陕西省中考数学模拟冲刺.docx
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陕西省中考数学模拟冲刺
2017年陕西省中考数学真题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•陕西）计算：
（﹣）2﹣1=（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．0
【考点】有理数的混合运算．
【解答】解：
原式=﹣1=﹣，
故选C
2．（3分）（2017•陕西）如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】简单组合体的三视图．
【解答】解：
从正面看下边是一个较大的矩形，上边是一个较小的矩形，
故选：
B．
3．（3分）（2017•陕西）若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为（ ）
A．2B．8C．﹣2D．﹣8
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【解答】解：
设正比例函数解析式为：
y=kx，
将点A（3，﹣6）代入可得：
3k=﹣6，
解得：
k=﹣2，
∴函数解析式为：
y=﹣2x，
将B（m，﹣4）代入可得：
﹣2m=﹣4，
解得m=2，
故选：
A．
4．（3分）（2017•陕西）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上，若∠1=25°，则∠2的大小为（ ）
A．55°B．75°C．65°D．85°
【考点】平行线的性质．
【解答】解：
∵∠1=25°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣25°=65°．
∵a∥b，
∴∠2=∠3=65°．
故选：
C．
5．（3分）（2017•陕西）化简：
﹣，结果正确的是（ ）
A．1B．
C．D．x2+y2
【考点】分式的加减法．
【解答】解：
原式=
=
．
故选B
6．（3分）（2017•陕西）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）
A．3B．6C．3D．
【考点】勾股定理．
【解答】解：
∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，
∴AB=
=3，∠CAB=45°，
∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，
∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3，
∴∠CAB′=90°，
∴B′C=
=3，
故选：
A．
7．（3分）（2017•陕西）如图，已知直线l1：
y=﹣2x+4与直线l2：
y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（ ）
A．﹣2＜k＜2B．﹣2＜k＜0C．0＜k＜4D．0＜k＜2
【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征．
【解答】解：
∵直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），
∴﹣2k+b=0，
∴
解得
∵直线l1：
y=﹣2x+4与直线l2：
y=kx+b（k≠0）的交点在第一象限，
∴
解得0＜k＜2．
故选：
D．
8．（3分）（2017•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
A．
B．
C．D．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【解答】解：
如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，
在Rt△ADE中，AE=
=
=，
∵S△ABE=S矩形ABCD=3=•AE•BF，
∴BF=
．
故选B．
9．（3分）（2017•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）
A．5B．C．5D．5
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．
【解答】解：
连接OA、OB、OP，
∵∠C=30°，
∴∠APB=∠C=30°，
∵PB=AB，
∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°，
∵PB=AB，
∴OB⊥AP，AD=PD，
∴∠OBP=∠OBA=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5，
则Rt△PBD中，PD=cos30°•PB=×5=，
∴AP=2PD=5，
故选D．
10．（3分）（2017•陕西）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）
A．（1，﹣5）B．（3，﹣13）C．（2，﹣8）D．（4，﹣20）
【考点】二次函数的性质．
【解答】解：
y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4．
∴点M（m，﹣m2﹣4）．
∴点M′（﹣m，m2+4）．
∴m2+2m2﹣4=m2+4．
解得m=±2．
∵m＞0，
∴m=2．
∴M（2，﹣8）．
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）（2017•陕西）在实数﹣5，﹣，0，π，中，最大的一个数是 π ．
【考点】实数大小比较．
【解答】解：
根据实数比较大小的方法，可得
π＞＞0＞＞﹣5，
故实数﹣5，，0，π，其中最大的数是π．
故答案为：
π．
12．（3分）（2017•陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A=52°，则∠1+∠2的度数为 64° ．
°15′≈ ．（结果精确到）
【考点】计算器—三角函数；计算器—数的开方；三角形内角和定理．
【解答】解：
A、∵∠A=52°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=128°，
∵BD平分∠ABC、CE平分∠ACB，
∴∠1=∠ABC、∠2=∠ACB，
则∠1+∠2=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=64°，
故答案为：
64°；
B、tan38°15′≈×≈，
故答案为：
．
13．（3分）（2017•陕西）已知A，B两点分别在反比例函数y=（m≠0）和y=（m≠）的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值为 1 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【解答】解：
设A（a，b），则B（a，﹣b），
依题意得：
，
所以
=0，即5m﹣5=0，
解得m=1．
故答案是：
1．
14．（3分）（2017•陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为 18 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【解答】解：
如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；
∵∠BAD=∠BCD=90°
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN=90°；
∵∠BAD=90°，
∴∠BAM=∠DAN；
在△ABM与△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM=AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等；
∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；
由勾股定理得：
AC2=AM2+MC2，而AC=6；
∴2λ2=36，λ2=18，
故答案为：
18．
三、解答题（本大题共11小题，共78分）
15．（5分）（2017•陕西）计算：
（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．
【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．
【解答】解：
原式=﹣+2﹣﹣2
=﹣2﹣
=﹣3
16．（5分）（2017•陕西）解方程：
﹣=1．
【考点】解分式方程．
【解答】解：
去分母得，（x+3）2﹣2（x﹣3）=（x﹣3）（x+3），
去括号得，x2+6x+9﹣2x+6=x2﹣9，
移项，系数化为1，得x=﹣6，
经检验，x=﹣6是原方程的解．
17．（5分）（2017•陕西）如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）
【考点】作图—基本作图．
【解答】解：
如图，点P即为所求．
18．（5分）（2017•陕西）养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了部分学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x（分钟）进行了调查．现把调查结果分成A、B、C、D四组，如下表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图和扇形统计图；
（2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在 C 区间内；
（3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．（早锻炼：
指学生在早晨7：
00～7：
40之间的锻炼）
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数．
【解答】解：
（1）本次调查的总人数为10÷5%=200，
则20～30分钟的人数为200×65%=130（人），
D项目的百分比为1﹣（5%+10%+65%）=20%，
补全图形如下：
（2）由于共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，
则其中位数位于C区间内，
故答案为：
C；
（3）1200×（65%+20%）=1020（人），
答：
估计这个年级学生中约有1020人一天早锻炼的时间不少于20分钟．
19．（7分）（2017•陕西）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：
