第7章非线性系统分析练习与解答.docx
《第7章非线性系统分析练习与解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第7章非线性系统分析练习与解答.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第7章非线性系统分析练习与解答
第七章非线性控制系统分析
习题与解答
7-1设一阶非线性系统的微分方程为
3
xXX
试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
解令X
0
得
X
X3x（x21）x（x
系统平衡状态
Xe
0,
1,
1
其中：
xe0
:
稳定的平衡状态；
Xe
1,
1
:
不稳定
平衡状态。
计算列表，画出相轨迹如图解
7-1所示。
1）（x1）0
X
-2
-1
1"
0
1迈
1
2
X
-6
0
0.385
0
-0.385
0
6
X
11
2
0
1
0
2
11
当x（0）1时，系统发散；x（0）1
可见：
当x（0）|1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态;
时，X（t）；x（0）1时，X（t）。
x~x平面上任意分布。
注：
系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个
7-2试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
（1）xx|x0
X1
X1
X2
X2
2x1x2
系统方程为
xx
xx
x
x
0（x
0（x
0）
0）
令x
x0，得平衡点：
Xe
0
o
系统特征方程及特征根：
2
1
0,
1.3
ss
s1,2
j-
22
2ss
1
0,
s1,2
1.618,0.618
（稳定的焦点）
（鞍点）
dxxxxdx
xf（x,x）x|x,
dx1时dxx'
I:
1丄（x0）
II:
—1（x0）
计算列表
-m
-3
-1
-1/3
0
1/3
1
3
oo
x0:
11
-1
-2/3
0
2
-m
-4
-2
-4/3
-1
x0:
11
-1
-4/3
-2
-4
oo
2
0
-2/3
-1
（2）
xi
图解7-2（a）系统相平面图
X1X2
2x1x2
由式①：
X2
X1
X1
式③代入②：
（X1
xj
2X1（X1X1）
即
X1
2x1
X10④
令
X1
X1
0
得平衡点：
Xe
0
由式④得特征方程及特征根为
s22s10122.414（鞍点）
0.414
画相轨迹，由④式
xi
dxi
XidX
Xi
2x1x1
计算列表
X1
Xi
2
2.5
3
OO
1
1.5
2
=1/（-2）
OO
2
1
0
-1
-2
OO
用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b）所示。
7-3已知系统运动方程为xsinx0，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制
相平面图。
x丄sinx
-2
-1
-1/2
-1/4
0
1/4
1/2
1
2
-1/
1/2
1
2
4
OO
-4
-2
-1
-1/2
作出系统相平面图如图解7-3所示。
图解T「3
7-4若非线性系统的微分方程为
2
⑴x（3x0.5）xxx0
（2）xxxx0
试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。
在奇点处线性化处理。
在xe0处:
0.5x
特征方程及特征根
在xe1处
0.5xx0
所示。
系统开始是静止的，输入信号r（t）41（t），
出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系
解由结构图，线性部分传递函数为
C（s）
M（s）
由非线性环节有
由综合点得
将③、②代入①得
0
e
2
m（t）
e（t）
2e
2
e（t）
2e
2
c（t）
r（t）
e（t）
4e（t）
e（t）
开关线方程为e（t）2
0|e2I
2e（t）e2II
2e（t）e2III
e（t）0ec（常数）
ee20
令ee
0
得奇点e0I2
特征方程及特征根
2s
1
0,
S，2j
（中心点）
III:
e
e
2
0
令ee0
子曰*得奇
:
占
八、、
老2
特征方程及特征根
孑
1
0,
S,2j
（中心点）
绘出系统相轨迹如图解7-5所示，可看出系统运动呈现周期振荡状态。
7-6图7-37所示为一带有库仑摩擦的二阶系统，试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单位阶跃响应的影响。
B07-37有库白摩擦的二阶系魏
解由系统结构图有
C（s）
51:
c0
E（s）
s0.5s12
c0
s（0.5s12）C（s）5E（s）
0.5c3c5e
0.5cc5e
c0
c0
I
II
①
因为
cre
1e
②
②代入①式有
e6e10e0
e0
I
e2e10e0
e0
II
特征方程与特征根
I
:
s26s100
si,2
3j
（稳定的焦点）
II
2
:
s2s100
S1,2
1j3
（不稳定的焦点）
依题意c（0）0,c（0）0
可得
以（1,0）为起点概略作出系统相轨迹。
可见系统阶跃响
应过程是振荡收敛的。
7-7已知具有理想继电器的非线性系统如图7-38
所示。
图7-38具有理想继电器的非线性系统
试用相平面法分析:
（1）T；0时系统的运动；
（2）Td0.5时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用;
（3）T；2时系统的运动特点。
解依结构图，线性部分微分方程为
cu
①
非线性部分方程为
u
1e
Tde
0
②
1e
Tde
0
开关线方程：
1e
Td
e
由综合口：
c
re
1<
e
③
③、②代入①并整理得
e
1
eTde
0
1
eTde
0
在1区：
de
e
e
1
de
解出：
e2
2e
（e
0）
（抛物线）
同理在II区可得：
2e
2e
（e
0）
（抛物线）
开关线方程分别为
Td
0时，
e
0；
Td
0.5时,
e
2e；
7-7所示。
Td
2时，
e
0.5e.
