二次型及其应用.docx
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二次型及其应用
探※※※※※※※※
学生毕业论文
课题名称
二次型及其应用
姓名
兰海峰
学号
1209401-23
学院
数学与计算科学学院
专业
数学与应用数学
指导教师
陈暑波副教授
2016年3月15日
湖南城市学院本科毕业设计（论文）诚信声明
本人郑重声明：
所呈交的本科毕业设计（论文），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
本科毕业设计（论文）作者签名：
二O—六年六月日
摘要1
关键词1
Abstract1
Keywords1
1.二次型基本理论2
1.1二次型的矩阵表示2
1.2矩阵的合同关系2
1.3二次型的标准型、规范型及其性质3
1.4正定二次型及其性质3
2.二次型的实例应用5
2.1二次型在初等数学中的应用5
2.1.1二次型与因式分解5
2.1.2二次型与不等式的证明7
2.1.3二次型在曲线上的应用7
2.1.4求解多元二次函数最值9
2.1.5二次型与条件极值12
2.2二次型在高等数学中的应用13
2.2.1二次型在曲面上的应用13
2.2.2二次型在最小二乘法上的应用14
参考文献17
致谢17
附录18
二次型及其应用
摘要：
二次型是代数学中的重要内容，它将二次函数与矩阵直观地联系起来，通过矩阵的
表达与计算简化了研究二次函数性质的过程。
然而，在本科阶段中对二次型的学习要求并不多。
因此本课题通过研究利用二次型的各项性质解决在因式分解、不等式的证明、二元及多元二次函数的极值和最值等方面的判定和求法，以及部分曲线或曲面积分等情形的问题，扩充二次型在初等数学和高等数学中的使用范围，并使本科生能全面地认识和使用二次型。
关键词：
二次型；正定矩阵；正交变换；多元二次函数；曲面积分
QuadraticFormandItsApplications
Abstract：
Quadraticformisanimportantcontentinalgebra,itconnectsquadraticfunctionwiththematrixintuitively,andmaketheprocesstoresearchthepropertiesofthequadraticfunctionseasierbyusingmatrix.However,intheundergraduatestudies,learningrequirementsforquadraticformisnotmany.Thus,thisprojectresearchesallthepropertiesofquadraticforminordertosolvethequestionsaboutfactorization,theproofofinequality,theextremumofthebinaryandmultivariatequadraticfunctionandapartofcurveandcurvedsurfaceintegral.Expandthequadraticformusingscopeofelementarymathematicsandhighermathematics,andmakeundergraduatesunderstandandusequadraticformthoroughlyatthesametime.
KeyWords：
QuadraticForm；PositiveDefiniteMatrix；OrthogonalTransformation;Multivariate
QuadraticFunction;CurvedSurfaceIntegral
1二次型基本理论
二次型理论与高等代数理论、方法及其应用有着相辅相成的关系——二次型与多项式的相互表示、二次型矩阵的性质以及正定（半正定）二次型关于矩阵特征值等等。
在此，我们详细说明二次型的一些重要理论。
1.1二次型的矩阵表示
二次型是满足特殊条件的多项式的集合，矩阵是代数学的基础，应用于各个分支。
使用矩阵来表示二次型，将会极大程度的简化二次型函数的表达式和其运算。
根据二次型的定义，将其表示为
nn
f（x1,x2,,xn）
i
aijxixj
1j1
（1.1）
a11a12
a1n
把等式右边的系数转化为矩阵，即Aa21a22
