湖南省五市十校教研教改共同体届高三联考数学理试题Word版含答案.docx

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湖南省五市十校教研教改共同体届高三联考数学理试题Word版含答案

湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A．B．C．D．

2.已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（）

A．1B．C．D．

3.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（）

A．B．C．D．

4.世界数学名题“问题”：

任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：

反复进行上述运算后，最后结果为1.现根据此问题设计一个程序框图如图所示.执行该程序框图，输入的，则输出（）

A．3B．5C．6D．7

5.已知是等比数列的前项和，成等差数列，若，则为（）

A．3B．6C.8D．9

6.若实数满足不等式组，若目标函数的最大值为1，则实数的值是（）

A．B．1C.D．3

7.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）

A．B．C.D．

8.设双曲线的右焦点为，点在双曲线上，是坐标原点，若四边行为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（）

A．B．2C.D．

9.将余弦函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若关于的方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（）

A．B．C.D．

10.已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为2的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）

A．B．C.D．

11.定义在实数集上的函数，满足，当时，，则函数的零点个数为（）

A．31B．32C.63D．64

12.在中，，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，（）

A．B．C.D．24

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.的展开式中的系数为．

14．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面.

①若，则；

②如果，则；

③若，且，则；

④若不平行，则与不可能垂直于同一平面.

其中为真命题的是．

15．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（其中点在第一象限），若，则直线的斜率为．

16．设数列的前项积是，且，.若，则数列的前项和为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知向量，且函数.

（1）若，求的值；

（2）在中，且，求面积的最大值.

18.如图，四边形与均为菱形，，且.

（1）求证：

平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19.“一带一路”近年来成为了百姓耳熟能详的热门词汇，对于旅游业来说，“一带一路”战略的提出，让“丝路之旅”超越了旅游产品、旅游线路的简单范畴，赋予了旅游促进跨区域融合的新理念.而其带来的设施互通、经济合作、人员往来、文化交融更是将为相关区域旅游发展带来巨大的发展机遇.为此，旅游企业们积极拓展相关线路；各地旅游主管部门也在大力打造丝路特色旅游品牌和服务.某市旅游局为了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点10天的游客数，统计得到茎叶图如下：

（1）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据，以每天游客人数频率作为概率.今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过130人的天数为，求概率；

（2）现从上图20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于125且不高于135人的天数为，求的分布列和数学期望.

20.已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆相交于两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？

若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.

21.已知函数.

（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（2）若函数在定义域上为单调增函数.

①求最大整数值；

②证明：

.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4:

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.

（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.

23.选修4-5:

不等式选讲

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）证明：

对于任意的，都有成立.

湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考

数学（理）试题答案

一、选择题

1-5:

AADCB6-10:

BDCAB11、12：

BD

二、填空题

13.414.②④15.16.

三、解答题

17.

（1）由题意知，，

∴，∴.

（2）由题意知，，

∴，又，∴.

在中，.

∴，当且仅当时“”成立，

故的面积的最大值为.

18.

（1）设与相交于点，连接，

∵四边形为菱形，∴，且为中点，

∵，∴,

又，∴平面.

（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，

∵为中点，∴，又，∴平面.

∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，∵四边形为菱形，，∴.

∵为等边三角形，∴.

∴，

∴.

设平面的法向量为，则，

取，得.

设直线与平面所成角为，

则.

19.

（1）由题意知，景点甲的每一天的游客数超过130人的概率为.

任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有次发生，

则随机变量服从二项分布，

∴

.

（2）从图中看出，景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天，所以在景点甲中被选出的概率为，在景点乙中被选出的概率为.

由题意知的所有可能的取值为0、1、2，

则；；

.

∴的分布列为

∴.

20.

（1）由题意知，，解得，

则椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设直线,

联立，得，

∴.

假设轴上存在定点，使得为定值，

∴

.

要使为定值，则的值与无关，∴，

解得，此时为定值，定点为.

当直线的斜率不存在时，也满足条件.

21.

（1）当时，，∴，

又，∴，

则所求切线方程为，即.

（2）由题意知，/（x）=，一ln（x+a）•

若函数在定义域上为单调增函数，则/恒成立.

①先证明.设，则，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

∴，即.

同理可证，∴,∴.

当时，恒成立.

当时，，即不恒成立.

综上所述，的最大整数值为2.

②由①知，，令，

∴，∴.

由此可知，当时，.当时，，

当时，，，当时，.

累加得.

又，

∴.

22.

（1）直线的参数方程为（为参数）.

∵，∴，∴，即，

故曲线的直角坐标方程为.

（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，

显然,∴,∴，

，

∴.

23.

（1）∵，∴.

当时，不等式可化为，解得，∴；

当,不等式可化为，解得，无解；

当时，不等式可化为，解得，∴.

综上所述，或.

（2）∵，

要证成立，只需证，

即证，即证,即证.

由

（1）知，或，∵，∴，

∴成立.

综上所述，对于任意的都有成立.