专题12 相交线与平行线精讲精练解析版北师大版.docx

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专题12相交线与平行线精讲精练解析版北师大版

2019-2020学年七年级下学期期末考试高分直通车（北师大版）

专题1.2相交线与平行线

【目标导航】

【知识梳理】

1.对顶角与邻补角

（1）对顶角：

有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．对顶角的性质：

对顶角相等．

（2）邻补角：

只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．邻补角的性质：

邻补角互补，即和为180°

2.垂线及其性质：

（1）在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（2）垂线段：

从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．

（3）垂线段的性质：

垂线段最短．

3.同位角、内错角、同旁内角

三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．

4.平行线的判定：

（1）定理1：

两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：

同位角相等，两直线平行．

（2）定理2：

两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：

内错角相等，两直线平行．

 （3 ）定理3：

两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：

同旁内角互补，两直线平行．

（4）定理4：

两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．

（5）定理5：

在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．

5.平行线性质定理

定理1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：

两直线平行，同位角相等．

定理2：

两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：

两直线平行，同旁内角互补．

定理3：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：

两直线平行，内错角相等．

6.平行线的性质与判定综合题解题方法：

（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．

（3）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．

【典例剖析】

【考点1】余角和补角

【例1】（2019秋•五峰县期末）

（1）如图1，∠AOD﹣∠AOC＝　　．

（2）如图2，∠AOC与∠BOD均为直角，当∠BOC＝64°时，求∠COD、∠AOD的度数．

【分析】

（1）根据角的和差关系即可求解；

（2）根据直角的定义和角的和差关系即可求解．

【解析】

（1）如图1，∠AOD﹣∠AOC＝∠COD；

（2）∵∠BOD＝90°，∠BOC＝64°，

∴∠COD＝90°﹣64°＝26°，

∵∠AOC＝90°，

∴∠AOD＝64°，∠COD＝26°，∠AOD＝64°．

故答案为：

∠COD．

【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握：

如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．

【变式1-1】（2019秋•天心区校级期末）如图，已知∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，OE、OF分别为∠AOB和∠COD的角平分线，如果∠AOD＝130°，

（1）求∠BOC的度数；

（2）求∠EOF的度数．

【分析】

（1）根据∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，可得∠AOB+∠BOC＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，再根据∠AOD＝130°，即可得出∠BOC的度数；

（2）根据互为余角的两个角的和等于90°求出∠AOB、∠COD的度数，再根据角平分线的定义以及角的和差关系即可得解．

【解析】∵∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，

∴∠AOB+∠BOC＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，

∴（∠AOB+∠BOC）+（∠COD+∠BOC）＝180°，

∴∠BOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣130°＝50°；

（2）解：

∵∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角，∠BOC＝50°，

∴∠AOB＝90°﹣50°＝40°，∠COD＝90°﹣50°＝40°，

∵OE、OF分别是∠AOB、∠COD的平分线，

∴∠AOE

∠AOB

40°＝20°，

∠DOF

∠COD

40°＝20°，

∴∠EOF＝∠AOD﹣∠AOE﹣∠DOF＝130°﹣20°﹣20°＝90°．

【点睛】本题考查了余角的定义，角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

【变式1-2】（2019秋•肇庆期末）若∠A与∠B互为余角，∠A＝30°，则∠B的补角是（　　）

A．60°B．120°C．30°D．150°

【分析】根据余角、补角的定义计算．

【解析】∠A与∠B互为余角，∠A＝30°，

则∠B＝60°；

则∠B的补角＝120°．

故选：

B．

【点睛】本题考查补角、余角的定义：

如果两个角的和为180°，则这两个角互为补角，如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角．

【变式1-3】（2019秋•崇川区校级期末）如图，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB：

∠AOD＝2：

11．求∠AOB、∠BOC的度数．

【分析】由∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD知∠AOB＝∠COD，设∠AOB＝2α，则∠AOD＝7α，故∠AOB+∠BOC＝5α＝90°，解得α．再根据余角的定义即可得出∠BOC的度数．

【解析】∵∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD，

∴∠AOB＝∠COD，

设∠AOB＝2α，

∵∠AOB：

∠AOD＝2：

11，

∴∠AOB+∠BOC＝9α＝90°，

解得α＝10°，

∴∠AOB＝20°．

∠BOC＝90°﹣∠AOB＝70°．

【点睛】此题主要考查了角的计算以及余角和补角，正确表示出各角度数是解题关键．

【考点2】对顶角与邻补角

【例2】（2019秋•定州市期末）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠AOD＝105°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE：