a2n
。
an1an2
ann
所以二次型（1.1）的矩阵表示为
f（x1,x2,,xn）XAX
其中A是表示其系数的对称矩阵，Xx1,x2,,xn。
1.2二次型与矩阵的合同关系
定义1.1⑴设数域P上nn的矩阵A和B，如果有同数域上的可逆的nn矩阵C,使得BCAC，则称A和B是合同的，即A与B是合同关系。
显然，要使新二次型的矩阵还原至原二次型矩阵，只需再令YC-1X，而后做线性替换即可。
所以，要了解或是使用原二次型的性质，可通过研究变换后的二次型的性质来实现。
1.3二次型的标准型、规范型及其性质
定义1.2[1]二次型f（x1,x2,,xn）经过非退化的线性的替换而成的平方和
f（X1,X2,,Xn）
g（y1,y2,
yn）
22
a1y1a2y2
2anyn
（1.4）
称为f（Xj,X2，,Xn）的一个标准型。
a1
0
0
匕时，二次型的系数矩阵应为
0
A
a2
0
。
0
0
an
根据二次型的标准型（1.4），再作一次对应的非退化线性替换可得
222g（y1,y2,yn）h（z1,z2,zn）z1z2zn（1.6）
（1.6）式即为复二次型f（x1,x2,,xn）的规范型，其中zi（i1,2n）属于复数域。
同理，将实数域中的二次型标准型的系数取绝对值开方后加符号，可以得到定理1.1[1]（惯性定理）任一个实数域上的二次型，可以经过一系列非退化线性替换变为唯一的规范型，即
2222
g（y1,y2,yn）h（z1,z2,zr）z1zpzp1zr
另外，在实数域二次型f（x1,x2,,xn）的规范型中，我们将正平方项的个数p称为f（Xi，X2，,Xn）的正惯性指数，而将其负平方项的个数rp称为f（X「X2，,Xn）的负惯性指数；它们的差p（rp）2pr称为f（X!
X2,x）的符号差。
1.4正定二次型及其性质正定二次型是实数域二次型中特殊的集合，它们有着非常重要的性质。
在初等数学和高等数学中，灵活运用正定二次型的性质可以让问题简化处理。
定义1.3[1]如果对于任一组不全为零的实数5C2，Cn都可使实数域二次型f（XpX2，,Xn）满足f（Ci，C2，,Cn）0，贝吐匕二次型称为正定的。
矩阵A称为正定矩阵，当且仅当二次型XAX正定时成立。
对比正定性的定义，二次型的负定性、半定型与不定性有着类似的定义。
这里给出
正定二次型的一个特别的判断定理：
定理1.2[1]实数域二次型
nn
f（x1,x2,
xn）aijxixjXAX
i1j1
是正定的充分必要条件为A的顺序主子式全大于零
关于半正定性（半负定性即在函数式添加负号，为简便故只讨论一种情况）的判定，直接给出如下结论：
定理1.3[1]对于实数域的二次型f^M,,Xn）XAX，其中A是对称的实数域矩阵，则下述条件等价：
（1）f（x1,x2,,xn）的正惯性指数与秩相等，
（2）f（x「X2，x）的正惯性指数为r,rn,其符号差也为r,
222
（3）f（Xi,X2,,xn）的规范型为yiy2，
（4）存在实数域矩阵D，使得ADD，
（5）矩阵A的所有主子式大于或等于零（主子式为行指标与列指标相同的子式）。
（6）有可逆的实数域矩阵C，使
d1
d2
CAC2，
dn
其中di0，i1,2,,n。
需要注意的是，对于第（5）条，只判断顺序主子式的性质并不能确保半正定性。
例如
00X12
f（X1,X2）（X1,X2）（01）（X12）X22
就是负定的
2二次型的应用实例
二次型基于函数与矩阵的关系，能有效的解决函数、矩阵方面的问题。
因此，拓
广二次型在初等数学和高等数学中的使用方式，能有效得体现出二次型的各项特性，并为充分认识和使用二次型形成了条件。
2.1二次型在初等数学中的应用
在初等数学中，函数的地位举足轻重。
因此，讨论二次型在初等数学中关于函数的作用,既是对二次型的使用范围进行扩充、对其使用方式进行变通，同时也为解题思路提供了更多的方向。
2.1.1二次型与因式分解
因式分解，即把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式的过程。
对二次型而
言，其函数表达式最高为二次，因此在讨论因式分解时，其多项式次数大于三均不考虑。
现假设有二元函数表达式为
原二次型的规范型，而矩阵A应合同于规范型的矩阵B。
现设出矩阵
a700
B0a80,g（x1,x2,x3）是通过非退化线性变换得到hy1,y2,y3,故对函数
00a9
h%,y2，y3a?
