全等三角形证明判定方法分类总结.docx

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全等三角形证明判定方法分类总结

全等三角形

（一）SSS

【知识要点】

1．全等图形定义：

两个能够重合的图形称为全等图形．

2．全等图形的性质：

（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等

（2）全等图形的面积相等

3．全等三角形：

两个能够完全重合的三角形称为全等三角形

（1）表示方法：

两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”如全等，记作≌

（2）符号“≌”的含义：

“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．

（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．

（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

4．全等三角形的判定

（一）：

三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．

如图，在和中

≌

【典型例题】

例1．如图，≌，点B与点D是对应点，，且，，求的度数及的面积．

例2．如图，≌，，求的度数及CF的长．

例3．如图，已知：

AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：

例4．如图AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：

（1）≌

（2）AB//DE，BC//EF

例5．如图，在D、E分别为AC、AB上的点，且BE=BC，DE=DC，求证：

（1）；

（2）BD平分（角平分线的相关证明及性质）

【巩固练习】

1．下面给出四个结论：

①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（）

A、①④B、①②C、②③D、③④

2．如图，≌，且AB和CD是对应边，下面四个结论中

不正确的是（）

A、的面积相等

B、的周长相等

C、

D、AD//BC且AD=BC

3．如图，≌，A和B以及C和D分别是对应点，如果，则的度数为（）

A、B、

C、D、

4．如图，≌，AD=8，BE=2，则AE等于（）

A、6B、5C、4D、3

5．如图，要使≌，则下列条件能满足的是（）

A、AC=BC，AD=CE，BD=BEB、AD=BD，AC=CE，BE=BD

C、DC=EC，AC=BC，BE=ADD、AD=BE，AC=DC，BC=EC

6．如图，≌，点A和点D、点E和点F分别是对应点，则AB=，，AE=，CE=，AB//，若，则DF与BC的关系是．

7．如图，≌，若，，．

8．如图，若AB=AC，BE=CD，AE=AD，则，所以，，．

9．如图，≌，，则下列说法错误的是（）

A、B、

C、D、

10．如图，≌，，求的度数及BC的长．

11．如图，在中，AC=BD，AD=BC，求证：

≌

全等三角形

（一）作业

1．如图，≌，AC=7cm，AB=5cm.，则AD的长是（）

A、7cmB、5cmC、8cmD、无法确定

2．如图，≌，，点B、C、E在同一直线上，则的度数为（）

A、B、C、D、

3．如图，≌，AF=2cm,CF=5cm，则AD=．

4．如图，≌，，求的度数．

5．如图，已知，AB=DE，BC=EF，AF=CD，求证：

AB//CD

6．如图，已知AB=EF，BC=DE，AD=CF，

求证：

①≌

②AB//EF

7．如图，已知AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：

A

B

E

C

D

全等三角形

（二）

【知识要点】

定义：

SAS

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示

如图，在和中，

≌

【典型例题】

【例1】已知：

如图，AB=AC，AD=AE，求证：

BE=CD.

【例2】如图，已知：

点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？

给出证明.

【例3】如图已知：

AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE的度数.

【例4】如图，B，C，D在同一条直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，

求证：

①CE=AC+DC；②∠ECD=60°.

【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。

求证：

BD＋CD=AD。

【巩固练习】

1．在△ABC和△中，若AB=，AC=，还要加一个角的条件，使△ABC≌△，那么你加的条件是（）

A．∠A=∠B.∠B=∠C.∠C=∠D.∠A=∠

2．下列各组条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（）

A．AB=DE，BC=EF；CA=CDB.CA=CD；∠C=∠F；AC=EF

C．CA=CD；∠B=∠ED.AB=DE；BC=EF，两个三角形周长相等

3．阅读理解题：

如图：

已知AC，BD相交于O，OA=OB，OC=OD.

那么△AOD与△BOC全等吗？

请说明理由.△ABC与△BAD全等吗？

请说明理由.

