高考数学破解命题陷阱方法总结 三角形中正弦定理与余弦定理的灵活应用.docx

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高考数学破解命题陷阱方法总结三角形中正弦定理与余弦定理的灵活应用

2018年高考数学破解命题陷阱方法总结三角形中正弦定理与余弦定理的灵活应用

1.三角形的中线问题

2.三角形中的角平分线问题

3.三角形边的范围问题

4.三角形中角的范围问题

5.多个三角形的问题

6.三角的实际应用

7.三角形中的最值问题

8.正余弦的混合及灵活应用

9.三角形的判断问题

二．陷阱警示及演练

1.三角形的中线问题（运用向量陷阱）

例1．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且。

（1）求A的值；

（2）若B=30°，BC边上的中线AM=，求△ABC的面积。

【答案】

（1）；

（2）

【解析】

（1），

因为

又

（2）

【防陷阱措施】解决三角形中的角边问题时，要根据俄条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.

练习1.在中，，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设的中点为，求中线的长．

【答案】

（1）;

（2）.

【解析】（Ⅰ）由知，且．

所以.

由正弦定理及题设得．即．

所以．

（Ⅱ）因为,所以为锐角.

所以.

因为，

所以．

所以．

在中，为的中点，所以．

由余弦定理及题设得．

所以中线．

练习2.中，内角的对边分别为,已知边，且.

（1）若,求的面积；

（2）记边的中点为，求的最大值，并说明理由.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】，故，由余弦定理可得.

（2）由于边的中点为，故，，由余弦定理知，，于是，而，的最大值为（当且仅当时取等号）.

练习3.已知函数

（Ⅰ）求函数的单调递增区间及其对称中心；

（Ⅱ）在中，角，，所对的边分别为，，且角满足.若，边上的中线长为3，求的面积.

【答案】

（1）单调递增区间：

，对称中心

（2）

【解析】

（1）

所以函数的单调递增区间：

令，则对称中心

2.三角形中的角平分线问题陷阱

例2.如图，在中，，，，，是的三等分角平分线，分别交于点.

（1）求角的大小；

（2）求线段的长.

【答案】

（1）;

（2）.

【解析】

（1）因为，即，得，又，则，所以.

【防陷阱措施】角平分线问题要注意几个方面：

（1）利用对称性，

（2）利用角平分线定理，（3）利用三角形的面积

练习1.在中，是上的点，平分，是面积的2倍．

（1）求；

（2）若，求和的长．

【答案】

（1）；

（2），.

【解析】

（1）∵是面积的2倍

∴

由正弦定理可知：

（2）由

（1）知，，

∵是面积的2倍

∴

设，

由余弦定理得：

，解得.

练习2.已知的内角所对应的边分别为，且满足.

（1）判断的形状；

（2）若，，为角的平分线，求的面积.

【答案】

（1）直角三角形;

（2）

【解析】（I）由，得

.

故为直角三角形.

练习3.如图，在中，，且，.

（1）求的面积；

（2）已知在线段上，且，求的值.

【答案】

（1）；

（2）.

（2）依题意,，，

即，故

3.三角形边的范围问题陷阱

例3.在中，内角的对边分别是，且.

（1）求角的大小；

（2）点满足，且线段，求的取值范围.

【答案】

（1）;

（2）.

【解析】

（1）∵，由正弦定理得

∴，

即，又∵，∴

∵

∴

（2）在中由余弦定理知：

，

∴

∵，

∴，即，

当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为4

故的范围是.

【防陷阱措施】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

练习1.已知分别是的内角对的边，.

（1）若，的面积为，求；

（2）若，求的取值范围.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）首先根据三角形面积公式，，求解，再根据余弦定理,求；

（2）根据正弦定理，用正弦表示表示，再根据三角函数恒等变形为，最后根据角的范围求解.

试题解析：

（1）∵，的面积为，，

∴，∴.

由余弦定理得

.

∴.

练习2.在中，内角的对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求的范围．

【答案】

（1）;

（2）范围为.

【解析】

（1）由及正弦定理可得，

∵，∴则有故，

又∵，∴；

（2）由正弦定理，，

可得，

∴

=

∵，∴，∴，

∴，

即的范围为．

练习3.在中，角的对边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若，且，求边长的取值范围.

【答案】

（1）;

（2）.

（2）∵，∴，

由正弦定理，得，∴，

∵，∴，∴，

∴.

练习4.已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）在△中，角的对边分别为，若为锐角且，，求的取值范围.

【答案】

（1）,单调增区间

（2）

（2），所以

解得，又，在△中，，等边三角形时等号成立，所以，又因为是三角形所以，所以。

4.三角形中角的范围问题陷阱

例4.已知分别是内角的对边，且依次成等差数列.

