届上海市长宁嘉定金山高三一模数学试题带答案.docx
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届上海市长宁嘉定金山高三一模数学试题带答案
2020届上海市长宁嘉定金山高三一模数学试题
一、单选题
1.已知xR,则‘X0”是X1”的（）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可
【详解】
解：
由题意可知，XR,
x|x0?
x|X1
X0”是X1”的必要不充分条件.
故选：
B.
【点睛】II
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题.
2.下列函数中，值域为0,的是（）
1
A.y2XB.Y2c.ylnxD.ycosx
yX
【答案】A
【解析】由指数函数，哥函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解.
【详解】
1
解：
选项A.y2X的值域为0,,选项B.2的值域为0，，选项C.ylnx的值域为R,选项D.
yX
ycosx的值域为1,1.
故选：
A.
【点睛】
本题考查常见函数的值域，属于简单题.
3.已知正方体ABCDAB1GD1,点P是^^CC1的中点，设直线AB为a,直线Ad为b.对于下列两个命题：
①
过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45角.以下判断正确的是
A.①为真命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题
C.①为假命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题
【答案】B
【解析】作出过P与两直线相交的直线l判断①；通过平移直线a,b,结合异面直线所成角的概念判断②.
【详解】
解：
直线AB与AiDi是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取BBi的中点Q,则PQ//A1D1,且PQ=AiDi,设AiQ与AB交于E,则点Ai、Di、Q、E、P共面,直线EP必与AiDi相交于某点F,则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；分别平移a,b,使a与b均经过P,则有两条互相垂直的直线与a,b都成45°角，故②为假命题.
・•.①为真命题，②为假命题.
体现了数形结合的数学思想，是中档题.
本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质,
4.某港口某天。
时至24时的水深y（米）随时间X（时）变化曲线近似满足如下函数模型
y0.5sinx—3.24（0）.若该港口在该天。
时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港
6
口该天水最深的时刻不可能为（）
A.16时B.17时C.18时D,19时
【答案】D
【解析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可.
【详解】
解：
由题意可知，x0时，y0.5sin
故选：
D.
【点睛】
本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题.
二、填空题
5.已知集合A1,2,3,4,5,B2,4,6,8，则AIB
【答案】2,4
【解析】找出A与B的公共元素，即可确定出交集.
【详解】
解：
.A1,2,3,4,5,B2,4,6,8,
AIB2,4.
故答案为：
2,4
【点睛】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
【答案】xlog23
【解析】把指数式化为对数式即可求出方程的解.
【详解】
解：
Q2x3,••・指数式化为对数式得：
X10g23,
故答案为：
x10g23.
【点睛】
本题主要考查了指数式与对数式的互化，是基础题.
7.行列式21的值为.
12
【答案】5
【解析】直接利用行列式公式可求.
【详解】
21
解：
22115
12
故答案为：
5
【点睛】
本题考查二阶行列式计算.属于基础题.
【解析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可.
本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基础题.
9.若圆锥的侧面面积为2,底面面积为，则该圆锥的母线长为
【答案】2
【解析】根据圆面积公式算出底面半径r=1,再由圆锥侧面积公式建立关于母线1的方程，解之即可得到该圆锥的母线长.
解：
:
圆锥的底面积为
又•••圆锥的侧面积为
故答案为：
2
础题.
ABAC
BAC
故答案为:
本题主要考查两个向量的夹角公式，属于基础题.
11
4个空
.2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①、将3位男生排成一排，②、3名男生排好后有4个空位可选,位中，任选2个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得答案.
解：
根据题意，分2步进行分析:
①、将3位男生排成一排，有A36种情况,
②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有A212种情况,
则2位女生不相邻的排法有61272种;
故答案为：
72
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.
12.已知点2,y在角终边上，且tan2姓,则sin
【答案】211
3
【解析】结合三角函数的定义及诱导公式可求y,然后即可求解.
【详解】
解：
由题意可得，tan—,2
Qtantan2.2
tan2.2-y-2
解得y4.2
4.22.2
故答案为：
红2.
3
【点睛】
本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查.
13.近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企
业员工A,B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况,
发现样本中A,B两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A,B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分
布如下表，依据数据估算：
若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A,B两种支付方式都使用过的概率为
支付金额（元）
支付方式
（0,1000]
（1000,2000]
大于2000
使用A
18人
29人
23人
使用B
10人
24人
21人
【答案】
10
【解析】根据表中数据算出两种支付方式都使用过的人数，由古典概型概率的计算公式即可求解
【详解】
根据题意，得
使用过A支付方式的人数为：
18292370（人）；
使用过B支付方式的人数为：
10242155（人）；
两种支付方式都没有使用过的人数：
5（人）；
两种支付方式都使用过的人数为：
7055100530（人）；
则该该员工在该月A,B两种支付方式都使用过的概率为:
，..3
故答案为：
—
10
【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题.
vvV一一—一Vvv
14.已知非零向量a、b、c两两不平行，且a//bc
303
10010
vVVVVV
b//ac,设cxayb,x,yR,则x2y
【答案】—3
【解析】先根据向量共线把
r『r一r
c用a和b表不出来，再结合平面向量基本定理即可求解.
