)由(1)知，f(1 ) = 0.当am时，r(x)单调递增.所以当X巳0,1)时，(x)0， f(x )

8、单调递增.所以f(X 在 X =1处取得极小值，不合题意.当。皆1时，存1，由)知fS在禺内单调递增可得当 x(0,1)时，厂(x)0，V 2a丿所以f(x 在 (0,1)内单调递减，在S,丄I 2a丿内单调递增，所以f(x )在X=1处取得极小值，不合题意.a时，即丄=1时，(x )在(0,1 )内单调递增，在(1,咼)内单调递减,2 2a所以当Ne(OPi)时，广(刃/(0单调递减 不合题鼠当碍冷时，即,当珂吕)时，朋单调递増,当 /(兀)单调递减，所以刘在乂 =1处取得极大值，合题意一综上可知，实数诃值范围为“亍2 .已知函数f(x) = xl nx-x-2ax2(aR),在定义域内有两

9、个不同的极值点Xl, X2( Xi2e.【思路引导】4 , (1)函数f(x) = xlnx-xax2 (a亡R)，在定义域内有两个不同的极值点 Xi,X2( 2 , 7lnxax,lnx,即证 x2+x123(X2X10),a InX2 =ax2 xx1 InX2 Tnxj2(X2 -Xi )即证 Inx2 -Inxj (X2 AXj 0),构造函数 h(x)= Inx-2(xX2 +X1亠(x 1)求导判断单X +1调性求出函数的最值，即可证明不等式成立.试题解析：(I )令g(x)= f O)=lnx ax,由题意可知, g(x )=0在(0,畑)上有两个不同根X1 ,x 2,且X1 V

10、X2,1 1 _ax；g(x )=a= ”.当a0,y =g(x 在0,耘)上单增，不合题意，X Xy =g(X )在 0,- A单增V a /1 a A 0时，令 g(x) = 0 二 x = a) 1XT 0时,g(x 戸 亠,XT 畑时,g(x)T wg(x) = g!- =lna 10= Ocav-, la丿 e.a的取值范围为O,1.V e丿_ Inxax1* InX2 =ax22 (II )由题意及(I )可知，即证X1+X2-, a二 a = 即证xx2XJ(xx0),X2 x1 lnX2 - lnxra 2(X2 Xt 即证 lnX2 -lnxj (X2 AXj 0)X2 +X

11、1令X = 1,则原不等式成立.X13.已知函数 f (x) = x3+3ax2+bx + a2 .(I)若函数y = f(x)在X = -1时有极值0,求常数a,b的值;(H)若函数g(x)=f(x)+s in2x在点(0,g(0)处的切线平行于X轴，求实数b的值.【思路引导】(1)根据函数的极值点的概念得到 f(T)= 3 6a + b：0 ，极值点既在切线上 f (T )= T+3ab + a =0又在曲线上，得到参数值.(2)根据导数的几何意义得到g(0)=0，从而得到参数【解析】/x) = 3x+6flx+&广(一1) = 3 6/3+b= 0 a = l a = 2依题意得久匕丄+

12、0解得或J(3 1 -n当时，/x) = 3jc + 6x+3 = 3(x+1) 0,i = 3 这时函数/(力无极值，与已矢呀盾，故舍去;当二2 时，/(x) = 3x + 12x +9 = 3仗 +1仗+3), A 二9此时，当一3丸1时，广(力0;当兀1曰寸，广000孑() = f(Q)+2c0 = A + 2=0(a0).2)S= /()+2cos2x,由已知得 所以b = -2.已知函数 f(x)=lnx X , g(x) = ax2+2x(1)求函数f(x )在l,e上的最值;Le(2)求函数h(x)=f (x)+g(x啲极值点.【思路引导】(1)对函数f(X )进行求导可得(X尸