（Ⅰ）若,试判断的形状；

（Ⅱ）若为钝角三角形，且，试求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）正三角形；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由正弦定理及，得

三内角成等差数列，，

由余弦定理，得，

，

又为正三角形，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，中

由题意，知，

所求代数式的取值范围是

【防陷阱措施】对于题目中所给的锐角三角形或者钝角三角形，要注意三个角的范围

练习1.在锐角中，.

（1）若的面积等于，求；

（2）求的面积的取值范围.

【答案】

（1）

（2）

【解析】

（1）∵，由正弦定理得，

∵，∴，得.

由得，

所以由解得.

（2）由正弦定理得，

∴.

又，∴.

因为为锐角三角形，∴，

∴.

练习2.在中，分别是角的对边，且.

（1）求的大小；

（2）求的取值范围.

【答案】

（1）

（2）

（Ⅱ），由得出：

，所以，所以

即的取值范围是

练习3.在中，，，分别为内角，，的对边，且，，成等比数列．

（1）求角的取值范围；

（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】

（1）

（2）

【解析】

（1）∵，∴，

所以当且仅当时，，故．

练习4.已知锐角的三个内角的对边分别为，且．

（1）求角；

（2）若，求的取值范围．

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】

（1）由余弦定理，可得，

所以，所以，

又，所以．

（2）由正弦定理，，

所以，

因为是锐角三角形，

所以得，

所以，，

即．

练习4.已知分别是的内角对的边，.

（1）若，的面积为，求；

（2）若，求的取值范围.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】

（1）∵，的面积为，，

∴，∴.

由余弦定理得

.

∴.

5.多个三角形的问题

例5.如图，在边长为2的正三角形中，为的中点，分别在边上.

（1）若，求的长；

（2）若，问：

当取何值时，的面积最小？

并求出面积的最小值．

【答案】

（1）

（2）时，的面积的最小值为

【解析】

（1）在中，，

由余弦定理得，，

得，解得；

（2）设，

在中，由正弦定理，得，

所以，同理，

故，

因为，所以当时，的最大值为1，此时的面积取到最小值．即时，的面积的最小值为．

【防陷阱措施】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

练习1.如图所示，△ABC中，D为AC的中点，AB=2，BC=.

（1）.求cos∠ABC的值；

（2）.求BD的值.

【答案】

（1）;

（2）.

【解析】试题分析：

（1）在△ABC中利用正弦定理可求sinC，利用大边对大角可得C为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解cos∠ABC的值．

（2）由两角和差公式得到

在△ABC中，，

在△ABD中，

练习2.的内角的对边分别为，其中，且，延长线段到点，使得.

（Ⅰ）求证：

是直角；

（Ⅱ）求的值.

【答案】

（1）详见解析；

（2）

【解析】证明：

（Ⅱ）设，

在中，因为，

所以，所以.

在中，，即，

所以，

所以，

即，整理得，

所以，即.

6.三角的实际应用

例6.已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向，距离渔港约160海里的B处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20°，测得渔政船C的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上．

（Ⅰ）计算渔政船C与渔港O的距离；

（Ⅱ）若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？

（参考数据：

sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，shin63.43°≈0.90，tan63.43°≈2.00，≈3.62，≈3.61）

【答案】

（1）;

（2）可在3小时内赶到出事地点

【解析】试题分析：

（1）由，结合正切的定义可求得得，海里

再由余弦定理得

（2由）可在3小时内赶到出事地点

试题解析：

（2）

可在3小时内赶到出事地点

【防陷阱措施】把实际问题转化为解三角形问题，并注意方向角和方位角

练习1.如图，米，从点发出的光线经水平放置于处的平面镜（大小忽略不计）反射后过点，已知米，米.

（1）求光线的入射角（入射光线与法线的夹角）的大小；

（2）求点相对于平面镜的垂直距离与水平距离的长.

【答案】

（1）

（2）点相对于平面镜的垂直距离与水平距离的长分别为米、米．

【解析】试题分析：

（1）先由余弦定理解出，再根据光的反射定律得，解得入射角

（2）在中，可得，及，代入数值可得结果.

试题解析：

解：

（Ⅰ）如图，由光的反射定律，，．

在中，根据余弦定理，得

．

因为，所以，．

即光线的入射角的大小为.

（Ⅱ）据（Ⅰ），在中，，

所以（米），

（米），

即点相对于平面镜的垂直距离与水平距离的长分别为米、米．

7.三角形中的最值问题

（1）周长的最值

例7．在中，内角所对的边分别为，已知，.

（1）当时，求的面积；

（2）求周长的最大值.

【答案】

（1）；

（2）6.

【解析】

（1）由

得

得，

（2）由余弦定理及已知条件可得：

.

由得，

故周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形取到.

【防陷阱措施】解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理的应用，三角形的面积公式和三角形的周长等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中熟记三角形的正弦定理与余弦定理，合理应用是解答的关键

练习1.在中，角的对边分别为，且.