古塔的变形模型.docx
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古塔的变形模型
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、我网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
C
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
sm063
所属学校（请填写完整的全名）：
山东现代职业学院
参赛队员（打印并签名）：
1.马昱轩
2.李倩
3.梁帅健
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
宋祖芳
日期：
2013年9月16日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
sm06303
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
古塔的变形模型
摘要
某古塔是我国重点保护文物,已有上千年历史。
由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生诸如倾斜、弯曲、扭曲等各种变形。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
基于附件1提供的4次观测数据：
对于问题1，1986年和1996年的观测数据中都缺少13层一个点的数据（因MATLAB程序中用的是循环语句，所以计算时赋予0值），其它各层均给出8个点的观测值，为使所得数据更具真实性，确定古塔各层中心位置的方法更具适用性，本文将每层所给8点构成的图形看做不规则八边形，用中垂线求交点法求得古塔各层中心坐标。
对于问题2，结合问题1的分析，采用垂直投影法[1]求古塔的倾斜度，根据所得数据，分析古塔的倾斜程度（因1986年和1996年13层赋予值后所得数据偏差较大，为使所得数据更具真实性，所以本问题起1986年和1996年13层数据予以舍弃）；弯曲是建立在二维平面上的一条曲线，通过截取古塔过轴、轴的界面，求出每层古塔的倾斜度，从而分析得出古塔塔身在轴、轴的界面的弯曲程度。
同理，也可分析轴、轴的界面的弯曲程度；扭曲同样是采用垂直投影法[1]求古塔每层的倾斜度，建立三维立体空间，根据所得数据，分析古塔塔身的扭曲程度。
对于问题3，利用问题1、2所得数据，进行合理的分析与猜想，进而分析出古塔塔身的倾斜、弯曲、扭曲等变化趋势。
本文的模型解决了题目给出的问题，计算过程中充分尊重观测数据，给出更符合实际的结果。
本文所得结果大部分由图表给出，结合图像，较为直观地表现出古塔变形情况。
结果表明，采用数学软件可得出可靠结论。
关键词：
古塔变形监测垂直投影法倾斜度
一、问题的重述
由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：
1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2.分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
3.分析该塔的变形趋势。
二、问题的分析
2.1问题的背景
某古塔是我国重点保护文物。
已有上千年历史，由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生诸如倾斜、弯曲、扭曲等各种变形。
对现存历史文物古塔的保护，掌握古塔的形变，显得尤为重要，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
2.2问题的分析
基于附件1提供的4次观测数据：
2.2.1问题一的分析
本题建立模型是利用中垂线（即中垂线相交于一点为中点）法，求解古塔各层中心的坐标，以确保古塔中心坐标的准确性。
2.2.2问题二的分析
根据层与层之间的中心点，塔体倾斜变化采用垂直投影法[1]（即垂线法，利用相对位移量进行监测）；弯曲是建立在二维平面上的一条曲线，通过截取古塔过轴、轴的界面，求出每层古塔的倾斜度，从而分析得出古塔塔身在轴、轴的界面的弯曲程度。
同理，也可分析轴、轴的界面的弯曲程度；扭曲同样是采用垂直投影法求古塔每层的倾斜度，建立三维立体空间，根据所得数据，分析古塔塔身的扭曲程度。
2.2.3问题三的分析
我们在对古塔进行安全性监测方面要满足两个方面：
①塔体的倾斜变化；②塔身各段的变化[1]。
针对上述几个方面就采取对应的监测方法。
3、问题的假设
1.假设求解古塔各层中心坐标时纵坐标先不予以考虑；
2.假设古塔的地基土抗压能力强、韧性大、不易收缩，对古塔的变形不产生任何影响；
3.假设对古塔观测数据的缺失可忽略不计；
4、符号及文字说明
表示建立古塔坐标轴的横坐标
表示古塔各层的第（=1,2,...,8）个点的横坐标
表示建立古塔坐标轴的纵坐标
表示古塔各层的第（=1,2，...,8）个点的纵坐标
表示建立古塔坐标轴竖坐标