概略作出相平面图如图解
^-0^-05笃"
图解M
由相平面图可见：
力口入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡
性减小，响应加快。
7-8具有饱和非线性特性的控制系统如图7-39所示，试用相平面法分析系统的阶跃响
应。
解非线性特性的数学表达式为
e|e|a
yMea
Mea
线性部分的微分方程式为
TccKy
考虑到rce，上式又可以写成
Trr
rr0，因此有
0
TeeKy
输入信号为阶跃函数，在t0时有，
TeeKy
根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。
I区：
系统的微分方程为
TeeKe0（ea）
按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点（0,0）,奇点的类型为稳定焦点。
图
解7-8（a）为1区的相轨迹，它们是一簇趋向于原点的螺旋线。
n区：
系统的微分方程为
TeeKM0（ea）
设一般情况下，初始条件为e（0）e0,e（0）e0。
则上式的解为
e（t）e0（e0KM）T（e0KM）TetTKMt
对上式求一次导数，得
e（t）（e0KM）etTKM
故当初始条件e'0KM时，相轨迹方程为e'KM。
川区：
此时系统的微分方程为
TeeKM0（ea）
将n区相轨迹方程中的KM改变符号，即得川区的相轨迹方程
eKMGKM）
ee0（e0e）TKMTlneKM（e0KM）
e0KM
7-8（c）所示。
该区的相轨迹如图解7-8（b）所示。
将以上各区的相轨迹连接起来，便是系统的整个相平面图，如图解
假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入作用时，相轨迹的起始点应为
e（0）R,e（0）0。
此时的系统的相平面图如图解7-8（d）所示。
由图可知，系统在阶
跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。
动态过程具有衰减振荡性质，最大超调量可从图中量得。
图解7-8非线性系统的相平面图
A3
（1）G（s）
（2）G（s）
（3）G（s）
1
s（0.1s1）
2
s（s1）
2（1.5s1）
s（s1）（0.1s1）
试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高?
解线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。
分别作出三个
系统线性部分的对数幅频特性曲线如图解7-10所示。
由对数幅频特性曲线可见，L2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统
（2）的描
述函数法分析结果的准确程度较高。
7-11将图7-40所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的
传递函数。
图7-40非线性系统结构图
解（a）将系统结构图等效变换为图解7-11（a）的形式。
G（s）G（s）[1Hds）]
（b）将系统结构图等效变换为图解7-11（b）的形式。
7-12判断题7-41图中各系统是否稳定；1N（A）与G（j）两曲线交点是否为自振点。
题7-41图自振分析解（a）不是
（b）是
（c）是
（d）a、c点是，b点不是
（e）是
（f）a点不是，b点是
（g）a点不是，b点是
（h）系统不稳定
（i）系统不稳定
（j）系统稳定
7-13已知非线性系统的结构图如图7-42所示
图7-427-13题图
图中非线性环节的描述函数为
N（A）
A6
（A0）
试用描述函数法确定:
（1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的K值范围;
（2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。
1
（A
2）
N（A）
A
6
11
1
N（0）3，
N（）
dN（A）
420
dA
（A
2）2
N（A）单调降，1N（A）也为单调降函数。
画出负倒描述函数曲线1N（A）和G（j）曲线
如图解7-13所示，可看出，当K从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。
K.0——2/3——2——oo
稳定自握不稳定”
图7-43非线性系统结构图及自振分析
解具有滞环继电特性的描述函数为
代入
1,h
其负倒描述函数1N（A）曲线如题7-43（b）所示，G（j）曲线位于第三象限，两曲线必
然有交点，且该点为自振点。
G（s）
5（Ts1）
2
s
G（j
\5.5T
）2j-
G（j
）丄
N（A）
根据虚部相等，有
自振角频率随T增大而增大，当
根据实部相等，有
T0.5时，
3.18。
5
-'A21
20T2
4
（）
解出非线性输入端振幅为
400T4
当T0.5时，A1.18。
自振振幅随T增大而减小。
输出信号振荡的振幅和频率。
解将系统结构图等效变换为图解
10
G（j）j（j1）
7-15。
10.10
~2J2
1
（1）
2
0.2
A
A2
1
N（A）
\1
0.2
A
令G（j）与1N（A）的实部、虚部分别相等得
10
:
-,1
0.2
两式联立求解得
由图7-44,r（t）
10
0.2
0.157
3.91,
0时,
A0.806。
c（t）e（t）
^x（t），所以c（t）的振幅为0.806
5
0.161。
7-16用描述函数法分析图
自振，
7-45所示系统的稳定性，并判断系统是否存在自振。
若存在
图7-45非线性系统结构图
解因为Mh，所以当xc0时NdA）环节输出为Mh，N2（A）环节输出也为Mh。
同样N3（A）输出也是M；当x0时情况类似。
所以实际上N2（A）和N3（A）不起作用，系统可等效为如图解7-16（a）的形式。
画出
1N（A）和G（j）曲线如图解7-16（b）所示。
可见系统一定自振。
由自振条件
40M
比较实部、
解出
7-17
N"）G（j）1
4M
Aj（1j
10
）（2j）
j（1j）（2
虚部有
40M
A
（2
2
j（2
2
——
—1
0
2）0
A2.12M
2
殆厂
（h）
0■
图解7-16
试用描述函数法说明图7-46所示系
统必然存在自振，并确定输出信号c的自振振幅
和频率，分别画出信号
C、
X、y的稳态波形。
y
5
■c
—J-1
s（j4-2）2
4
N（A）-,
绘出1N（A）和G（j
由自振条件可得
N（A）4
）曲线如图解7-17（a）所示,
可见
图7-46非线性系统结构图
D点是自振点，系统一定会自振。
N（A）
G（j）
j（j2）2
j（4）
10
10
10
令虚部为零解出=2，代入实部
得A=0.796。
则输出信号的自振幅值为：
AcA20.398。
画出c、X、y点的信号波形
如图解7-17（b）所示。
升级会员 