七年级下册数学第五章 相交线与平行线 导学案.docx

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七年级下册数学第五章相交线与平行线导学案

第五章相交线与平行线

5.1相交线

5.1.1相交线

1.了解对顶角与邻补角的概念，能从图中辨认对顶角与邻补角.

2.掌握“对顶角相等”，并会简单应用.

自学指导：

阅读教材第2至3页，完成下列问题.

知识探究

1.平面上不重合的两条直线之间的位置关系为相交或平行.

2.两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线，性质是对顶角相等.

3.一个角是52°，那么这个角的补角是128度，余角是38度.

4.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有（A）

A.1个B.2个C.3个D.4个

1.邻补角既是邻角又是补角，也就是说这两个角既要在数量上满足和为180°，在位置上还必须满足是相邻的关系.

2.对顶角的判断方法是：

两个角有公共点；两个角的边互为反向延长线，即只有当两条直线相交时才会出现对顶角.

5.如图,直线AB、CD、EF相交于点O,∠BOE的对顶角是∠AOF,∠COF的邻补角是∠DOF或∠COE.若∠AOC∶∠AOE=2∶3,∠EOD=130°,则∠BOC=160°.

自学反馈

1.下列说法正确的有（B）

①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.∠A与∠B互补，如果∠A=36°，那么∠B的度数为144度.

3.如图，有2对对顶角.

活动1

幻灯片出示问题

找出图中的相交线、平行线.

在本次活动中，教师应重点关注：

（1）学生从简单的具体实物中抽象出相交线、平行线的能力.

（2）学生认识到相交线、平行线在日常生活中有着广泛的应用.

（3）学生学习数学的兴趣.

活动2

幻灯片出示问题

（1）看见一把张开的剪刀，你能联想到什么样的几何图形？

（2）观察这些角有什么位置关系.

（3）下列语句中正确的是（D）

A.相等的角是对顶角

B.有公共顶点且相等的角是对顶角

C.有公共顶点的两个角是对顶角

D.角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角

活动3跟踪训练

1.直线a、b相交，∠1=50°，求∠2、∠3、∠4的度数.

解：

由邻补角的定义，可得∠2=180°-∠1=180°-50°=130°

由对顶角相等，可得∠3=∠1=50°,∠4=∠2=130°.

2.见上图，∠1等于90°时，∠2、∠3、∠4等于多少度？

解:

∠2=∠3=∠4=90°.

3.如图是一个对顶角量角器，你能说明它度量角度的原理吗？

解：

对顶角相等.

4.如图，直线AB、CD相交于点O.

（1）若∠AOC+∠BOD=100°，求各角的度数；

（2）若∠BOC比∠AOC的2倍多33°，求各角的度数.

解：

（1）由对顶角相等且∠AOC+∠BOD=100°可得∠AOC=∠BOD=50°，

由邻补角的定义可得∠AOD=∠BOC=130°；

（2）∠BOC比∠AOC的2倍多33°，则∠BOC-2∠AOC=33°且∠BOC+∠AOC=180°.

所以分别是∠AOC=∠BOD=49°，∠AOD=∠BOC=131°.

5.如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1=15°，∠AOD=90°，求∠2的度数.

解：

∠2=∠AOD-∠3=90°-15°=75°.

5.1.2垂线

1.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.

2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.

3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.

自学指导：

阅读教材第3至6页,完成下列问题.

知识探究

1.当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

2.如图，直线AB、CD互相垂直，记作AB⊥CD，垂足为点O.

3.经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即

性质1过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

4.如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O、A、B、C…,其中PO⊥l（我们称PO为点P到直线l的垂线段）.比较线段PO、PA、PB、PC…的长短，这些线段中，PO最短.

性质2连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：

垂线段最短.

5.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.如上图，PO的长度叫做点P到直线l的距离.

自学反馈

1.下面四种判断两条直线垂直的方法中正确的有A.

（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直.

（2）两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直.

（3）两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直.

（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直.

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则m⊥n.

3.若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD＝90°.

4.如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝72°,∠BOC的补角为162°.

5.过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（C）

6.已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画（D）

A.1条B.2条C.3条D.无数条

7.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,线段AC、BC、CD中最短的是（C）

A.ACB.BCC.CDD.不能确定

活动1垂线的定义

（1）教师利用多媒体演示,学生观察思考:

固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a、b所成的角α是如何变化的?

其中会有特殊情况出现吗?

当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?

当b的位置变化时,∠α从锐角逐渐变为钝角,其中∠α是直角是特殊情况，其特殊之处在于:

当∠α是直角时,它的邻补角、对顶角都是直角,即a、b所成的四个角都是直角,都相等.

（2）师生共同给出垂直的定义及垂直的表示方法.

1.垂直的定义：

当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.

如图，a、b互相垂直,O是垂足，a是b的垂线，b也是a的垂线.

从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：

只要找到两条直线相交时四个夹角中的一个角是直角.

2.垂直的表示：

用“⊥”和直线字母表示垂直.如上图，a、b互相垂直,垂足为点O，则记为a⊥b或b⊥a.