13、丄-1 ,求出极值，比较端点值和极值即可得x2函数的最大值和最小值；(2)对h(x)进行求导可得h(x戶2ax +X + 1，利用求根x公式求出导函数的零点，得到导数与 0的关系，判断单调性得其极值. 试题解析：(1 )依题意， f (x) = -T ,令丄-1 =0，解得x = 1 .因为f (1 )=-1 ,x x口一1-1 , f(e) = 1-e，且 1_e11，故函数 f(x )在 P，el 上的最大值为2丿 e e g-1，最小值为1-e.2(2)依题意， h(x)=f(x) +g(x)= Inx + ax2+x , h7x)=+2ax +1= 2ax 中X + 1，当22ax2

14、+x + 1 _XX Xa0，所以 h(x) =2a(x X1 -X2 )，其中 X1=_上姮a , X2 =-上03.因为 a0 ,所以当 0 ex VX2 时，h(x ):0 ,当 X AX2 时，h(x )v0 ,所以函数 h(x )在(0必) 上是增函数，在(X2,乜)上是减函数，故X2 = -4a数h(x )无极小值点.5.设函数 f (x) =lnx+ax2+x+1.(I ) a二-2时，求函数f (X)的极值点;(n)当a=0时，证明xex f (x )在(0, +乂)上恒成立.【思路引导】(1)求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点；(2)当a=0时构造函数F (X)=xe

15、X- f (X) =xeX - lnx x 1, (x0),只要证明 F (x) =0 即可.全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）试题解析：（I）由题意得函数的定义域为（6 九/ f(K)司nxlax%+l,2二十（翼）丄-2我wX X令严（K）0,解得0Xb令严（K）0,解得衣1, 二f（X）在（0, 1）上单调递増，在b -KO）上单调递减,二沪1是函数f （X的极大值点汀无极小值点;(n)证明：当 a=0 时，f (x) =ln x+x+1令 F (x) =xex -f (x) =xex- Inx - x- 1, (x0),x + 1 x则 F(x) = ? (xe - 1),

16、令 G (x) =xex - 1,则 G (x) = (x+1) e0, (x0), 函数G（乂）在（0，+x）递增, 又 G( 0)二1 0,.存在唯一 c(0, 1)使得 G(c) =0,在（0, c）上单调递减，在（c, +x）上单调递增,c F (c) =c?e - Inc c- 1,由 G( c)=0,得 c?e - 1=0,得 Inc+c=0 ,=0, F (c) =0,从而证得xex f (x).点评：在本题（n）的解答中，为了求 F （x）的 最小值，通过求导得到F（x）二? (xex - 1)，不容易判断F (X)的单调性，故构造G (x) =xex - 1,采用二 X次求导

17、的方法，在求G(X)零点的过程中遇到了零点不可求的问题，此类问题的 解法是利用G(X)的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后理通过 整体代换的方法求函数F(X)的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法.6 .已知函数f(x)=e, g(x)=x2X ,(其中R , e为自然对数的底数,e =2.71828 ).(1)令h(x)=(x)，求h(x )的单调区间;(2)已知f(x在x=0处取得极小值，求实数a的取值范围.【思路引导】(1)求导函数的导数得h(x) = eX-a，再根据是否变号进行分类讨论单调性：当a时，导函数不变号，为单调递增；当 0时，导函数先负后正，对应单调区间为

18、先减后增；(2)由题意得f0 = 0，结合(1)根据导函数h(x )单调性分类讨论在x=0处是否为极小值：当a时，f(x)在x=0附近先减后增，为极小值;当a 0时，按Ina与零大小关系进行二次讨论：Inav。，(x )在(1 na,畑)单调递增;f(x)在x=0附近先减后增，为极小值；当a=1时，f(x)二0,无极值；Ina时,f(x 在 (31 na)单调递减；f(x)在x=0附近先增后减，为极大值；综上可得实数 a的取值范围.试题解析：（I）因为/x）=C -GX-i ,所叹丹3）=寸一6当必0时，A）,城刘的单调递増区间为（Yo.wb当 a 03寸 J 由丹(兀)=一 = 0，得 jc

