暑假培优试题.docx

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暑假培优试题

1、北京和上海两公司生产同种型号的计算机200和100台全部销往重庆和汉口两地，而重庆和汉口最多分别只需160台，北京运往重庆和汉口的运费分别是200元∕台和180元∕台，上海运往重庆和汉口的运费分别是150元∕台和100元∕台，问如何安排运输方案，才能使总运费最省？

2、操作探究题

一、阅读材料：

圆在直线上的滚动

如图，一个半径为r的圆沿直线方向从A地滚动一周到B地

O′

图1

启示：

圆沿直线方向从A地滚动到B地的过程中，圆心到直线AB的距离保持不变，易证四边形ABO′O是矩形，所以AB＝OO′＝m,此时圆心运动轨迹是与直线AB平行且到直线AB距离等于r的一条线段OO′，其长为m，而圆自转一圈时，圆心向前移动距离为m=2πr,由此发现圆在滚动过程中自转圈数可用

进行计算。

①自主探究：

半径为1的圆在折线上的滚动

问题：

若AB=BC=2

，∠ABC=120°，那么圆从A点滚动到B点是不是自转了两圈？

说明理由。

图3

图4

图2

②拓展延伸：

如图3，若一个等边三角形的边长与沿着它的边按箭头方向滚动的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动的滚动直至回到原出发点，求此圆自身转动了几圈？

推广：

1、如图4，如果一个凸n边形的边长与沿着它的边按箭头方向滚动的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿凸n边形的边做无滑动的滚动直至回到原出发点，则这个圆自身转动了圈．

3、一、阅读填空：

如图

（1），顺次连接四边形ABCD的各边中点E、F、G、H，我们称四边形EFGH为四边形ABCD的中点四边形.易证，四边形EFGH的形状为_______________.（2分）

二、利用上述结论进行探究：

（1）、如图

（2），△AOB和△COD是两个等腰三角形，AO=BO，CO=DO,且∠A0B=∠COD，试猜想四边形ABCD的中点四边形EFGH是何特殊四边形，并证明你的结论.（3分）

（2）、如图（3），△AOB和△COD是两个直角三角形，∠A0B=∠COD=90°，且

，试猜想四边形ABCD的中点四边形EFGH是何特殊四边形，并证明你的结论.（3分）

三、拓展延伸：

如图（4），在△AOB和△COD中，∠ABO=∠DCO=90°，∠AOB=∠DOC=60°，点E是AD中点，顺次连接点E、B、C得△EBC，试猜想△EBC是何特殊的三角形，并证明你的结论.（4分）

编题说明：

本题考查了三角形中位线、全等三角形、相似三角形、特殊多边形的证明等知识点.考查了学生进行类比、迁移的研究能力，在拓展延伸中，学生既可以用类比探究

（1）的全等思路，也可以类比探究

（2）的相似思路解决问题，入口宽，出口窄，有一定的趣味性，同时体现区分度.

4、如图，将矩形ABCD放在平面直角坐标系中，AD平行BC。

点D的坐标为（3,2），直线l:

y=x沿着y轴向上每秒a个单位运动，在整个运动过程中，直线l在矩形ABCD内的长度L与运动时间t之间的函数关系如图乙所示．

求1．a=，矩形的周长=，矩形的面积=．

2．经过多长时间l能平分矩形的面积？

3．经过多长时间l扫过的矩形面积为1？

5、小明和爷爷两人一起去爬山，他们按同一路线同时从山脚出发.他们俩上山的平均速度不同，下山的平均速度都是各自上山平均速度的1.5倍.已知小明上山平均速度是爷爷上山平均速度的1.25倍，且小明到达山顶后立即返回.设两人出发xmin后距出发点的距离为ym．图中折线表示爷爷在整个爬山过程中y与x的函数关系.其中线段AB∥x轴，C点在x轴上，M点坐标为（30，0）．N点的坐标为（32，0）

（1）线段AB表示的实际意义是；

=________

（2）在图中画出小明在整个爬山过程中y与x的函数图象.问：

两人出发后多长时间第一次相遇？

（3）写出在整个过程中小明和爷爷两人之间的距离S（m）与出发时间x（min）的函数关系式及x的取值范围.

6、一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题：

（1）慢车的速度为km/h，快车的速度为km/h；

（2）解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标；

（3）当x为多少时，两车相距300km？

（4）当两车之间的距离不超过200m时可互相望见，问这段时间持续多长？

7、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC，BC＝10cm，CD＝6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F从点B出发沿沿BC以每秒2cm的速度向C点匀速运动，同时点E从C点沿线段CD以每秒1cm的速度向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．

（1）求AD的长；

（2）以F为圆心，t为半径的⊙F交射线BC于M、N两点（点M在点F的左侧），

①当⊙F与边CD有一个公共点时，求

的取值范围；

②求当t为何值时，△EMN是等腰三角形．

8、

（1）已知A（1，2），B（2，-3），若在x轴上存在一点P，使得∠APO=∠BPO，求点P的坐标；

（2）已知A（-1，1），

①点B为x轴上一点，且B的坐标为（3，0），若直线y=x上取一点C，使得∠ACO=∠BCO，求C的坐标；

②B为x轴上一点，若直线y=x上不存在C，使得∠ACO=∠BCO，求点B的坐标。

9、某物流公司派送人员甲、乙分别从B地派送货物到A、C两地，如图⑴，A在B的北偏东45°方向，C在B的正东方向且BC=120km．乙的速度是60km/h,甲的速度是乙速度的

