数学高考真题北京卷理解析版.docx

数学高考真题北京卷理解析版.docx

《数学高考真题北京卷理解析版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学高考真题北京卷理解析版.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学高考真题北京卷理解析版

2018年普通高等学校招生全国统一考试试题

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

（1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则AB=（）

（A）{0，1}（B）{–1，0，1}

（C）{–2，0，1，2}（D）{–1，0，1，2}

（2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）

（A）第一象限（B）第二象限

（C）第三象限（D）第四象限

（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）

（A）（B）

（C）（D）

（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这

个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个

单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第

一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）

（A）（B）

（C）（D）

（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）

（A）1（B）2

（C）3（D）4

（6）设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的（）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，

m变化时，d的最大值为（）

（A）1（B）2

（C）3（D）4

（8）设集合则（）

（A）对任意实数a，（B）对任意实数a，（2，1）

（C）当且仅当a<0时，（2，1）（D）当且仅当时，（2，1）

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．

（10）在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________．

（11）设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的

最小值为__________．

（12）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是__________．

（13）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增

函数”为假命题的一个函数是__________．

（14）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线

与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为

__________；双曲线N的离心率为__________．

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC边上的高．

（16）（本小题14分）

如图，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．

（Ⅰ）求证：

AC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；

（Ⅲ）证明：

直线FG与平面BCD相交．

（17）（本小题12分）

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型

第一类

第二类

第三类

第四类

第五类

第六类

电影部数

140

50

300

200

800

510

好评率

0.4

0.2

0.15

0.25

0.2

0.1

好评率是指：

一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

假设所有电影是否获得好评相互独立．

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．

（18）（本小题13分）

设函数=[]．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；

（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

（19）（本小题14分）

已知抛物线C：

=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点，，，求证：

为定值．

（20）（本小题14分）

设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记M（）=．

（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；

（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：

对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：

对于B中的任意两个不同的元素，

M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．

【参考答案】

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

（1）【答案】A

【解析】先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集.

详解：

因此AB=，选A.

（2）【答案】D

【解析】将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.

详解：

的共轭复数为

对应点为，在第四象限，故选D.

（3）【答案】B

【解析】初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，

详解：

初始化数值

循环结果执行如下：

第一次：

不成立；

第二次：

成立，

循环结束，输出，

故选B.

（4）【答案】D

【解析】根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.

详解：

因为每一个单音与前一个单音频率比为，

所以，

又，则

故选D.

（5）【答案】C

【解析】根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.

详解：

由三视图可得四棱锥，

在四棱锥中，，

由勾股定理可知：

，

则在四棱锥中，直角三角形有：

共三个，

故选C.

（6）【答案】C

【解析】先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.

详解：

，因为a，b均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.

（7）【答案】C

【解析】P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），则根据几何意义得d的最大值为OA+1.

详解：

P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.

（8）【答案】D

【解析】求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.

详解：

若，则且，即若，则，

此命题的逆否命题为：

若，则有，故选D.

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）【答案】

【解析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.

详解：

（10）【答案】

【解析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a.

详解：

因为，

由，得，

由，得，即，即，

因为直线与圆相切，所以

（11）【答案】

【解析】根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得ω，进而确定其最小值.

详解：

因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.

（12）【答案】3

【解析】作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.

详解：

作可行域，如图，则直线过点A（1,2）时，取最小值3.

（13）【答案】y=sinx（答案不唯一）

【解析】举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f（x）>f（0）且（0，2］上是减函数.

详解：

令，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.

又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.

（14）【答案】2

【解析】由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.

详解：

由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为

双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）解：

（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．

由正弦定理得=，∴sinA=．

∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．

（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．

如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，

∴AC边上的高为．

（16）解：

（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵CC1⊥平面ABC，

∴四边形A1ACC1为矩形．

又E，F分别为AC，A1C1的中点，

∴AC⊥EF．

∵AB=BC．

∴AC⊥BE，

∴AC⊥平面BEF．

（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．

又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．

∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．

如图建立空间直角坐称系E-xyz．

由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．

∴，

设平面BCD的法向量为，

∴，∴，

令a=2，则b=-1，c=-4，

∴平面BCD的法向量，

又∵平面CDC1的法向量为，

∴．

由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．

（Ⅲ）平面BCD的法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2），

∴，∴，∴与不垂直，

∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．

（17）解：

（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，

第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．

故所求概率为．

（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，

事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．

故所求概率为P（）=P（）+P（）

=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．

由题意知：

P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．

故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．

（Ⅲ）>>=>>．

（18）解：

（Ⅰ）因为=[]，

所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）

=［ax2–（2a+1）x+2］ex．

f′

（1）=（1–a）e．

由题设知f′

（1）=0，即（1–a）e=0，解得a=1．

此时f

（1）=3e≠0．

所以a的值为1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2