AG=CG．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【解答】证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=CDE=90°，AD=CD．
∵AE=CF，
∴DE=DF，
在△ADF和△CDE中
，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠DAF=∠DCE，
在△AGE和△CGF中，
，
∴△AGE≌△CGF（AAS），
∴AG=CG．
20．（7分）（2017•陕西）某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：
如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长（结果精确到1米）．（参考数据：
sin23°≈，cos23°≈，tan23°≈，sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈．）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【解答】解：
如图，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，
设AN=x米，则BD=CE=x米，
在Rt△MBD中，MD=x•tan23°，
在Rt△MCE中，ME=x•tan24°，
∵ME﹣MD=DE=BC，
∴x•tan24°﹣x•tan23°=﹣1，
∴x=
，解得x≈34（米）．
答：
“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米．
21．（7分）（2017•陕西）在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的3个温室大棚进行修整改造，然后，1个大棚种植香瓜，另外2个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：
“我的日子终于好了”．
最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包5个大棚，以后就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下：
品种
项目
产量（斤/每棚）
销售价（元/每斤）
成本（元/每棚）
香瓜
2000
12
8000
甜瓜
4500
3
5000
现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为x个，明年上半年8个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为y元．
根据以上提供的信息，请你解答下列问题：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）求出李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？
才能使获得的利润不低于10万元．
【考点】一次函数的应用．
【解答】解：
（1）由题意得，
y=（2000×12﹣8000）x+（4500×3﹣5000）（8﹣x）
=7500x+68000，
（2）由题意得，7500x+6800≥100000，
∴x≥4，
∵x为整数，
∴李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植5个大棚．
22．（7分）（2017•陕西）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：
红枣粽子（记为A），豆沙粽子（记为B），肉粽子（记为C），这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．
根据以上情况，请你回答下列问题：
（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？
（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【解答】解：
（1）由题意可得，
小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是：
=，
即小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是；
（2）由题意可得，出现的所有可能性是：
（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、
（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、
（B，A）、（B，B）、（B，C）、（B，C）、
（C，A）、（C，B）、（C，C）、（C，C），
∴小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是：
．
23．（8分）（2017•陕西）如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，
（1）求弦AC的长；
（2）求证：
BC∥PA．
【考点】切线的性质．
【解答】解：
（1）连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°
∵∠P=30°，
∴∠AOD=60°，
∵AC⊥PB，PB过圆心O，
∴AD=DC
在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=
∴AC=2AD=5
（2）∵AC⊥PB，∠P=30°，
∴∠PAC=60°，
∵∠AOP=60°
∴∠BOA=120°，
∴∠BCA=60°，
∴∠PAC=∠BCA
∴BC∥PA
24．（10分）（2017•陕西）在同一直角坐标系中，抛物线C1：
y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：
y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【解答】解：
（1）∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，
∴a=1，n=﹣3，
∴C1的对称轴为x=1，
∴C2的对称轴为x=﹣1，
∴m=2，
∴C1的函数表示式为y=x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3；
（2）在C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3中，令y=0可得x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（3）存在．
∵AB的中点为（﹣1，0），且点P在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，
∴AB只能为平行四边形的一边，
∴PQ∥AB且PQ=AB，
由
（2）可知AB=1﹣（﹣3）=4，
∴PQ=4，
设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），
①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t+4）2+2（t+4）﹣3，解得t=﹣2，
∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5，
∴P（﹣2，5），Q（2，5）；
②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，解得t=2，
∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，
∴P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3），
综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）．
25．（12分）（2017•陕西）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 4 ；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？
若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？
为什么？
（结果保留根号或精确到米）
【考点】圆的综合题．
【解答】解：
（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD=AC=×12=6，
∵O是内心，△ABC是等边三角形，
∴∠OAD=∠BAC=×60°=30°，
在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=，
∴OA=6÷=4，
故答案为：
4；
（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴CQ=AP=3，
过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，
由勾股定理得：
PQ=
=
=12；
（3）如图3，作射线ED交AM于点C
∵AD=DB，ED⊥AB，是劣弧，
∴所在圆的圆心在射线DC上，
假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=AB=12，
在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，
解得：
r=13，
∴OD=5，
过点M作MN⊥AB，垂足为N，
∵S△ABM=96，AB=24，
∴AB•MN=96，
×24×MN=96，
∴MN=8，NB=6，AN=18，
∵CD∥MN，
∴△ADC∽△ANM，
∴
，
∴
，
∴DC=，
∴OD＜CD，
∴点O在△AMB内部，
∴连接MO并延长交于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，
∵在上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，
∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，
即MF＞MG，
过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，
∴OM=
=
=3，
∴MF=OM+r=3+13≈（米），
答：
喷灌龙头的射程至少为米．
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