倍，甲把货物送到A地后又接到A地一批货物要送到C地，结果两人同时到达C地．

⑴∠BAC=°；

⑵若甲乙两人间的距离为s，请写成s（km）与乙出发时间t（h）的函数表达式；并写出当t为何值时，两人间的距离最大？

⑶在⑵的条件下，两人到达C地后，立即按原速从C返回B地，请在图⑵的直角坐标系中，画出s（km）与t（h）的函数图象．

（注：

货物交接时间忽略不计）

10、一包装礼盒是底面为正方形的无盖立体图形，其展开图如所示：

是由一个正方形与四个正六边形组成，已知正六边形的边长为a，甲、乙两人分别用长方形和圆形硬板纸裁剪包装纸盒，问谁的硬板纸利用率高，请通过计算长方形和圆的面积说明原因。

你能设计出利用率更高的长方形硬板纸吗？

请在展开图外围画出长方形硬板纸形状。

甲：

乙：

参考答案：

1、【解答】解：

设北京运往重庆x台，运往汉口（200-x）台

上海运往重庆y台，运往汉口（100-y）台

则0≦x≦160

0≦y≦160

x+y≦160

（200-x）+（100-y）≦160

0≦（200-x）≦160

0≦（100-y）≦160

即40≦x≦160

0≦y≦100

x+y≦160

x+y≧140

总运费z=200x+180（200-x）+150y+100（100-y）

=20x+50y+46000

则y=-0.4x+z/50-920

画出上述条件表示的区域：

当过点（140,0）时z最小=48800.

方案略。

2、【解答】1．不是两圈，圈数应该是

．2．4圈3．（n+1）圈

3、

解答：

一、平行四边形；

二、

（1）菱形

如图①，连接AC、BD，易证△AOC≌△BOD，得AC=BD

因为EH=

BD，HG=

AC，所以EH=HG，所以平行四边形EFGH是菱形；

（2）矩形

如图②，连接AC、BD，易证△AOC∽△BOD，得∠OAC=∠OBD，

可证AC⊥BD，

因为EH∥BD，HG∥AC，所以EH⊥HG，所以平行四边形EFGH是矩形；

三、等边三角形

方法①将△ABO和△CDO补成等腰三角形

如图③，将△ABO和△CDO分别沿BO、CO翻折，

得等腰△AOA’和等腰△BOB’，证△AOD’≌△DOA’，

得AD’=A’D，∠OAD’=∠OA’D，

所以∠AGD=∠AA’G+∠A’AG=∠AA’O+∠A’AO=60°

因为BE=

A’D，EC=

AD’，得EB=EC，

因为BE∥A’D，EC∥AD’，得∠BEC=60°，

所以△EBC是等边三角形.

方法②证明△AOD’≌△DOA’后，再证明△BOC∽△AOD’，且

相似比为

，则可以证明EB=EC=BC，所以△EBC是等边三角形.

方法③

如图④，取OD中点G，易证△ECG≌△BOC，得EC=BC、

∠ECG=∠BCO，得∠BOE=∠OCG=60°，所以△EBC是等边三角形.

方法④

如图⑤，取OD中点G，取AO中点H，

通过证明△ECG≌△BOC≌△BHE，得EB=EC=BC，所以△EBC是等边三角形.

4、

（1）a=1，周长=6，面积=2

（2）3.5秒．

（3）4秒．

5、【解答】

（1）AB表示爷爷爬上山顶停留2分钟；

=

（2）图像如图所示：

出发后

分钟第一次相遇.

（3）0＜x≤24S=4x

24＜x≤

S=-46x+1200

＜x≤30S=46x-1200

30＜x≤32S=30x-720

32＜x≤40S=6x+48

40＜x≤52S=-24x+1248

6、【解答】

（1）80km/h120km/h

（2）D表示快车到达乙地，此时两车相距360km。

D（4.5,360）

（3）1.2h或4.2h

（4）0.12分钟

7、【解答】

（1）AD=6.4cm

（2）

①第一种情形：

当⊙F与CD相切于H时（如图1所示），

则易得△CFH∽△CBD，则

，即

解得

秒。

第二种情形：

当⊙F与CD相交，但只有一个交点时（如图2所示），

从点N到C开始到F到点C为止。

易得

综上所述：

当

和

时，⊙F与边CD有一个公共点

②第一种情形：

当MN=NE时

或

（舍去）

第二种情形：

当MN=ME时

或

（舍去）

第三种情形：

当ME=NE时

秒

综上所述：

当

，

，

时，△EMN是等腰三角形。

8、【解答】

（1）点A（1，2）关于x轴的对称点为A’（1，-2），则AA’的函数关系式为y=-x-1

∴AA’与x轴的交点坐标为（-1，0），即P（-1，0）

（2）①点C在直线y=x上，点B关于直线y=x对称点B’（0，3）

∴BB’的解析式为y=2x+3

∴y=2x+3与y=x的交点坐标为（-3，-3）即C的坐标为（-3，-3）.

②若B关于y=x对称的点B’,

∵平面内不存在C，使得∠ACO=∠BCO

∴直线AB’与y=x平行

又A（-1，1）

∴直线AB’的解析式为：

y=x+2

∴B’的坐标为（0，2）

∴B的坐标为（2，0）

9、【解答】

⑴∠BAC=90°⑵当0＜t≤1时，s=60t；当1＜t≤2时，s=120－60t

当t=1时有最小值是60km．

⑶

10、【解答】解得长方形面积为

a2，解得圆面积为7πa2，所以甲长方形利用率高

节约的方法可以为：