19、=1iiF7XE(dIm)时,/i*(x)O,所以凤刃的减区间为（YO血0）,增区间为（1M. -HGO）综上可得.当0时，丘（力在（Ff权）上单调递増当2 0时，A（K）的増区间为（Ina-Mo）,减区间为（yoJuj）.（II）由题意得-】，r（&）=o.当*0时，f （刃在上单调递检 所以当 xO 时，/W/(0) = 0.所臥才（刃在X处取得极小值，符合题意一（2）当0r3ia寸W0,由（I ）知f （工）在（Ina+00）单调递増, 所次当施(Ifl纽0)时，Z(x)ZO) = C.当jtwQg)时J 八x)Af(0)=b 所以J（H）在0处取得极小值，符合题意（3）当a=1时，由（

20、I）知fx ）在区间（=,lna）单调递减，f（x）在区间（In a,+单调递增, 所以f（x ）在x=lna处取得最小值，即 厂（X）3f（lna）=f（O）=O , 所以函数f（x ）在 R上单调递增,所以f（x疵x=0处无极值，不符合题意.（4）当 ail 时，InaiO,由（I）知 f（x ）的减区间为（=,1 na）.全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）所以当 x（=,0）时，fOpr（0）= 0，当 x（0,l na）时，fo）r（o）=o , 所以f（x ）在x=0处取得极大值，不符合题意,综上可知，实数a的取值范围为（二,1）.7.已知函数 f(x) = 2lllnx

21、 + x-mx (eR).（1） 若fk）在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；17 一（2） 若5my，且问有两个极值点 9宀丘勺），求f阿）-吒）的取值范围.【思路引导】函数在某区间上单调递增，说明函数的导数大于或等于 0在该区间上恒成立，分17离参数m,利用极值原理求出参数 m的取值范围；当5m-时f閒有两个极值点勺为方程+2 = 0的两个根，根据根与系数关系找出 SB与系数的关系，根据m的1范围解出的范围，表示出根据广减元，利用构造函数法求出其取值 范围.试题解析：fOO的定义域为0*呵，f何在定义域内单调递増，2 2 _f(x) = - + - m a Oj 艮卩III s -+

22、 2x在8)上恒成立，X X由于- + 2iti4,所扶mw斗，实数m的取值范围是卜叫4|.X(对由知匸仪祖+切m， 当55疋Z寸问有两个极值点，此时如7十?X，= bXX 2 21 17 1 1因为国丁h解得-“严-，*4 4 2由于皆-J于罡朋卜fg)=叶 m勺* 21叫-仅:-mxj + 210X1=城*黑了 -皿时*巾)+押叫*叫)=上-興：+ 4叫1 - 2(. 1)2 令hW = )c +4lnK 贝iJh(K)= 0,二h伺在予上单调递减，h(-) h(xj丈h(-h42 2 41 1gn4U-ln2)2c恒成立，求C的取值范围.【思路引导】=3(1)求出导函数f(X),利用厂(

23、-1)=0 ,且厂(2 )=0,解方程组可求得a2 ； (2)b = 6利用导数研究函数f(x )的单调性，可得函数f(x )在-2,3 时，f(x )的最小值 为C-10，只需C-102c即可求c的取值范围.全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）试题解析:（1）由题可得，/（力=3 +T函数才（刘在-1和*2处取得极值二匕2是方程3J 2ax+b= 0的两根,3（2）由（1）知 f （x）=x3-尹2-6x+c, fYx）=3x2-3x-6 ,当x变化时，r（xif（X）随x的变化如下表：x-2(-2,-1)-1(-1,2)2(2,3)3厂（X）+0-0+f（X）C -2增减C-10增2 当-2,3时，f（X ）的最小值为C-10 ,要使f（x）:2c恒成立，只要C-102c即可,二 C V10 , C的取值范围为（=,-10 ）.19.已知函数恥）血+ （-1）=,其中neN.为常数.X（1）当X2,且2时，判断函