SAS

OA=OB

OD=OC

小明的解答：

△AOD≌△BOC

而△BAD=△AOD+△ADB△ABC=△BOC+△AOB

所以△ABC≌△BAD

（1）你认为小明的解答有无错误；

（2）如有错误给出正确解答；

4．如图，点C是AB中点，CD∥BE，且CD=BE，试探究AD与CE的关系。

5．如图，AE是AB=AC

（1）若D是AE上任意一点，则△ABD≌△ACD，说明理由.

（2）若D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？

请说明理由.

6．如图，已知AB=AC，EB=EC，请说明BD=CD的理由

全等三角形

（二）作业

1．如图，已知AB=AC，AD=AE，BF=CF，求证：

≌。

2．如图，△ABC，△BDF为等腰直角三角形。

求证：

（1）CF=AD；

（2）CE⊥AD。

3．如图，AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于点O，AO的延长线交BC于点F。

求证：

BF=FC。

4．已知：

如图1，AD∥BC，AE=CF，AD=BC，E、F在直线AC上，求证：

DE∥BF。

1

2

D

C

A

B

E

F

D

A

B

Q

C

P

E

5.如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，

求证：

（1）BE=DC，

（2）BE⊥DC.

6、已知，如图A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB//DE，且AB=DE，求证：

（1）△ABC≌△DEF

（2）∠CBF=∠FEC

7、已知:

如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:

BD=CE

8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，

（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？

若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。

9、已知:

如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:

BE∥CF．

10、已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形.求证：

（1）AM=BN

C

N

M

B

A

E

D

F

（2）求∠AFN大小。

11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，求∠AGC的度数.

12、如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.

（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；

（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题

（1）中猜想的结论是否仍然成立？

若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.

全等三角形（三）ASA

【知识要点】

ASA公理：

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

如图，在与中

ASA公理推论（AAS公理）：

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．

【典型例题】

【例1】下列条件不可推得和全等的条件是（）

A、AB=AB，，

B、AB=AB，AC=AC，BC=C

C、AB=AB，AC=AC，

D、AB=AB，，

【例2】已知如图，，求证：

BC=EF

【例3】如图，AB=AC，，求证：

AD=AE

【例4】已知如图，，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？

试证明之．

【例5】如图，，AC=AE，求证：

DE=BC

1

2

A

4

3

B

C

D

E

O

【例6】如图，，AC，BD相交于O，

求证：

①AB=CD②OA=OD

【巩固练习】

1．如图，AB//CD，AF//DE，BE=CF，求证：

AB=CD

2．如图，AD//BC，O为AC中点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，求证：

AM=CN

3．求证：

两个全等三角形ABC与ABC的角平分线AD、AD相等

4．如图，AB，CD相交于O，E，F分别在AD，BC上，若，求证：

A

B

D

C

1

3

2

4

5．如图，AB//CD，AD//BC，求证：

AB=CD

6．已知，如图AB=DB，，求证：

AC=DE

全等三角形（三）作业

1．已知，如图，，求证：

AB=DE

2．如图，已知，求证：

BE=CD

3．已知如图，AB=AD，，求证：

AC=AE

4．已知如图，在中，AD平分，求证：

5．已知如图，，求BD的长（要求写出完整的过程）

6、如图中，∠B＝∠C，D，E，F分别在AB,BC,AC上，且BD=CE,∠DEF=∠B

求证：

ED=EF

7、

（1）如图１，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．

（2）园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？

8、已知：

如图,AD为CE的垂直平分线,EF∥BC.求证：

△EDN≌△CDN≌△EMN．

9、已知：

如图,AB=AC,AD=AE,求证：

△OBD≌△OCE

10、已知：

如图,AB=CD,AD=BC,O为BD中点,过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．求证：

OE=OF

11、如图在△ABC和△DBC中,∠1=∠2,∠3=∠4,P是BC上任意一点．求证：

PA=PD.

12、已知：

如图,四边形ABCD中,AD∥BC,F是AB的中点,DF交CB延长线于E,CE=CD．

求证：

∠ADE=∠EDC．

13、已知：

如图,OA=OE,OB=OF,直线FA与BE交于C,AB和EF交于O,求证：

∠1=∠2．

全等三角形（四）

强化训练

1、如图，△是等边三角形，点、、分别是线段、、上的点，

（1）若，问△是等边三角形吗？