%2a^2agy?
2而言，只需对应替换变量即可变换回
.,222__g（Xi,X2,X3）。
这就是说，要使原多项式可因式分解，只需a?
yi0^2agy3可因式分解。
此时，a7,a8,a9应满足：
（1）a7a80
（2）a90。
可以得出以下定理：
定理2.1⑴设存在实数域二次型f，则f可分解为两个实数域的一次齐次多项式乘
积的充要条件为：
秩为1,或者秩为2且符号差为0。
下面给出一个实例。
例2.1求解f（Xi，x2）Xi26x22-2、..6x1X24xi4.、6x24是否可以进行因式分
解？
如果可以，请分解。
解：
将f（xnX2）扩展为g（x,,x2,x3）x-!
6x2-26x^24x,x346x2x34x3，则
f（X!
X2）g（X1,X2,1）。
1-.62X
g（X1,X2,X3）X1,X2,X3-、66-2、6他，
2-264x3
1-62
取A-66-26,由非退化线性变换得
2-26
4
1
-.6
2
A
0
0
0B
0
0
0
根据定理
2.1可知，
矩阵
B的秩为
1,
故f（X1,X2）可在实数域内分解因式。
最后可得
f（X1,X2）
g（X1,X2,1）
（人
..6x22）2,
□
2.1.2二次型与不等式的证明
对于不等式来说，一般都可以转化为与0值的比较。
因此，正定二次型或负定二次
型是证明不等式的有力工具。
0）。
2.1.3二次型在曲线上的应用
YYYXPPXXXX
即是两向量的长度完全相同。
这便说明，向量在经过正交变换后，其长度不会发生改变。
因此，几何体的整体形状也不会发生改变。
这让以向量为主要研究载体的曲线（面）有了更加方便的研究方法。
在此，给出定理：
定理2.24］向量在经过正交变换后，其长度不会发生改变。
进而其几何体形状大小也不会发生变化。
例2.3化简二次曲线方程x2xyy22x4y0,并判断其形状大小。
解：
根据例2.1的方法，我们令F（x,y）x2xyy22x4y，再设三个变量的函
数f（x,y,z）x2xyy22xz4yz，则有F（x,y）f（x,y,1）。
由此可得f（x,y,z）的矩阵
1
1/2
1
A1/2
1
2
1
2
0
1
0
0
由合同变换，得到其标准型的矩阵
B
0
-/4
0，其方程转化为
0
0
4
3
f（x,y,z）f（a,b,c）a2-b24c2。
再根据定理2.2,图形整体形状在正交变化下是不
4
会发生改变的（如图2.1）,故有F（x,y）f（a,b,1）a2-b240
4
整理后可得—近1。
显然，这是一个椭圆，且长短轴分别为4个单位和2个单位,
416<3
其面积为*3。
图2.1椭圆的正交变换
在对例题进行分析后，我们可以讨论利用二次型对一般曲线的形状判断。
设方程
F（x,y）anx2822y22a^xy2aj-x2a2-ya--0是二次曲线的一般方程，根据不同
的参数设置，有如下情况：
（1）印2a22a2-0或a“a^a^0时，是只含有单一未知量的一元二次函数;
（2）an0或a220时，方程可直接化为一般抛物线方程；
（3）上述两种外，可将原方程扩充为三元二次方程从而形成二次型可解决的问题，
即F（x,y）f（a,b,c），其中c1。
依照定理2.2,贝Uf（a,b,c）—定可以通过非退化线性变换变换为de2d2b2d3c2的形式，且不会改变原方程表示图形的形状。
因此，我们只需要讨论qa2d2b2d3c20（c1）即可：
（i）若d!