表示古塔各层的第（=1,2,...,8）个点的竖坐标
表示古塔的第条直线的斜率
表示两个点之间的中点
表示两个点之间的中点
表示古塔中心点到水平面的距离
表示古塔中心点的位移量
表示古塔的倾斜度
表示古塔的第（=1,2,...,13）层数（MATLAB程序中）
表示古塔各层的第（=1,2,...,8）个点（MATLAB程序中）
表示关于横坐标的矩阵（MATLAB程序中）
表示关于纵坐标的矩阵（MATLAB程序中）
表示各层每两点之间中垂线的斜率（MATLAB程序中）
表示每层8条中垂线两两相交所得交点的关于横坐标的矩阵（MATLAB程序中）
表示每层8条中垂线两两相交所得交点的关于纵坐标的矩阵（MATLAB程序中）
五、模型的建立与求解
（1）问题一的模型建立与求解
1.通过中垂线的方法对古塔各层中心坐标进行求解，根据附件1表格数据，1986年和1996年的观测数据中都缺少13层一个点的数据计算时赋予0值。
然后观察数据，古塔的每层八个点的高度变化不大，假设把古塔的每一层的点看作是在一个平面上，求解古塔各层中心坐标时纵坐标先不予以考虑，之后用平均值的方法计算出。
分析过程如下图1-1：
（用MATLAB软件作图（附件1，程序1））
1-1
根据上图，做出任意两边的中垂线，交与一点，如下图所示1-2（在上图上用画图工具作图）：
1-2
由图可知，点坐标为，点坐标。
根据公式，得:
，；，①
根据直线的斜率公式，求出直线的斜率。
同理，求出直线的斜率。
再根据中垂线定理，求出中垂线，的斜率，；
②
设中垂线的直线方程为：
③
设中垂线的直线方程为：
④
通过方程③、④建立方程组:
解得：
；⑤
再把①、②式中所求的数据代入⑤中，即可解出两中垂线交点坐标。
同理，通过数学软件MATLAB编程求解（附录1，程序2）可得出每层八条中垂线两两相交的八个交点坐标，得出数据并对这八个中垂线的交点求平均值，因1986年和1996年的观测数据中都缺少13层一个点的数据计算时赋予0值得出的数据偏差太大，此时予以舍弃。
塔顶数据是塔顶的四个点求平均值而得。
各层中心坐标如下表：
表一：
古塔层次
各层中心坐标
1
566.664514
522.7091368
2
566.7215137
522.6721729
3
566.7773312
522.6360299
4
566.821135
522.607225
5
566.8683524
522.5760928
6
566.9173327
522.5455899
7
566.9505701
522.5283882
8
566.9835974
522.5115552
9
567.0181737
522.4949434
10
567.0509921
522.4813031
11
567.1072922
522.4414325
12
567.1630598
522.4013267
13
---
---
塔顶
567.24725
522.24375
而每层古塔都有一定的高度差，因此，假设每层古塔的中心高度为每层八点的平均高度，即：
，因此，古塔每层的中心坐标是：
表二：
1986年
古塔层次
古塔各层中心坐标
1
566.664514
522.7091368
1.787375
2
566.7215137
522.6721729
7.32025
3
566.7773312
522.6360299
12.75525
4
566.821135
522.607225
17.07825
5
566.8683524
522.5760928
21.7205
6
566.9173327
522.5455899
26.235125
7
566.9505701
522.5283882
29.836875
8
566.9835974
522.5115552
33.350875
9
567.0181737
522.4949434
36.854875
10
567.0509921
522.4813031
40.172125
11
567.1072922
522.4414325
44.440875
12
567.1630598
522.4013267
48.711857
13
---
---
---
塔顶
567.24725
522.24375
55.123525
表三：
1996年
古塔层次
古塔各层中心坐标
1
566.664714
522.7088368
1.783
2
566.7224008
522.6712321
7.314625
3
566.7789381
522.634408
12.75075
4
566.8233162
522.6050197
17.075125
5
566.8710945
522.5732208
21.76
6
566.9207197
522.5421644
26.2295
7
566.9543744
522.5245028
29.836875
8
566.9877018
522.5073211
33.350875
9
567.0229012
522.4899727
36.854875
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