答案 B
解析 依题意知点（x，y）形成的区域是边长为1的正方形及其内部，其面积为S＝1．
而满足x＋y≥的区域如图1中的阴影部分，
其面积为S1＝1－××＝，∴p1＝＝；
满足|x－y|≤的区域如图2中的阴影部分，
其面积为S2＝1－××－××＝，∴p2＝＝；
满足xy≤的区域如图3中的阴影部分，
其面积为S3＝×1＋dx
＝＋lnx1＝＋ln2，
∴p3＝＝＋ln2．
∵p1－p3＝－ln2＝＝ln，
而e3>16，∴p1－p3>0，即p1>p3．
而p2－p3＝－ln2＝ln<0，
∴p2p3>p2．
18．（2017·江苏高考）记函数f（x）＝的定义域为D．在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
答案
解析 由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2，3]．如图，区间[－4，5]的长度为9，定义域D的长度为5，∴P＝．
三、模拟小题
19．（2018·唐山模拟）右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）
A．8B．9C．10D．12
答案 B
解析 根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积S＝4×4×＝9．故选B．
20．（2018·郑州质检三）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案 C
解析 设正方形的边长为2，则由几何概型的概率公式，知所求概率为＝．故选C．
21．（2018·合肥质检三）如图所示的图形是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：
随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N，落在圆内的豆子个数为M，则估计圆周率π的值为（ ）
A．B．C．D．
答案 D
解析 设圆的半径为r，则根据几何概型的概率公式，可得＝，故π＝，选D．
22．（2018·福建质检）如图，已知曲线y＝sin＋3把边长为4的正方形OABC分成黑色部分和白色部分．若在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案 A
解析 如图，点D，E在直线y＝3上，F为y＝3与曲线y＝sin＋3（0＜x＜4）的交点．将y＝3代入y＝sin＋3得sin＝0．又因为0＜x＜4，所以x＝2．由正弦函数的性质可知y＝sin＋3的图象关于点F（2，3）对称，所以阴影部分的面积S＝S四边形BCDE＝4×（4－3）＝4．又因为S正方形OABC＝4×4＝16，所以此点取自黑色部分的概率是＝．故选A．
23．（2018·长春质检二）若向区域Ω＝{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}内投点，则该点到原点的距离小于1的概率为________．
答案
解析 如图，由题意知区域Ω的面积为1，在区域Ω内，到原点的距离小于1的区域为阴影部分，即四分之一个圆，其面积为，所以所求概率为．
24．（2018·合肥质检二）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：
00～6：
00之间送货上门．已知小李下班到家的时间为下午5：
30～6：
00．快递员到小李家时，若小李未到家，就将商品存放快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于________．
答案
解析 设快递员到小李家的时间为5点x分，小李到家的时间为5点y分，则依题意，若需要去快递柜收取商品，需满足
则可行域所表示的区域为图中阴影部分．由于随机试验落在矩形方框内的任何位置的等可能性，进而依据几何概型的概率公式，可得小李需要去快递柜收取商品的概率为＝．
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．（2018·湖北黄冈、黄石等八市联考）若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，求张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率．
解 设第一天工作的时间为x小时，第二天工作的时间为y小时，则因为连续两天平均工作时间不少于7小时，所以≥7，即x＋y≥14，表示的区域面积为9，其中满足x＋y≥14的区域面积为9－×2×2＝7，∴张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是．
2．（2018·安徽皖南地区调研）某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：
小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如下表：
停靠时间
2．5
3
3．5
4
4．5
5
5．5
6
轮船数量
12
12
17
20
15
13
8
3
（1）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；
（2）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．
解
（1）a＝×（2．5×12＋3×12＋3．5×17＋4×20＋4．5×15＋5×13＋5．5×8＋6×3）＝4．
（2）设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，则
若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则|y－x|<4，符合题意的区域为阴影部分（不包括x，y轴），
所以所求概率P＝＝，
则这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为．
3．（2018·山东临沂一模）设f（x）和g（x）都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1，2]，都有|f（x）＋g（x）|≤8，则称f（x）和g（x）是“友好函数”，设f（x）＝ax，g（x）＝．
（1）若a∈{1，4}，b∈{－1，1，4}，求f（x）和g（x）是“友好函数”的概率；
（2）若a∈[1，4]，b∈[1，4]，求f（x）和g（x）是“友好函数”的概率．
解
（1）设事件A表示f（x）和g（x）是“友好函数”，
则|f（x）＋g（x）|（x∈[1，2]）所有的情况有：
x－，x＋，x＋，4x－，4x＋，4x＋，
共6种且每种情况被取到的可能性相同．
又当a>0，b>0时，
ax＋在上递减，在上递增；
x－和4x－在（0，＋∞）上递增，
∴对x∈[1，2]可使|f（x）＋g（x）|≤8恒成立的有x－，x＋，x＋，4x－，
故事件A包含的基本事件有4种，
∴P（A）＝＝，故所求概率是．
（2）设事件B表示f（x）和g（x）是“友好函数”，
∵a是从区间[1，4]中任取的数，b是从区间[1，4]中任取的数，
∴点（a，b）所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．
要使x∈[1，2]时，|f（x）＋g（x）|≤8恒成立，
需f
（1）＋g
（1）＝a＋b≤8且f
（2）＋g
（2）＝2a＋≤8，
∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．
∴P（B）＝＝，
故所求概率是．
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