高考数学人教A版理一轮复习配套讲义第2篇 第9讲 函数模型及其应用.docx

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高考数学人教A版理一轮复习配套讲义第2篇第9讲函数模型及其应用

第9讲　函数模型及其应用

[考纲]

1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．

2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.

知识梳理

1．函数模型及其性质比较

（1）几种常见的函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）

二次函数模型

f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）

与指数函数相关模型

f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0）

与对数函数相关模型

f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0）

与幂函数相关模型

f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠0）

（2）三种函数模型性质比较

函数

性质　　

y＝ax（a＞1）

y＝logax（a＞1）

y＝xn（n＞0）

在（0，＋∞）上的单调性

单调增函数

单调增函数

单调增函数

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

2.“f（x）＝x＋

”型函数模型

形如f（x）＝x＋

（a＞0）的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值.

辨析感悟

1．关于函数模型增长特点的理解

（1）函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．（）

（2）“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c（a≠0，b＞0，b≠1）增长速度越来越快的形象比喻．（）

（3）幂函数增长比直线增长更快．（）

2．常见函数模型的应用问题

（4）（2013·长春模拟改编）一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系的图象可以表示为

.（）

（5）（2014·济宁模拟改编）某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈（0,240），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是150台．（）

[感悟·提升]

一个区别　三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在（0，＋∞）上，总会存在一个x0，使x＞x0时，有ax＞xn＞logax（a＞1，n＞0）．如

（1）中当2＜x＜4时，2x＜x2；如

（2）中没强调b＞1；如（3），举例y＝

与y＝x，当x＞1时，y＝

比y＝x增长慢.

考点一　利用图象刻画实际问题

【例1】

（2013·湖北卷，文）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　）．

规律方法抓住两个变量间的变化规律（如增长的快慢、最大、最小等）与函数的性质（如单调性、最值等）、图象（增加、减少的缓急等）相吻合即可．

【训练1】

如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有（　　）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

考点二　二次函数模型

【例2】

（2014·德州一模）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．

（1）分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；

（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：

怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

规律方法二次函数模型的应用比较广泛，解题时，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．

【训练2】

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝

－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．

（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？

最大利润是多少？

考点三　分段函数模型

【例3】

（2014·郴州模拟）某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：

万人）与x的关系近似地满足p（x）＝

x（x＋1）（39－2x）（x∈N*，且x≤12）．已知第x个月的人均消费额q（x）（单位：

元）与x的近似关系是q（x）＝

（1）写出2014年第x个月的旅游人数f（x）（单位：

人）与x的函数关系式；

（2）试问2014年第几个月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？

规律方法

（1）很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．

（2）求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．

1．认真分析题意，合理选择函数模型是解决应用问题的基础．

2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

3．注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．

营养餐

函数实际应用的建模问题

【典例】

（12分）（2012·江苏卷）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－

（1＋k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程．

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？

请说明理由．

（12分）

[反思感悟]

（1）函数模型应用不当是常见的解题错误，所以，正确理解题意，选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础；

（2）本题中有的学生不能把炮弹击中目标转化为关于k的一元二次方程有正根问题，导致失分．

答题模板　解函数应用题的一般程序：

第一步：

审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：

建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步：

求模——求解数学模型，得到数学结论；

第四步：

还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：

反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．

【自主体验】

某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：

服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．

（1）写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；

（2）据进一步测定：

每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．

自助餐

基础巩固题组

一、选择题

1．（2014·日照模拟）下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函

数模型是（　　）.

x

4

5

6

7

8

9

10

y

15

17

19

21

23

25

27

A．一次函数模型B．幂函数模型

C．指数函数模型D．对数函数模型

2．（2014·湖州模拟）物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽

快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（　　）．

3．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为

指数型函数y＝kax，若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约为100h，在5℃的冰箱中，保鲜时间约为80h，那么在10℃时保鲜时间约为（　　）．

A．49hB．56h

C．64hD．72h

4.（2013·安徽名校联考）如图，在平面直角坐标系中，AC平行于x轴，四边形ABCD

是边长为1的正方形，记四边形位于直线x＝t（t＞0）左侧图形的面积为f（t），则f（t）的大致图象是（　　）．

5．（2014·人大附中模拟）某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌车，在A

地的销售利润（单位：

万元）是y1＝13.5－

，在B地的销售利润（单位：

万元）是y2＝

x＋6.2，其中x为销售量（单位：

辆）．若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是（　　）．

A．19.45万元B．22.45万元

C．25.45万元D．28.45万元

二、填空题

6．（2014·临汾一模）某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），

仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是________元．

7．（2013·北京朝阳二模）一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此

外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N*）件．当x≤20时，年销售总收入为（33x－x2）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y（万元）与x（件）的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．（年利润＝年销售总收入－年总投资）

8．有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形（如图所示），则围成场地的最大面积为________（围墙厚度不计）．

三、解答题

9．（2014·宁德一模）有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4，且k∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y＝k·f（x），其中f（x）＝

若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．

（1）若只投放一次k个单位的洗衣液，两分钟时水中洗衣液的浓度为3（克/升），求k的值；

（2）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？

10．（2014·佛山一模）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：

万元）与日产量x（单位：

吨）满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S（单位：

万元）与日产量x的函数关系式S＝

已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.

（1）求k的值；

（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．

能力提升题组

一、选择题

1．（2014·江门质检）我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫做税率x%），则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则