初二数学寒假学案 数据的分析.docx
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初二数学寒假学案数据的分析
数据的分析
第一部分知识梳理
一、数据的代表
1．平均数的概念
（1）平均数：
一般地，如果有n个数
那么，
叫做这n个数的平均数。
（2）加权平均数：
如果n个数中，
出现
次，
出现
次，…，
出现
次（这里
），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为
，这样求得的平均数
叫做加权平均数，其中
叫做权。
2．众数：
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
3．中位数：
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
二、数据的波动
1．方差的概念：
在一组数据
中，各数据与它们的平均数
的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。
通常用“
”表示，即
2．标准差：
方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
第二部分例题与解题思路方法归纳
类型一平均数
【例题1】（2010•宁德）下表是中国2010年上海世博会官方网站公布的5月某一周入园参观人数，则这一周入园参观人数的平均数是 万．
〖选题意图〗本题考查的是样本平均数的求法，熟记公式是解决本题的关键．
〖解题思路〗只要运用平均数公式：
，即可求出．
〖参考答案〗解：
平均数=（36.12+31.14+31.4+34.42+35.26+37.7+38.12）÷7≈34.88（万），
所以这一周入园参观人数的平均数是34.88万．
故填34.88．
【课堂训练题】
1．某酒店共有6名员工，所有员工的工资如下表所示：
（1）酒店所有员工的平均月工资是多少元？
（2）平均月工资能准确反映该酒店员工工资的一般水平吗？
若能，请说明理由．若不能，如何才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平？
谈谈你的看法．
〖参考答案〗解：
（1）平均月工资=（4000+600+900+500+500+400）÷6=1150（元），
（2）∵能达到这个工资水平的只有2人，
∴平均月工资不能准确反映该酒店员工工资的一般水平，这组数据的众数是500元，才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平，原因是它符合多数人的工资水平．
2．某企业招工广告中称，本企业所有员工的平均工资为2000元/月，如果是事实，你愿意受聘于该企业吗？
〖参考答案〗解：
不一定．
因为可能比2000元高的员工的工资的平均工资比全部的平均工资高的多，
比2000元低的员工的工资的平均数比全部的平均数低得多，
那么平均工资为2000元，这个数不能说明大多数员工的工资，
因此不一定去；
如果2000元是中位数，还是能够去的．
【例题2】在“情系玉树献爱心”捐款活动中，某校九
（1）班同学人人拿出自己的零花钱，现将同学们的捐款数整理成统计表，则该班同学平均每人捐款元 ．
捐款数（元）
5
10
20
50
人数
4
15
6
5
〖选题意图〗本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
〖解题思路〗平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
〖参考答案〗解：
（5×4+10×15+20×6+50×5）÷30=18元，
∴该班同学平均每人捐款18元．故填18．
【课堂训练题】
1．某生数学科课堂表现为90分、平时作业为92分、期末考试为85分，若这三项成绩分别按30%、30%、40%的比例计入总评成绩，则该生数学科总评成绩是 分．
〖参考答案〗解：
=90×30%+92×30%+85×40%=27+27.6+34=88.6．
2．为了调查某一路口某时段的汽车流量，记录了15天同一时段通过该路口的汽车辆数，其中有2天是142辆，2天是145辆，6天是156辆，5天是157辆，那么这15天通过该路口汽车平均辆数为（ ）
A．146B．150C．153D．1600
〖参考答案〗解：
依题意有：
（142×2+145×2+6×156+5×157）÷15=153．故选C．
类型二中位数、众数
【例题3】（2010•鸡西）一组数据：
3，4，9，x，它的平均数比它唯一的众数大1，则x= ．
〖选题意图〗本题考查了确定一组数据众数与平均数的能力．正确运用分类讨论的思想是解答本题的关键．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
〖解题思路〗众数可能是3，也可能是4或9，因此应分众数是3或4或9三种情况进行讨论．
〖参考答案〗解：
当众数为3时，（3+4+9+x）÷4=4，则x=0；
当众数为4时，（3+4+9+x）÷4=5，则x=4；
当众数为9时，（3+4+9+x）÷4=10，则x=24．
∴x=0，4或24．
当x=0，24时，没有众数
∴x=4
故答案为4．
【课堂训练题】
1．100名学生进行20秒钟跳绳测试，测试成绩统计如下表：
跳绳个数x
20＜x≤30
30＜x≤40
40＜x≤50
50＜x≤60
60＜x≤70
x＞70
人数
5
2
13
31
23
26
则这次测试成绩的中位数m满足（ ）
A．40＜m≤50B．50＜m≤60C．60＜m≤70D．m＞70
〖参考答案〗解：
∵一共有100名学生参加测试，
∴中位数应该是第50名和第51名成绩的平均数，
∵第50名和第51名的成绩均在50＜x≤60，
∴这次测试成绩的中位数m满足50＜x≤60，
故选B．
2．在“庆祝建党90周年的红歌传唱活动”比寒中，七位评委给某参赛队打的分数为：
92、86、88、87、92、94、86，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩五个分数的平均数和中位数是（ ）
A．89，92B．87，88C．89，88D．88，92
〖参考答案〗解：
