高三第一轮复习空间几何体的表面积与体积.docx
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高三第一轮复习空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积与体积
【提纲挈领】
主干知识归纳
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝
π（r＋r′）l
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体
（棱柱和圆柱）
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
（棱锥和圆锥）
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体
（棱台和圆台）
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝（S上＋S下＋
）h
球
S＝4πR2
V＝πR3
方法规律总结
1．求空间几何体体积的常用方法
（1）公式法：
直接根据相关的体积公式计算．
（2）等积法：
根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．
（3）割补法：
把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．
2．旋转体侧面积问题中的转化思想
计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．
【指点迷津】
【类型一】简单几何体的表面积
【例1】（2015福建9,5分）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．15
解析：
[答案]B.由三视图可知，此几何体是一个竖放的直四棱柱，底面梯形的面积为
，侧面面积为
，故四棱柱的表面积为
【例2】（2015陕西,5,5分）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）
A.3π B.4πC.2π+4D.3π+4
解析：
答案选D.由三视图可知，此几何体是一个竖放的半圆柱，两底面半圆面积的和为
，侧曲面的面积为
，侧面矩形的面积为4，故该几何体的表面积为3π+4
B
【例3】（2015安徽,9,5分）一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
答案选C.由三视图可知，平面ABD⊥平面BCD,且ΔABD和ΔBCD均为等腰直角三角形，
;ΔABC和ΔACD均为等腰三角形，
，
所以该四面体的表面积是
【类型二】简单几何体的体积
【例1】如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为（ ）
A. B.
C.D.
[解析] 三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.故答案：
A
【例2】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________．
[解析] 由三视图可知直观图是一个底面为边长等于3的正方形，高为1的四棱锥，由棱锥的体积公式得V四棱锥＝×32×1＝3.
【类型三】组合体的表面积与体积
【例1】（2015浙江,2,5分）某几何体的三视图如图所示（单位:
cm）,则该几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为
。
【例2】（2015课标Ⅰ,11,5分）
圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=（ ）
A.1B.2C.4D.8
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为
=
=16+20
，解得r=2，
故选B.
【例3】已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如左图所示，则该几何体的体积是________．
解析：
根据三视图，我们先画出其几何直观图，几何体由正方体切割而成，即正方体截去一个棱台．如图1所示，把棱台补成锥体如图2，V棱台＝2×2××4×－1×1××2×＝，故所求几何体的体积V＝23－＝.
【同步训练】
【一级目标】基础巩固组
1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为（ ）
A．48（3＋）B．48（3＋2）
C．24（＋）D．144
【解析】：
选A S底＝6××42＝24，S侧＝6×4×6＝144，∴S全＝S侧＋2S底＝144＋48＝48（3＋）．
2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）
A．7B．6C．5D．3
【解析】：
选A 设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.
由S＝π（r＋3r）·3＝84π，解得r＝7.
3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．64＋32πB．64＋64πC．256＋64πD．256＋128π
【解析】：
选C 依题意，该几何体是一个正四棱柱及一个圆柱的组合体，其中正四棱柱的底面边长是8、侧棱长是4，圆柱的底面半径是4、高是4，因此所求几何体的体积等于π×42×4＋82×4＝256＋64π，选C.
4．某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．
【解析】：
易知原几何体是底面圆半径为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积为V＝××（π×12）×2＝.，故答案为：
5．若某几何体的三视图（单位：
cm）如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.
【解析】：
根据三视图，几何体是一个三棱柱削去一个三棱锥，体积V＝×3×4×5－××4×3×3＝24cm3.故答案为：
24
6.如图，在三棱锥DABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，则三棱锥DABC的体积的最大值是________．
【解析】：
由题意知，线段AB＋BD与线段AC＋CD的长度是定值，因为棱AD与棱BC相互垂直．
设d为AD到BC的距离．
则VD－ABC＝AD·BC×d××＝2d，
当d最大时，VD－ABC体积最大，
∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，
∴当AB＝BD＝AC＝CD＝5时，
d有最大值＝.
此时V＝2.
答案：
2
7．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的表面积S.
【解析】：
（1）由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1的正方形，高为，
所以V＝1×1×＝.
（2）由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形．
S＝2×（1×1＋1×＋1×2）＝6＋2.
8．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．
（1）求证：
DE∥平面ABC；
（2）求三棱锥EBCD的体积．
【解析】：
（1）证明：
如图，取BC的中点G，连接AG，EG，因为E是B1C的中点，
所以EG∥BB1，且EG＝BB1.
由题意知，AA1綊BB1.
而D是AA1的中点，所以EG綊AD.
所以四边形EGAD是平行四边形．
所以ED∥AG.
又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
（2）因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE.
所以VEBCD＝VDBCE＝VABCE＝VEABC.
由
（1）知，DE∥平面ABC，
所以VEBCD＝VEABC＝VDABC＝AD·BC·AG＝×3×6×4＝12.
【二级目标】能力提升
1．如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为（ ）
A．1＋
B．2＋2
C.
D．2＋
【解析】：
选D 依题意得，题中的几何体是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥PABCD（如图），其中底面边长为1，PD＝1，PD⊥平面ABCD，S△PAD＝S△PCD＝×1×1＝，S△PAB＝S△PBC＝×1×＝，S四边形ABCD＝12＝1，因此该几何体的表面积为2＋，选D.
2．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为________．
【解析】：
由题意知BD为实长，即正四面体的边长为2，
所以S＝·
（2）2＝2，
h＝＝
3．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A．8πB．7πC．2πD.
【解析】：
选D 依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积V＝π×1＝.
4．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．
【解析】：
依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝＝2，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π（）2＝12π.故答案为12π
5．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）
A. B.C．20D．40
【解析】：
选B 该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示．其体积为×（1＋4）×4×4＝.
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【解析】：
选D 该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，它的体积就是长方体的体积，体积为V＝（2.4＋0.6）×2×（1＋1）＝12.
7．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1∶V2＝________.
【解析】：
由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此V1＝8π－＝，V2＝×23＝，V1∶V2＝1∶2.，故答案为1∶2
【高考链接】
1.【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）
A．
B．
C．
D．
【解析】由三视图得，在正方体
中，截去四面体
，如图所示，，设正方体棱长为
，则
，故剩余几何体体积为
，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为
，故选D．
【答案】D
2．（2016年新课标卷Ⅲ．理9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（A）
（B）
（C）90（D）81
[答案]B
3.（2015湖南,10,5分）某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为（）（注：
材料利用率=新工件体积／原工件体积）
A.
B.
C.
D.
[答案]A
4.（2015重庆,5,5分）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A.
B.6 C.3 D.2
[答案]B
5.（2015课标Ⅱ,6,）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则
截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
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