内蒙古赤峰市届高三统一考试数学理试题含详细答案.docx

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内蒙古赤峰市届高三统一考试数学理试题含详细答案

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内蒙古赤峰市2015届高三4月统一考试数学（理）试题

2015.4

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

本卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合，，则集合（）

A．B．C．D．

2.为虚数单位,复数的实部为（　）

A.B.C.D.

3.表示不重合的两个平面，，表示不重合的两条直线．若，，，则“∥”是“∥且∥”的（）

A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4.一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（）

A.B.C.D.

5.设等比数列的首项，前项和为，若成等差数列，则

的通项为（）

A.B.C.D.

6.设是边长为1的等边的内心，则（）

A.B.C.D.

7.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则,所成角的余弦值为（　）

A.B.C.D.

8．如果实数满足不等式组目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（）

A．1B．2C．3D．4

9．函数的图像如图所示，其中，则下列关于函数的说法正确的是（）

A．对称轴方程是

B．

C．最小正周期是

D．在区间上单调递减

10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的

是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长

的棱的长度为（）

A．B．

C．D．

11.设抛物线的焦点为,经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则（　）

A.B.C.D.

12.已知函数，下列函数零点个数的四个判断：

①当时，有3个零点；②当时，有2个零点；

③当时，有4个零点；④当时，有1个零点.

则正确的判断是（）

A．①④B．②③C．①②D．③④

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在横线上）

13.已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中的

系数为________.

14.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是.

15.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的

所对的边，且满足，

若则的面积的最大值是.

16.已知函数，若关于的不等式的解集，则实数的取值范围是.

三、解答题（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

17．（本小题满分12分）

设数列的前项和为，且满足，.

（Ⅰ）证明数列是等差数列；

（Ⅱ）若，数列的前项和为.求证：

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，,为的中点，为等边三角形,且平面平面．

（I）证明：

；

（II）求二面角的余弦值．

19.（本小题满分12分）

某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：

小时）

（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？

（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：

.

估计该校学生每周平均体育运动时间超过

4个小时的概率．

（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.

P（K2≥k0）

0.10

0.05

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

6.635

7.879

附：

K2＝

20．（本小题满分12分）

已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线是否过定点？

若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数

（）求证：

（）若使得恒成立，求实数取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-1：

几何证明选讲

如图，为圆的切线，切点为,直径,连接交于点.

证明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

23．（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在极坐标系中,已知三点．

（Ⅰ）求经过点的圆的极坐标方程；

（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（是参数），若圆与圆相切，求实数的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5:

不等式选讲

设函数

（Ⅰ）当时,求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集包含，求的取值范围.

2015年赤峰市高三统一考试

理科数学参考答案2015.4

一、选择题:

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.；2.；3．；4.；5．；6．；

7.C；8.；9．；10．D；11．；12.

二、填空题:

本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.；14.；15.；16.

三、解答题：

本大题共6小题，满分70分．

17．（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）当时，由，得

，

所以…………………………………2分

两边除以得

所以，数列是公差为2的等差数列…………………………4分

（Ⅱ）

…………………………6分

……………………………8分

……10分

………12分

18．（本小题满分12分）

证明：

（Ⅰ）取中点为,连接.

由已知得平面，.……………2分

，是正三角形,……………4分

平面………6分

解：

（Ⅱ）建系如图所示：

设O为坐标原点，分别以射线OA方向，OM方向，OP方向为

x,y,z轴……………………………7分

设AD=2，则，.

,平面的法向量……9分

设平面的法向量,

，

解方程组得，设二面角为，则……………………12分

19．（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据…………3分

（Ⅱ）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×（0.100＋0.025）＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.…………………………………………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300位学生中有300×0.75＝225（位）的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：

男生

女生

总计

每周平均体育运动时间不超过4小时

45

30

75

每周平均体育运动时间超过4小时

165

60

225

总计

210

90

300

结合列联表可算得K2＝＝≈4.762>3.841.

所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”………12分

20．（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）由已知得，解得，

所以椭圆的标准方程为……………………5分

（Ⅱ）直线过定点.

说明如下：

由（Ⅰ）可知椭圆右顶点．

由题意可知，直线和直线的斜率存在且不为．

设直线的方程为．………………………6分

由得

成立…………………………7分

所以．所以．

所以．

于是，点………………………………8分

因为直线和直线的斜率乘积为，故可设

直线的方程为………………………………9分

同理，易得．所以点．

所以，当时，即时，.　　　………………11分

直线的方程为，整理得．

显然直线过定点．（点关于原点对称）

当,即时，直线显然过定点．

综上所述，直线过定点　　………………12分

21．（本小题满分12分）

（Ⅰ）要证时，，只需证明

记，则，当，

因此是增函数，故，所以　……3分

要证，，只需证明，即证

记，，当时，，，，即

所以　　　　　　　　　………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，设

……7分

令则，即是上是增函数，

，即时，在上恒成立……9分

下面证明当，在上不恒成立

　……10分

令

即在上是增函数，在上的值域为

所以，使得，即在上不恒

成立，综上，实数取值范围是　………………12分

22．（本小题10满分）

证明：

（Ⅰ）∵直线是的切线，切点为，

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………2分

又∵是的直径,∴，∴,

∵,　　　　　　　………………4分

∴,∴　………5分

（Ⅱ）连接,由（Ⅰ）知，又∵，

∴∽，　　　　　　………………………8分

∴，∴　　　　　　………………10分

23．（本小题满分10分）

解:

（Ⅰ）对应的直角坐标分别为

则过的圆的普通方程为：

　…………3分

又因为，代入可求得经过的圆的极坐标方程为　…………………………5分

（Ⅱ）圆的参数方程为（是参数）所对应的曲线的普通方程为　　……………………………7分

因为圆与圆相切，所以当圆与圆外切时，有，解得，当圆与圆内切时，有，解得

故或　……………………………………………10分

24.（本小题满分10分）

解：

（Ⅰ）当时,不等式可化为，即

当时，,解得，解集为

当时，,解得，解集为

当时，,解得，解集为

综上，原不等式的解集为　　　　　　　　　　………………5分

（Ⅱ）若不等式的解集包含，所以不等式可化为，

解得，由已知得，解得

所以的取值范围是……………………………10分