第7章非线性系统分析练习与解答.docx

1、第7章非线性系统分析练习与解答第七章非线性控制系统分析习题与解答7-1设一阶非线性系统的微分方程为3x XX试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。解令X0得XX3 x(x2 1) x(x系统平衡状态Xe0,1,1其中：xe 0:稳定的平衡状态；Xe1,1:不稳定平衡状态。计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。1)( x 1) 0X-2-1101迈12X-600.3850-0.38506X112010211当x(0) 1时，系统发散；x(0) 1可见：当x(0)| 1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态;时，X(t) ； x(0) 1 时，X(t) 。x x平面上任意分

2、布。注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。(1) x x |x 0X1X1X2X22x1 x2系统方程为x xx xxx0 (x0 (x0)0)令xx 0，得平衡点：Xe0o系统特征方程及特征根：210,1 . 3s ss1,2j -2 22 s s10,s1,21.618, 0.618（稳定的焦点）（鞍点）dxx x x dxx f(x,x) x |x ,dx 1时 dx x I : 1 丄(x 0)II : 1 (x 0)计算列表-m-3-1-1/301/313oox 0: 1 1-1-2/302-m-4-2-4/

3、3-1x 0: 1 1-1-4/3-2-4oo20-2/3-1（2）xi图解7-2( a )系统相平面图X1 X22x1 x2由式：X2X1X1式代入：（X1xj2X1 （X1 X1）即X12x1X1 0 令X1X10得平衡点：Xe0由式得特征方程及特征根为s2 2s 1 0 12 2.414 （鞍点）0.414画相轨迹，由式xidxiXidXXi2x1 x1计算列表X1Xi22.53OO11.52=1/( -2)OO210-1-2OO用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解 7-2 （ b ）所示。7-3 已知系统运动方程为 x si nx 0，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。x

4、丄 si nx-2-1-1/2-1/401/41/212-1/1/2124OO-4-2-1-1/2作出系统相平面图如图解 7-3所示。图解T37-4若非线性系统的微分方程为2 x (3x 0.5)x xx 0(2) x xx x 0试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。在奇点处线性化处理。在xe 0处:0.5x特征方程及特征根在xe 1处0.5x x 0所示。系统开始是静止的，输入信号 r(t) 4 1(t)，出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系解 由结构图，线性部分传递函数为C(s)M (s)由非线性环节有由综合点得将、代入得0e2m(t)e(t)2 e2e(t)2 e2c(

5、t)r(t)e(t)4 e(t)e(t)开关线方程为 e(t) 20 |e 2 I2 e(t) e 2 II2 e(t) e 2 IIIe(t) 0 e c (常数)e e 2 0令e e0得奇点e0I 2特征方程及特征根2 s10,S，2 j(中心点)III : ee20令e e 0子曰* 得奇:占八、老2特征方程及特征根孑10,S,2 j(中心点)绘出系统相轨迹如图解 7-5所示，可看出系统运动呈现 周期振荡状态。7-6 图7-37所示为一带有库仑摩擦的二阶系统，试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单 位阶跃响应的影响。B07-37 有库白摩擦的二阶系魏解由系统结构图有C(s)5 1 :c 0E

6、(s)s 0.5s 1 2c 0s(0.5s 1 2)C(s) 5E(s)0.5c 3c 5e0.5c c 5ec 0c 0III因为c r e1 e代入式有e 6e 10e 0e 0Ie 2e 10e 0e 0II特征方程与特征根I:s2 6s 10 0si,23 j（稳定的焦点）II2:s 2s 10 0S1,21 j3（不稳定的焦点）依题意 c(0) 0, c(0) 0可得以（1 , 0）为起点概略作出系统相轨迹。可见系统阶跃响应过程是振荡收敛的。7-7 已知具有理想继电器的非线性系统如图 7-38所示。图7-38具有理想继电器的非线性系统试用相平面法分析:（1） T； 0时系统的运动；

7、（2） Td 0.5时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用;（3） T； 2时系统的运动特点。解 依结构图，线性部分微分方程为c u非线性部分方程为u1 eTde01 eTde0开关线方程：1 eTde由综合口：cr e1 e、代入并整理得e1e Tde01e Tde0在1区：deee1de解出：e22e(e0)（抛物线）同理在II区可得：2 e2e(e0)（抛物线）开关线方程分别为Td0时，e0；Td0.5 时,e2e；7-7所示。Td2时，e0.5e.概略作出相平面图如图解-0 -0 5 笃图解M由相平面图可见：力口入比例微分控制可以改善系统的稳定性； 当微分作用增强时，系统

8、振荡性减小，响应加快。7-8 具有饱和非线性特性的控制系统如图 7-39所示，试用相平面法分析系统的阶跃响应。解非线性特性的数学表达式为e | e | ay M e aM e a线性部分的微分方程式为T c c Ky考虑到r c e，上式又可以写成T r rr r 0，因此有0T e e Ky输入信号为阶跃函数，在 t 0时有，Tee Ky根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。I区：系统的微分方程为T e e Ke 0 ( e a)按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点( 0, 0),奇点的类型为稳定焦点。图解7-8 ( a )为1区的相轨迹，它们是一簇趋向于原点的螺旋线。n区

