最新版Bézier曲线的细分技术毕业设计.docx

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最新版Bézier曲线的细分技术毕业设计

本科毕业设计

（2013届）

题目

Bézier曲线的细分技术

学院

计算机学院

专业

计算机科学与技术

班级

学号

学生

郭佳远

指导教师

余正生

完成日期

2013年6月

诚信承诺

我谨在此承诺：

本人所写的毕业论文《Bézier曲线的细分技术》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。

承诺人（签名）：

年月日

摘要

本毕业设计主要设计Bézier曲线的细分技术。

Bézier曲线在曲线曲面工程设计中是一种比较常用的曲线，它在线面造型及线面重构中发挥着重要作用。

Bézier曲线的显著特性是“刚性”有余，“柔性”不足。

为了增加曲线的“柔性”，往往采用升阶的方法，通过增加新控制顶点来加强对曲线修改的灵活性。

但是如果一旦移动新生成的控制顶点，曲线次数也随之增加，有时在对曲线进行修改时，不希望改编曲线的整体次数，此时就需要对曲线进行细分。

我们希望从一个控制多边形出发，按照我们事先选取的细分规则，在给定的控制多边形中插入新的顶点，再连接这些新的顶点得到新的控制多边形，所得到的新的控制多边形是初始控制多边形的加细。

不断的重复上述过程，随着细分的不断进行，控制多边形就被逐渐加细，其极限状态为一条曲线，称为递归细分曲线。

在完成毕业设计的过程中，我们首先在理论上对我们的问题进行数学分析与证明，然后对解决问题的算法进行实现，并在文中通过样例来支持本毕业设计研究结论的有效性。

关键词：

计算机辅助几何设计；Bézier曲线；deCasjau算法；细分曲线

ABSTRACT

ThemainaimofthisthesisistodeviseBéziercurvessubdivisiontechniques.Béziercurveisarelativelycommoncurveintheengineeringdesignofcurvesandsurfaces,Itplaysanimportantroleatonlinefaceshapeandlineandplanereconstruction.TheBéziercurvesnotablefeaturesisthe"rigid"morethan"flexible".Inordertoincreasethe"flexible"ofthecurve,weoftenadoptthemethodofAscendingOrder,Byaddingnewcontrolpointstoenhancetheflexibilityofthecurvechanges.Butifmobilenewlygeneratedcontrolvertices,thecurvefrequencyandalsoincreases,sometimestomodifythecurve,wedonotwanttheoverallfrequencyandadaptationcurve,thenweneedtocurverefinements.

We,Selectedinadvanceinaccordancewithourrulessegments,insertanewvertexinthegivencontrolpolygon,andthenconnectthesenewverticestothenewcontrolpolygonobtainednewcontrolpolygonistherefinementoftheinitialcontrolpolygon.Constantlyrepeattheprocess,asthebreakdownoftheongoingcontrolpolygongraduallyincreasethefine,theultimatestatusofacurve,knownasrecursivesubdivisioncurve.Duringourworkingprocess,wefirstlyprovedouralgorithmmathematically,thenimplementedouralgorithmbyprograms,andsupportedourmethodwithsomerealsamples.

Keywords：

Computeraidedgeometricdesign;Béziercurves;deCasjaualgorithm;subdivisioncurve

1引言

1.1课题的背景和研究意义

随着计算机技术的发展和普及，计算机辅助设计与制造技术（CAD（ComputerAidedDesign）CAM（ComputerAidedManufacture））得到了迅猛的发展，他们推动了许多领域的设计革命，CADCAM技术的发展和应用水平已经成为衡量一个国家现代化水平的重要标志之一。

而计算机辅助几何设计（ComputerAidedGeometryDesign，简称CADG）是CADCAM的理论基础和关键技术，一旦CAGD中有一种新的几何造型出现，往往就能很快地应用到CADCAM系统中。

早期是由数学放样和外形设计的实际需要，作为样条函数及函数逼近论等在飞机、汽车、船舶制造中的实际应用而发展起来的。

现在，它已与许多学科有了紧密联系，成为一门新兴的交叉学科和边缘学科。

CAGD主要研究在计算机图像系统的环境下对曲面信息的表示、逼近、分析和综合。

现在，越来越多的科研人员从事这方面的研究，并取得了瞩目的成果。

其应用的范围已从最初的飞机、汽车以及船舶制造业发展到建筑设计、生物工程、医疗卫生事业、航天材料、电子工程、服装设计、多媒体技术、动画制作等各个技术领域。

随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性的日益增强，图形工业和制造工业迈向一体化、信息化和网络化步伐的日益加快，CAGD得到了飞速的发展。