∠EOC＝2：

3．

（1）求∠AOE的度数；

（2）若OF是∠BOE的平分线，那么OB是∠DOF的平分线吗？

请说明理由．

【分析】

（1）根据邻补角的定义求出∠AOC的度数，设∠AOE＝2x，根据题意列出方程，解方程即可；

（2）根据角平分线的定义求出∠BOF的度数即可．

【解析】

（1）∵∠AOE：

∠EOC＝2：

3．

设∠AOE＝2x，则∠EOC＝3x，∠AOC＝5x，

由∠AOD＝105°可得∠AOC＝75°，

即5x＝75°，

解得：

x＝15°，

则2x＝30°，

即∠AOE＝30°；

（2）OB是∠DOF的平分线；

理由如下：

∵∠AOE＝30°，

∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，

而OF平分∠BOE，

∴∠BOF

∠BOE＝75°，

∵∠AOD＝105°，

∴∠BOD＝75°，

∴∠BOD＝∠BOF，

即OB是∠COF的角平分线．

【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．

【变式2-1】（2019秋•宜宾期末）如图所示，直线AB与CD相交于O点，∠1＝∠2，若∠AOE＝138°，则∠AOC的度数为（　　）

A．45°B．90°C．84°D．100°

【分析】由于∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝138°，易求∠2＝42°，而∠1＝∠2，那么∠BOD＝84°，再利用对顶角性质可求∠AOC．

【解析】∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝138°，

∴∠2＝42°，

∵∠1＝∠2，

∴∠BOD＝2∠2＝84°，

∴∠AOC＝∠BOD＝84°．

故选：

C．

【点睛】本题主要考查的是对顶角和邻补角的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．

【变式2-2】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝90°，则∠EOC和∠AOD的关系（　　）

A．相等B．互补

C．互余D．以上三种都有可能

【分析】直接利用对顶角的性质结合互余的定义得出答案．

【解析】∵∠AOE＝90°，

∴∠EOB＝90°，

∴∠EOC+∠COB＝90°，

∵∠BOC＝∠AOD，

即∠EOC和∠AOD互余．

故选：

C．

【点睛】此题主要考查了余角的定义以及对顶角的性质，正确得出∠EOC+∠AOD＝90°是解题关键．

【变式2-3】（2019秋•海口期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，则∠DOE等于（　　）

A．66°B．76°C．90°D．144°

【分析】根据条件∠AOE＝2∠AOC、对顶角相等和补角的定义可得答案．

【解析】如图，∠1＝∠AOC＝38°．

∵∠AOE＝2∠AOC，

∴∠AOE＝76°．

∴∠DOE＝180°﹣∠AOC﹣∠AOE＝180°﹣38°﹣76°＝66°．

故选：

A．

【点睛】此题主要考查了邻补角和对顶角，关键是掌握对顶角相等．

【变式2-4】（2019秋•姑苏区期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠COB，OF是∠EOD的角平分线．

（1）说明：

∠AOD＝2∠COE；

（2）若∠AOC＝50°，求∠EOF的度数；

（3）若∠BOF＝15°，求∠AOC的度数．

【分析】

（1）利用角平分线、对顶角的性质，可得结论；

（2）根据∠AOC＝50°，根据互补、角平分线的意义可求出答案；

（3）设未知数，利用角平分线的意义，分别表示∠DOF，∠EOB，∠COB，再根据平角的意义求出结果即可．

【解析】

（1）∵OE平分∠COB，

∴∠COE

∠COB，

∵∠AOD＝∠COB，

∴∠AOD＝2∠COE；

（2）∵∠AOC＝50°，

∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，

∴∠EOC

∠BOC＝65°，

∴∠DOE＝180°﹣∠EOC＝180°﹣65°＝115°，

∵OF平分∠DOE，

∴∠EOF

∠DOC＝57.5°；

（3）设∠AOC＝∠BOD＝α，则∠DOF＝α+15°，

∴∠EOF＝∠DOF＝α+15°，

∴∠EOB＝∠EOF+∠BOF＝α+30°，

∴∠COB＝2∠EOB＝2α+60°，

而∠COB+∠BOD＝180°，即，3α+60°＝180°，

解得，α＝40°，

即，∠AOC＝40°．

【点睛】考查角平分线、互为补角的意义，掌握找出各个角之间的关系是正确解答的关键．

【考点3】同位角、内错角、同旁内角

【例3】（2019秋•张家港市期末）如图，给出下列说法：

①∠B和∠1是同位角；②∠1和∠3是对顶角；③∠2和∠4是内错角；④∠A和∠BCD是同旁内角．其中说法正确的有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【分析】根据对顶角，内错角以及同旁内角的定义作答．

【解析】如图所示，①∠B和∠1是同旁内角，故说法错误；

②∠1和∠3不是对顶角，故说法错误；

③∠2和∠4是内错角，故说法正确；

④∠A和∠BCD不是同旁内角，故说法错误．

综上所述，说法正确的结论有1个．

故选：

B．

【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

【变式3-1】（2019秋•叙州区期末）如图，下列结论中错误的是（　　）

A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