9、：系统的微分方程为T e e KM 0 (e a)设一般情况下，初始条件为 e(0) e0, e(0) e0。则上式的解为e(t) e0 (e0 KM )T (e0 KM )Te tT KMt对上式求一次导数，得e(t) (e0 KM)etT KM故当初始条件e0 KM时，相轨迹方程为 e KM 。川区：此时系统的微分方程为T e e KM 0 (e a)将n区相轨迹方程中的 KM改变符号，即得川区的相轨迹方程e KM G KM )e e0 (e0 e)T KMT ln e KM (e0 KM )e0 KM7-8 ( c )所示。该区的相轨迹如图解 7-8 ( b )所示。将以上各区的相轨迹连

10、接起来，便是系统的整个相平面图，如图解假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入作用时，相轨迹的起始点应为e(0) R, e(0) 0。此时的系统的相平面图如图解 7-8 ( d )所示。由图可知，系统在阶跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。动态过程具有衰减振荡性质，最大超调量 可从图中量得。图解7-8 非线性系统的相平面图A3(1)G(s)(2)G(s)(3)G(s)1s(0.1s 1)2s(s 1)2(1.5s 1)s(s 1)( 0.1s 1)试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高?解线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。 分别作出三个系统线性部分的对数

11、幅频特性曲线如图解 7-10所示。由对数幅频特性曲线可见， L2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统( 2)的描述函数法分析结果的准确程度较高。7-11 将图7-40所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式， 并写出线性部分的传递函数。图7-40非线性系统结构图解(a)将系统结构图等效变换为图解 7-11( a)的形式。G(s) G(s)1 Hds) (b)将系统结构图等效变换为图解 7-11(b)的形式。7-12判断题7-41图中各系统是否稳定； 1 N(A)与G(j )两曲线交点是否为自振点。题7-41图自振分析 解 (a) 不是(b)是(c)是(d)a、c点是，b点不是(e)

12、是(f)a点不是，b点是(g)a点不是，b点是(h)系统不稳定(i)系统不稳定(j)系统稳定7-13已知非线性系统的结构图如图 7-42所示图7-42 7-13题图图中非线性环节的描述函数为N(A)A 6(A 0)试用描述函数法确定:(1)使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的K值范围;(2)判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。1(A2)N(A)A61 11N(0) 3，N()dN(A)4 2 0dA(A2)2N(A)单调降， 1 N(A)也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线 1 N (A)和G(j )曲线如图解7-13所示，可看出，当K从小到大变化时，系统

13、会由稳定变为自振，最终不稳定。K . 02/32oo稳定 自握不稳定”图7-43非线性系统结构图及自振分析解具有滞环继电特性的描述函数为代入1, h其负倒描述函数 1 N(A)曲线如题7-43 ( b )所示，G(j )曲线位于第三象限，两曲线必然有交点，且该点为自振点。G(s)5(Ts 1)2sG(j 5 . 5T) 2 j-G(j) 丄N(A)根据虚部相等，有自振角频率随T增大而增大，当根据实部相等，有T 0.5 时，3.18。5-A2 120T 24()解出非线性输入端振幅为400T4当T 0.5时，A 1.18。自振振幅随T增大而减小。输出信号振荡的振幅和频率。解 将系统结构图等效变换

14、为图解10G(j) j (j 1)7-15。10 . 102 J 21 ( 1)20.2AA21N(A)10.2A令G(j )与1 N(A)的实部、虚部分别相等得10:-,10.2两式联立求解得由图 7-44, r(t)100.20.1573.91,0时,A 0.806。c(t) e(t)x(t)，所以c(t)的振幅为0.80650.161。7-16 用描述函数法分析图自振，7-45所示系统的稳定性，并判断系统是否存在自振。若存在图7-45 非线性系统结构图解 因为M h，所以当x c 0时NdA)环节输出为 M h，N2(A)环节输出 也为M h。同样N3(A)输出也是 M ；当x 0时情况

15、类似。所以实际上N2(A)和N3(A) 不起作用，系统可等效为如图解 7-16 ( a )的形式。画出1 N(A)和G(j )曲线如图解7-16( b )所示。可见系统一定自振。由自振条件40M比较实部、解出7-17N) G(j ) 14MA j (1 j10 )(2 j )j (1 j )(2虚部有40MA(22j (22102) 0A 2.12M2殆厂(h )0 图解7-16试用描述函数法说明图 7-46所示系统必然存在自振，并确定输出信号c的自振振幅和频率，分别画出信号C、X、y的稳态波形。y5cJ-1s(j4-2)24N(A)-,绘出1 N(A)和G(j由自振条件可得N(A) 4)曲线如图解7-17( a)所示,可见图7-46非线性系统结构图D点是自振点，系统一定会自振。N(A)G(j )j (j 2)2j (4 )101010令虚部为零解出 =2，代入实部得A=0.796。则输出信号的自振幅 值为：Ac A 2 0.398。画出c、X、y点的信号波形如图解7-17(b)所示。