d20,由于对称性，我们设40而d20（同时为0时，不满足二次的要求）。
此时上式即化简为
b2虫（2.2）
d2
当（2.2）式右边值为负数，即d2d30时，图像表示为两条平行虚直线；
当（2.2）式右边值为正数，即d2d30时，图像表示为两条平行实直线；
当d30时，图像为一条x轴，事实上是两条直线重合。
（ii）在d!
d20的情况下，我们从d3与0的关系开始讨论，
（a）d30，则a—2b。
显然，如果0（即did20），那么图像表示
d!
d1
为两条相交直线，且其夹角arctan佥；如果乞0（即did?
0），即在只有
d1d1
零解的情况下，其图像为一个点；
（b）d30，我们可以将式子简化为Aa?
1，其中A$，B虫。
d3d3
若A0且B0，贝U显然是一个实椭圆图像；当A0且B0时，图像为复数域上的虚椭圆。
若AB0,不妨设A0,B0,此时原式的等价于Aa2（Bb2）1,其图像是一个双曲线。
综上，我们已经完成了对二次型在曲线形状判定上的讨论。
2.1.4求解多元二次函数最值
对一元二次函数的各类探讨，是初等数学中很重要的知识点。
根据2.1.2节的理论
元二次函数是否能通过二次型来求得最值”这个问题。
22
f（X1,X2,,xn）811x1822x2
a
2
nXn
2a12X1X22a13X1X3
2a1nX1Xn
2a23X2X3
2a2nX2Xn2an1,nXn1Xn
t^X!
dx2
bnXn
c
再用矩阵表示各项系数，就可得到
f（X1,X2,
Xn）
XAX
BX
c
811
a12
a1n
821其中XX1X2Xn，A
a22
a2n
B
b1b2bn且所有
8n1
an2
ann
ajaji。
此时，在A可逆时，（A1）
A1
A1，
即A
1是对称矩阵。
充为n（n2）元二次函数的形式，则有
（2.3）
（2.3）可化为
1B,
最后化简，可以得到
（2.4）
g（y1,y2,,yn）yay坐
这里可以看出，（2.4）式右端YAY仍是一个二次型，故有如下讨论
有YAY0（当且仅当Y0时等号成立），也即
1
4cBABf（x1,x2,,Xn）g（y1,y2,,yn）
4
所以，只有在Y
1
0时，可取的最小值4cBAB，此时X^A1B；
42
（2）同理可知，如果矩阵A是负定的，则对任意的yiR,（i1,2,,n）都有YAY0
4cBA1B
（当且仅当Y0时等号成立）。
故在Y0时，可取得最大值4CBAB，此时X仍等
4
于^a1b。
2
综上可知，多元二次函数的极值求解与一元二次函数极值的求解办法相似，只是在
计算方式上由常数的运算变为矩阵运算。
下面再用例题说明上述结论
101
A012，X任必公3）。
128
101
50，所以矩阵A是负定矩阵，原函数有最大值[5'6]
阶顺序主子式A3012
128
又当X取
^A1B时，可取得函数最大值4CBAB，故计算（使用MATLAB软件,
24代码见附录A）:
4/5
2/5
1/5
A1
2/5
9/5
2/5
1/5
2/5
1/5
再将A1的值带入上式可知，当（XhX2,X3）（匕，空,）时可取的函数值最大值
555
fmax15・2。
2.1.5二次型与条件极值
条件极值问题是运筹学中一个非常重要的理论问题，它在高中数学也有所体现。
2.1.4节对
次型可以将多元二次函数构成的极值问题变得简单化，其方法也比较类似
次函数最值的求解。
y1
y2
yn
况。
这里可以给出定理
F面再用两个题目来加以说明。
解：
设二次型f（x,y）X2Xy
y2，则其矩阵
1
1/2
1/2
。
所以A的特征值分
别为：
12，2|。
根据定理2.3,*（x2y2）f（x,y）|（x2y2）。
又A在两个特
征值下的特征向量分别为：