若要强调垂足，则记为a⊥b,垂足为点O.

活动2动手操作画垂线

例1过B点画已知直线的垂线.

解：

如图所示.

1.过直线上一点，画这条直线的垂线的步骤：

（1）把三角尺的一条直角边与已知直线重合；

（2）沿直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知点重合；

（3）从直角顶点起沿三角尺的另一条直角边画一条直线；

（4）拿走三角尺，在垂足处标出垂直符号.

2.过直线外一点，画这条直线的垂线的步骤：

（1）把三角尺的一条直角边与已知直线重合；

（2）沿直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外一点；

（3）沿三角尺的另一条直角边画一条直线；

（4）拿走三角尺，在垂足处标出垂直符号.

活动3小组讨论

例2如图，在河岸l的同侧有一村庄A和自来水厂B.现要在河岸l上建立一抽水站D，将河中的水输送到自来水厂后，再送往A村，为了节省资金，所铺设的水管应尽可能的短.问抽水站D应建在何处，应沿怎样的路线来铺设水管?

在图中画出来.

解：

如图所示，过点B画l的垂线，则垂足D为抽水站的位置.连接AB.沿D-B-A的路线铺设水管，可使所用的水管最短.

要使水管最短，则抽水站与自来水厂间的路程应最短，自来水厂与A村的路程应最短.需要运用“垂线段最短”和“两点间线段最短”的数学原理.

活动4跟踪训练

1.如图，计划把池中的水引到C处，可过点C作CD⊥AB于点D，然后沿CD开渠，可使所开的渠道最短.这种设计的依据是垂线段最短.

2.如图，OD⊥BC，垂足为点D，BD=6cm，OD=8cm，OB=10cm，那么点B到OD的距离是6cm，点O到BC的距离是8cm，O、B两点之间的距离是10cm.

3.如图1，307国道a上有一出口M，现想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道长最短，应沿怎样的线路施工?

由垂线段最短知，可过点M作b的垂线，垂足为N，则MN即为所求.

解：

如图2，过点M作MN⊥b，垂足为N，则欲使通道最短，应沿线路MN施工.

活动5课堂小结

5.1.3同位角、内错角、同旁内角

1.能说出同位角、内错角和同旁内角的意义.

2.会识别图形（包括变式图形和比较复杂的图形）中的同位角、内错角和同旁内角.

图1自学指导:

阅读教材第6至7页，完成下列各题.

知识探究

如图1，直线AB、CD与EF相交，构成8个角，其中∠1与∠5是同位角，∠3与∠5是内错角，∠4与∠5是同旁内角.

自学反馈

1.如图2，直线AB、CD被直线AC所截，图2所产生的内错角是∠1与∠4.

2.如图2，直线AD、BC被直线DC所截，产生了同旁内角，它们是∠D与∠DCB.

3.找出图3中所有的同位角、内错角及同旁内角.

活动1认识同位角

例已知，两条直线AB、CD，画出第三条直线EF与它们相交，请把构成的角表示出来，并完成下列问题.

问题1：

如图，怎样描述直线AB、CD和EF的位置关系？

引导学生说出“直线AB、CD和EF相交”或者“两条直线AB、CD被第三条直线EF所截”.

问题2：

观察∠1与∠2、∠3与∠4与截线、被截直线有哪些位置关系？

问题3：

具有这种位置关系的角还有哪些？

引导学生观察∠1与∠2，得出这两个角分别在直线AB、CD的同一方（上方），并且都在直线EF的同一侧（右侧），这是“同位角”的本质属性.然后，可以用“位置相同”来描述这种位置关系，给出“同位角”的描述性定义.

解：

（1）两条直线AB、CD与第三条直线EF相交，也可以说被第三条直线EF所截，EF叫做截线，AB、CD叫做被截直线.

（2）两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，∠1与∠2、∠3与∠4分别是位于截线的同一侧、被截直线的同一方的角，称为同位角.

（3）图中∠6与∠5、∠7与∠8都是同位角.

变式图形：

图4中的∠1与∠2都是同位角.

图形特征：

在形如字母“F”的图形中有同位角.

活动2认识内错角

问题1：

观察∠2、∠7与截线、被截直线有哪些位置关系？

问题2：

具有这种位置关系的角还有哪些？

引导学生类比同位角的叙述形式进行回答.

解：

（1）图中∠2与∠7都在直线AB、CD内侧，并且分别在直线EF两侧（∠2在直线EF右侧，∠7在直线EF左侧），具有这种位置关系的一对角叫做内错角.

（2）∠4与∠5是一对内错角.

变式图形：

图5中的∠1与∠2都是内错角.

图形特征：

在形如“Z”的图形中有内错角.

活动3认识同旁内角

问题1：

观察∠2、∠5与截线、被截直线有哪些位置关系？

问题2：

具有这种位置关系的角还有哪些？

解：

（1）图中∠2和∠5也在直线AB、CD内侧，但它们都在直线EF的右侧，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.

（2）在图中，具有类似的位置关系的还有∠4与∠7，因此它们也