根据去掉一个最高分和一个最低分后，所剩五个分数的平均数为：
平均数：
（92+86+88+87+92）÷5=89，故平均数是89；
将数据按从小到大的顺序排列得：
86、87、88、92、92．
最中间的年龄是88，
故中位数是88．故选：
C．
类型三极差、方差和标准差
【例题4】一组数据3，x，0，﹣1，﹣3的平均数是1，则这组数据的极差为 ．
〖选题意图〗本题考查了极差的定义，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
〖解题思路〗根据平均数的定义即可求得x的值，进而得到这组数据的极差．
〖参考答案〗解：
根据题意得：
3+x+0﹣1﹣3=1×5，解得x=6．
则这组数的极差是6﹣（﹣3）=9．
【课堂训练题】
1．“恒盛”超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30kg，售货员任选6袋进行了称重检验，超过标准重量的记作“+”，不足标准重量的记作“﹣”，他记录的结果是+0.5，﹣0.5，0，﹣0.5，﹣0.5，+1，那么这6袋大米重量的平均数和极差分别是（ ）
A．0，1.5B．29.5，1C．30，1.5D．30.5，0
〖参考答案〗解：
平均数：
30+（0.5﹣0.5+0﹣0.5﹣0.5+1）÷6=30（kg），
极差：
（30+1）﹣（30﹣0.5）=1.5（kg），故选：
C．
2．一组数据为1，5，3，4，5，6，这组数据的极差、众数、中位数分别为（ ）
A．5，4，5B．5，5，4.5C．5，5，4D．5，3，2
〖参考答案〗解：
先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：
1，3，4，5，5，6．
位于最中间的数是4和5，
∴这组数的中位数是4.5．
这组数出现次数最多的是5，
∴这组数的众数是5
极差为：
6﹣1=5．
故选B．
【例题5】博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动．这两位活动同学最近四次的数学测验成绩如下表：
（单位：
分）
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
75
70
85
90
乙
85
82
75
78
（1）根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分．
（2）经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为S甲2=62.5，S乙2=14.5，你认为哪位同学的成绩较稳定？
请说明理由．
〖选题意图〗本题考查了方差、平均数，方差的意义：
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
〖解题思路〗
（1）由平均数的公式计算即可；
（2）方差越小，成绩越稳定，反之，方差越大，成绩越不稳定．
〖参考答案〗解：
（1）
甲=
（75+70+85+90）=80，
乙=
（75+78+85+82）=80，
（2）∵S甲2=62.5，S乙2=14.5，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩稳定，因为甲的方差大于乙的方差．
【课堂训练题】
1．王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%．现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示．
（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；
（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？
〖参考答案〗解：
（1）
（千克），
（千克），
总产量为40×100×98%×2=7840（千克）；
（2）
（千克2），
（千克2），
∴S2甲＞S2乙．
答：
乙山上的杨梅产量较稳定．
2．一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：
（单位：
分）
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：
标准分=（个人成绩一平均成绩）÷成绩标准差．
从标准分看，标准分大的考试成绩更好．请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
友情提示：
一组数据的标准差计算公式是:
S=
，其中
为n个数据x1，x2，…xnr的平均数．
〖参考答案〗解：
（1）数学考试成绩的平均分
数学=
（71+72+69+68+70）=70
英语考试成绩的标准差
S英语=
=6
（2）设A同学数学考试成绩标准分为P数学，英语考试成绩标准分为P英语，
则P数学=（71﹣70）+
=﹣
；
P英语=（88﹣85）÷6=
；
∵P数学＞P英语∴从标准分来看，A同学数学比英语考得更好．
类型四统计量的选择
【例题6】甲、乙两名运动员在6次百米跑训练中的成绩如下表：
（单位：
秒）
请你比较这两组数据的众数、平均数、中位数，并利用这些数据对甲、乙两名运动员进行评价？
〖选题意图〗本题考查了平均数，中位数，众数的意义．平均水平的判断主要分析平均成绩，优秀成绩的判断从中位数不同可以得到，众数比较整体成绩．
〖解题思路〗平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
〖参考答案〗解：
甲：
数据10.8出现2次，次数最多，所以众数是10.8；
平均数=（10.8+10.9+11.0+10.7+11.2+10.8）÷6=10.9；
中位数=（10.8+10.9）÷2=10.85；
乙：
数据10.9出现3次，次数最多，所以众数为10.9；
平均数=（10.9+10.9+10.8+10.8+10.5+10.9）÷6=10.8；
中位数=（10.8+10.9）÷2=10.85；
所以从众数上
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