1（1,1），1（1,1）。
因此，在xy时，可取得x2y2的
求f的最值。
解：
函数f（x,y,z）的矩阵为
2.2二次型在高等数学中的应用
本节将会说明二
二次型的各种性质，尤其是有定性，在高等数学中用处非常大。
次型在曲面上的一些便捷运用，以及在回归模型中最小二乘法与之的关系。
2.2.1二次型在曲面上的应用
在2.1.3节中，证明了向量经过正交变换并不会改变大小这一特性，保证了平面原几何体的形状是不会发生变化的。
同样的，由于向量本身的特性，空间几何体由向量表示后，作正交变换而得的新的空间几何体也不会改变形状。
所以，在解决一些几何问题时，通过正交变换能解决得更加便捷。
例2.7求xyzb被曲面x2y2z2xyxzyza2所截取部分的面积。
解：
首先将曲面通过正交变换化简，令f（x,y,z）x2y2z2xyxzyz，有
f（x,y,z）x,y,zAx,y,z，其中
A-
2
-
1
2
2
1
2
取正交变化
2/6
0
1/.3
x
（m,n,s）1/6
1/•2
1/.3
y
1/6
1/.2
1/.3
z
可得曲面方程为m2n22a2，平面方程为
3
-3sb
。
显然,
一个水平平面截取一个圆
柱体的面积就是圆柱体横截面面积，得S
-a2叫
3
在积分方面，由于同样的性质，可以通过简化
（正交变换）几何体方程来让计算过
程简便。
例2.8求dxdydz的值，其中
（x,y,z）|f（x,y,z）x2y2z22xy2yz1。
解：
将f（x,y,z）x2
y2z22xy
2yz由二次型矩阵表示，可得
，其中A
11
0
f（x,y,z）（x,y,z）A（x,y,z）
11
1。
再由正交变换
01
1
110
2
00
A
111
0
230
011
0
02..3
这表明原椭球与新椭球
g（a,b,c）2a2（2、3）b2（2、3）c2
的体积相同［10］。
故记D（a,b,c）|2a2（2,3）b2（2..3）c21,可得
dxdydzdxdydz
D
4111
32\23\23
2.2
3
显然，这样的计算方式会简便很多2.2.2二次型在最小二乘法上的应用
最小二乘法多用于回归分析。
无论是经济模型，物理模型还是其他需要找寻最贴近
实际的参数的模型，都是为了找到函数的可能的拟合值。
一元一次函数的参数估计已经
很明朗了，因此我们根据最小二乘法的理论推导，探寻多元条件下二次型对其的作用
空丄计算可得，需满足方程
XXXY
事实上，二次型XX为正定矩阵，故XX1一定存在，而有唯一解
1
XXXY
最后将回归值？
带入（2.5）式，即Y?
X?
。
再对回归值？
进行探讨
所以可以求得E（?
），即？
是的无偏估计量。
其次
Var（?
）XX12
这说明？
的协方差矩阵仍是正定矩阵［11'12］。
关。
试着通过下列实验数据，建立Y关于W和A的线性关系方程。
表2.1实验数据表
序号
W
A
Y
序号
W
A
Y
1
76.0
50
120
8
79.0
50
125
2
91.5
20
141
9
85.0
40
132
3
85.5
20
124
10
76.5
55
123
4
82.5
30
126
11
82.0
40
132
5
79.0
30
117
12
95.0
40
155
6
80.5
50
125
13
92.5
20
147
7
74.5
60
123
解：
我们将数据用矩阵表示,
最后可得回归方程为
Y?
62.96342.1366W0.4002A
这与直接使用R软件中的lm（）函数所得结果完全相同参考文献
[1]王萼芳•高等代数（第三版）[M].北京：
高等教育
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