高三一轮复习第二节命题及其关系充分条件与必要条件.docx
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高三一轮复习第二节命题及其关系充分条件与必要条件
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
1.命题及其关系
(1)理解命题的概念.
(2)了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否
命题,会分析四种命题的相互关系.
2.充分条件与必要条件
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
知识点一 命题、四种命题及相互关系
1.命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫作命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.
2.四种命题及相互关系
3.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
易误提醒 易混否命题与命题的否定:
否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.
必备方法 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而当判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假.
[自测练习]
1.命题“若x2+3x-4=0,则x=-4”的逆否命题及其真假性为( )
A.“若x=-4,则x2+3x-4=0”为真命题B.“若x≠-4,则x2+3x-4≠0”为真命题
C.“若x≠-4,则x2+3x-4≠0”为假命题D.“若x=-4,则x2+3x-4=0”为假命题
知识点二 充要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.
易误提醒 注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B
A);与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A
B)两者的不同.
必备方法 充分条件与必要条件判定的三种方法
1.定义法:
(1)若p⇒q,则p是q的充分条件;
(2)若q⇒p,则p是q的必要条件;
(3)若p⇒q且q⇒p,则p是q的充要条件;
(4)若p⇒q且q⇒/ p,则p是q的充分不必要条件;
(5)若p⇒/ q且q⇒p,则p是q的必要不充分条件;
(6)若p⇒/ q且q⇒/ p,则p是q的既不充分也不必要条件.
2.利用集合间的包含关系判断:
记条件p,q对应的集合分别是A,B,则
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;
(2)若A
B,则p是q的充分不必要条件,或q是p的必要不充分条件;
(3)若A=B,则p是q的充要条件;
(4)若A
B,且A
B,则p是q的既不充分也不必要条件.
3.等价法:
利用p⇒q与﹁q⇒﹁p,q⇒p与﹁p⇒﹁q,p⇔q与﹁q⇔﹁p的等价关系.
[自测练习]
2.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知条件p:
x≤1,条件q:
<1,则﹁p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.(2015·高考湖北卷)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:
l1,l2是异面直线;q:
l1,l2不相交,则( )
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
考点一 命题及其相互关系|
1.(2015·高考山东卷)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
2.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
3.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).
①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;
②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;
③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;
④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.
命题真假的两种判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.
(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断.
考点二 充分条件和必要条件的判定|
(1)(2015·高考四川卷)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
(2)(2015·高考北京卷)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
判断充分条件与必要条件的两个注意点:
(1)要注意弄清条件p和结构q分别是什么,然后尝试p⇒q,q⇒p.
(2)要注意对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.
1.(2015·高考湖南卷)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
考点三 充要条件的应用|
已知p:
x2-2mx-15m2≤0(m>0);q:
x2-3x-10≤0,若﹁p是﹁q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________.
利用充要条件求参数的值或范围的一个关键点、一个注意点:
(1)关键点:
是合理转化条件,准确将每个条件对应的参数的范围求出来,然后转化为集合的运算.
(2)注意点:
注意区间端正值的检验,易忽视.
2.已知α:
x≥a,β:
|x-1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________.
1.等价转化思想在充要条件中的应用
【典例】已知条件p:
≤-1,条件q:
x2-x[思路点评]
(1)本题用到的等价转化
①将﹁p,﹁q之间的关系转化成p,q之间的关系.
②将条件之间的关系转化成集合之间的关系.
(2)对一些复杂、生疏的问题,利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题在解题中经常用到.
[跟踪练习] 若“x2>1”是“xA组 考点能力演练
1.命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是( )
A.若a2+b2≠0,虽a≠0且b≠0B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0
C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0
2.“x1>3且x2>3”是“x1+x2>6且x1x2>9”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.(2016·沈阳一模)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.设a,b为两个非零向量,则“a·b=|a·b|”是“a与b共线”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知p:
x>1或x<-3,q:
x>a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.(-∞,1]
C.[-3,+∞)D.(-∞,-3]
6.(2016·成都一诊)设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是________.
7.(2015·盐城一模)给出以下四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;
④若ab是正整数,则a,b都是正整数.
其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)
8.设条件p:
实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0;条件q:
实数x满足x2+2x-8>0,且q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
9.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
10.已知(x+1)(2-x)≥0的解为条件p,关于x的不等式x2+mx-2m2-3m-1<0
的解为条件q.
(1)若p是q的充分不必要条件时,求实数m的取值范围.
(2)若﹁p是﹁q的充分不必要条件时,求实数m的取值范围.
B组 高考题型专练
1.(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:
f ′(x0)=0;q:
x=x0是f(x)的极值点,则( )
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
2.(2015·高考重庆卷)“x>1”是“log
(x+2)<0”的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2015·高考安徽卷)设p:
12x>1,则p是q成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.(2015·高考福建卷)“对任意x∈
,ksinxcosxA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.(2015·高考北京卷)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
1.解析:
根据逆否命题的定义可以排除A,D,因为x2+3x-4=0,所以x=-4或1,故选C.
答案:
C
2.解析:
由(2x-1)x=0可得x=
或0,所以“x=
或0”是“x=0”的必要不充分条件.
答案:
B
3.解析:
由x>1得
<1;反过来,由
<1不能得知x>1,即﹁p是q的充分不必要条件,选A.
答案:
A
4.解析:
两直线异面,则两直线一定无交点,即两直线一定不相交;而两直线不相交,有可能是平行,不一定异面,故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件,故选A.
答案:
A
1.解析:
由原命题和逆否命题的关系可知D正确.
答案:
D
2.解析:
A中逆命题为“若x>|y|,则x>y”是真命题;
B中否命题为“若x≤1,则x2≤1”是假命题;
C中否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”是假命题;
D中原命题是假命题,从而其逆否命题也为假命题.
答案:
A
3.解析:
对于①,若log2a>0=log21,则a>1,所以函数f(x)=logax在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b