它经历了从离散到连续，再从连续到离散的发展过程。

但是，当细分（Subdivision）技术出现以后，这种造型方法得到了很大的改进，人们可以直接从离散到离散，减少了过去的建立连续函数的那个环节。

细分算法的由来最早可以追溯到1956年deRahm.G提出的割角（CuttingCorner）思想。

其思想是通过对折线角点进行切割生成光滑曲线。

1974年，Chaikin提出了类似的生成曲线的细分方法。

1978年，Catmull和Clark提出了著名的Catmull-Clark细分模式，标志着细分方法正式成为曲面建模的手段。

80年代末到90年代初期，出现了许多著名的细分方法，如1987年Dyn提出四点法曲线插值模式及六点法曲线插值模式，1991年Dyn又提出Binary细分模式，稳定细分模式[Cavaretta1991]，Loop模式[Loop1987]，蝶形模式[Dyn1990]等。

在细分曲线造型方面，引入均差细分、生成多项式、生成函数等概念描述细分过程，关于细分模式的收敛性、连续性分析已有了系统的研究成果。

90年代中期至今是细分技术的发展期。

这一阶段出现了一些新的细分方法，也有一些方法是对老方法进行改进。

在细分曲线造型方面，蔡志杰对非均匀有序控制顶点时的四点法及变参数四点法的收敛性和连续性进行了分析；骆岩林研究了生成曲线的有理稳定细分方法；丁友东提出了非线性四点插值细分法；金建荣提出了非均匀四点插值细分法，生成的曲线达到G连续。

2002年，Hassan提出了Ternary四点插值细分法，生成了曲线达到G连续。

近些年提出的细分模式还有：

Ivrissimtzis等[Ivrissimtzis2004]的模式；Peters[Peters2003]的4-3模式；Jena[Jena2002]基于三角样条的细分算法；2001年李桂清提出了细分等。

1.2论文的研究内容及主要工作

我们希望从一个控制多边形出发，按照我们事先选取的细分规则，在给定的控制多边形中插入新的顶点，再连接这些新的顶点得到新的控制多边形，所得到的新的控制多边形是初始控制多边形的加细。

不断的重复上述过程，随着细分的不断进行，控制多边形就被逐渐加细，其极限状态为一条曲线，称为递归细分曲线。

在完成毕业设计的过程中，我们首先在理论上对我们的问题进行数学分析与证明，然后对解决问题的算法进行实现，并在文中通过样例来支持本毕业设计研究结论的有效性。

首先，我们要掌握掌握Bézier曲线的定义式，和控制点的选择，熟悉Bézier曲线的性质。

然后，对Bézier曲线的DeCasjau定义进行数学推导，证明由n+1个控制顶点定义的n次Bézier曲线可以被定义为由前后n个控制顶点决定的两个n-1次Bézier曲线和线性组合起来。

考虑到实际设计的应用需求，我们将Bézier曲线的形式进行描述，在为造型设计带来方便的同时，统一描述了整张造型曲面的数学形式，便于数学证明的同时也为程序语言表达提供了方便。

在具体的实现过程中，我们先编程实现Bézier曲线，并在低次曲线情形产生一些示例。

然后编程实现Bézier曲线的细分技术，并能产生直观的可视化效果图。

本毕业设计能够显著简化Bézier曲线的设计过程，为现实生产设计带来了方便。

1.3论文的结构

全文一共7章，按照整个对Bézier曲线和Bézier曲线细分技术研究过程来安排章节间的逻辑结构。

第1章是前言部分，主要介绍课题的背景和研究意义，并介绍了研究过程中需要完成的主要工作。

第2章介绍了参数曲线与参数曲面的简单预备知识，为之后的证明引入必要的基本的定理与结论。

第3章是本文的核心章节，Bézier曲线细分技术的生成算法，并给出了本算法的若干实例以支持本算法的正确性。

第4章主要介绍了OpenGl开发环境的插件开发与其他功能对本文算法的支持。

第5章介绍了Bézier曲线细分技术生成算法以及该算法在OpenGl开发环境下的具体实现过程和详细代码。

第6章给出了对本项目的后续开发与维护进行了介绍。

第7章为全文的总结。

2预备知识

2.1Bernstein多项式

定义：

设f是[0,1]上的函数，,约定=1.称[0,1]上的多项式函数

为f的第n个Bernstein多项式。

应当将视为一个映射，它把[0,1]上的函数映射为[0,1]上的多项式函数。

称为第n个Bernstein算子。

2.2Bézier曲线

2.2.1Bézier曲线的定义

或定义在任意区间[a,b]，即

，

表示n次Bézier曲线，（i=1,2,...,n）表示控制点，其中表示k次Bernstein基函数，k为控制多边形的顶点的序号，，且

2.2.1Bézier曲线的性质

性质1Bézier曲线的递推关系：

性质2端点性质：

（1）Bézier曲线以为起点，以为终点；

（2）Bézier曲线与首末边相切，即

性质3对称性：

将Bézier曲线多边形顺序取反，定义同一条曲线，仅曲线方向取反。

即

性质4凸包性质：

一个点集的凸包被定义为由该点集的元素形成的所有的凸组合的集合。

可以这样来想象确定平面上点集的凸包：

在点集的每一个元素位置上打上钉子，然后用一根封闭的橡皮绳套在所有钉子的外面，橡皮