答案 B
解析 依题意知点(x,y)形成的区域是边长为1的正方形及其内部,其面积为S=1.
而满足x+y≥的区域如图1中的阴影部分,
其面积为S1=1-××=,∴p1==;
满足|x-y|≤的区域如图2中的阴影部分,
其面积为S2=1-××-××=,∴p2==;
满足xy≤的区域如图3中的阴影部分,
其面积为S3=×1+dx
=+lnx1=+ln2,
∴p3==+ln2.
∵p1-p3=-ln2==ln,
而e3>16,∴p1-p3>0,即p1>p3.
而p2-p3=-ln2=ln<0,
∴p2p3>p2.
18.(2017·江苏高考)记函数f(x)=的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是________.
答案
解析 由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,∴D=[-2,3].如图,区间[-4,5]的长度为9,定义域D的长度为5,∴P=.
三、模拟小题
19.(2018·唐山模拟)右图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷400个点,其中落入黑色部分的有225个点,据此可估计黑色部分的面积为( )
A.8B.9C.10D.12
答案 B
解析 根据面积之比与点数之比相等的关系,得黑色部分的面积S=4×4×=9.故选B.
20.(2018·郑州质检三)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,被誉为“东方模板”,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 设正方形的边长为2,则由几何概型的概率公式,知所求概率为=.故选C.
21.(2018·合肥质检三)如图所示的图形是一个正六边形及其内切圆,现采取随机模拟的方法估计圆周率的值:
随机撒一把豆子,若落在正六边形内的豆子个数为N,落在圆内的豆子个数为M,则估计圆周率π的值为( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 设圆的半径为r,则根据几何概型的概率公式,可得=,故π=,选D.
22.(2018·福建质检)如图,已知曲线y=sin+3把边长为4的正方形OABC分成黑色部分和白色部分.若在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 如图,点D,E在直线y=3上,F为y=3与曲线y=sin+3(0<x<4)的交点.将y=3代入y=sin+3得sin=0.又因为0<x<4,所以x=2.由正弦函数的性质可知y=sin+3的图象关于点F(2,3)对称,所以阴影部分的面积S=S四边形BCDE=4×(4-3)=4.又因为S正方形OABC=4×4=16,所以此点取自黑色部分的概率是=.故选A.
23.(2018·长春质检二)若向区域Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}内投点,则该点到原点的距离小于1的概率为________.
答案
解析 如图,由题意知区域Ω的面积为1,在区域Ω内,到原点的距离小于1的区域为阴影部分,即四分之一个圆,其面积为,所以所求概率为.
24.(2018·合肥质检二)小李从网上购买了一件商品,快递员计划在下午5:
00~6:
00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5:
30~6:
00.快递员到小李家时,若小李未到家,就将商品存放快递柜中,则小李需要去快递柜收取商品的概率等于________.
答案
解析 设快递员到小李家的时间为5点x分,小李到家的时间为5点y分,则依题意,若需要去快递柜收取商品,需满足
则可行域所表示的区域为图中阴影部分.由于随机试验落在矩形方框内的任何位置的等可能性,进而依据几何概型的概率公式,可得小李需要去快递柜收取商品的概率为=.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型.
二、模拟大题
1.(2018·湖北黄冈、黄石等八市联考)若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布,求张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率.
解 设第一天工作的时间为x小时,第二天工作的时间为y小时,则因为连续两天平均工作时间不少于7小时,所以≥7,即x+y≥14,表示的区域面积为9,其中满足x+y≥14的区域面积为9-×2×2=7,∴张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是.
2.(2018·安徽皖南地区调研)某港口有一个泊位,现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位:
小时),如果停靠时间不足半小时按半小时计时,超过半小时不足1小时按1小时计时,依此类推,统计结果如下表:
停靠时间
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
轮船数量
12
12
17
20
15
13
8
3
(1)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时,求a的值;
(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时,且在一昼夜的时间段中随机到达,求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率.
解
(1)a=×(2.5×12+3×12+3.5×17+4×20+4.5×15+5×13+5.5×8+6×3)=4.
(2)设甲船到达的时间为x,乙船到达的时间为y,则
若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待,则|y-x|<4,符合题意的区域为阴影部分(不包括x,y轴),
所以所求概率P==,
则这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为.
3.(2018·山东临沂一模)设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数,若对任意x∈[1,2],都有|f(x)+g(x)|≤8,则称f(x)和g(x)是“友好函数”,设f(x)=ax,g(x)=.
(1)若a∈{1,4},b∈{-1,1,4},求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率;
(2)若a∈[1,4],b∈[1,4],求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率.
解
(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”,
则|f(x)+g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有:
x-,x+,x+,4x-,4x+,4x+,
共6种且每种情况被取到的可能性相同.
又当a>0,b>0时,
ax+在上递减,在上递增;
x-和4x-在(0,+∞)上递增,
∴对x∈[1,2]可使|f(x)+g(x)|≤8恒成立的有x-,x+,x+,4x-,
故事件A包含的基本事件有4种,
∴P(A)==,故所求概率是.
(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”,
∵a是从区间[1,4]中任取的数,b是从区间[1,4]中任取的数,
∴点(a,b)所在区域是长为3,宽为3的矩形区域.
要使x∈[1,2]时,|f(x)+g(x)|≤8恒成立,
需f
(1)+g
(1)=a+b≤8且f
(2)+g
(2)=2a+≤8,
∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分.
∴P(B)==,
故所求概率是.