解：
因为非零向量
rrrrrrr
c两两不平行，且a//bc,b//ac,
rrr
ambc,m0,
r1rr
cab
mrrr
bnac,n0
r1rrcba
n
rrrQcxayb
xy1
故答案为：
3.
【点睛】
本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用.解题时要认真审题，属于基础题.
15.已知数列{an}满足：
ai1,an1为{d。
，，4}（nN*）,记数列{an}的前n项和为Sn,若对所有满
足条件的{an},S10的最大值为M,最小值为m,则Mm
【答案】1078
【解析】由a11,an1an{劣❷，a}（nN*）,分别令n2,3,4,5，求得{an}的前5项，观察得到最小
值m123L10,最大值M1222L29，计算可得Mm的值.
【详解】
由a11,an1an{4®，a}（nN*）,
可得a2a1a〔,解得a22a12,
又a3a2{ai,a2},可得a3a2a13或a32a24,
又a4a3{a1,a2,a3},可得a4a3阚4或5；
ada3a25或6；a42a36或8；II
又a5a4{4仔2e3©4},可得a5a4a15或6或7;
a5a4a26或7或8；
a5a4a37或8或9或10或12;
a52a38或9或10或12或16,
11210
综上所不可信S10的取大值为M1222L291023，
12
—一11010
最小值为m123L1055,
2
所以Mm1023551078.
故答案为：
1078
【点睛】
本题是一道数列的新定义，考查了根据递推关系式求数列中的项以及等差数列、等比数列的求和公式，属于中档题
.111……
16.已知函数fxx-a,右对任意实数a,关于x的不等式fxm在区间一,3上总有解，则实数m的x2
取值范围为.
fxx—a的最
1
【解析】本题要根据数形结合法将函数yx—的图象向下平移到一定的程度，使得函数x
大值最小.再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m的取值范围.
【详解】
„-11人
解：
由题意，yx—在区间一,3上的图象如下图所不:
x2
则只要找到其中一个实数a,使得函数fx
1，一-，
x-a的最大值最小即可,
x
1，一，…，
fxx—a的取大值取小.
x
1
如图，函数yx—向下平移到一定才程度时，函数x
此时只有当f1f3时，才能保证函数fx的最大值最小.
1
设函数yx一图象向下平移了t个单位，（t0）.x
10…8
—t2t,解得t一.
33
・♦.此时函数fx的最大值为—8-.
333
根据绝对值函数的特点，可知实数m的取值范围为:
故答案为:
本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力.本题属中档题.
三、解答题
17.如图，底面为矩形的直棱柱ABCDAB1C1D1满足：
AA4,AD3,CD2.
（1）求直线AC与平面AA1D1D所成的角的大小；
（2）设M、N分别为棱BBi、cd上的动点，求证：
三棱锥NA1AM的体积V为定值，并求出该值
2
【答案】
（1）arctan—；
（2）证明详见解析，V4.
5
【解析】
（1）说明CAD即直线AC与平面AAiDiD的所成角，通过求解三角形，推出结果即可.
（2）记点N到平面A1AM的距离为d,由于底面积和高都不变，故体积不变.
【详解】
解：
（1）由直棱柱知AA平面ABCD,所以A1ACD,
II
又因为ADCD,所以直线CD平面AADD1，所以CAD即直线AC与平面AA1D1D的所成角
2
由题思A1D5,CD2,所以tan—
5
2
所以直线AC与平面aad〔d的所成角arctan-.
5
（2）记点N到平面AAM的距离为d,三角形AAM的面积为Saam,则
1
VVNA1AM-dSAAM,
3
1一
由已知d3,Sa1mm2244,
1..
所以V—344为定值.
3
【点睛】
本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题.
18.在复平面内复数4、Z2所对应的点为Z1、Z2,O为坐标原点，i是虚数单位.
UUU!
UUUV
（1）412i,z234i,计算z122与021OZ2；
条件时该不等式取等号
uuuv山uv
【答案】
（1）z1z2112i,OZlOZ25；
（2）证明详见解析，当abcd时.
uuuruuuu
【解析】
（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出z1z2,可知。
乙1,2,OZ23,4,然后进行数量
积的坐标运算即可；
uuuuUULUl
（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出Z1z2,以及复数的几何意义表示出。
乙、OZ2计算其数量积，利
2uuuruuur„
用作差法比较|乙Z2I,|OZ1OZ2I2的大小，并得出何时取等号.
解：
（1）4Z212i34i112i
uuunuuiui
OZ11,2,OZ23,4
uuunuuuu
所以。
乙OZ25
证明
（2）Qz1abi,z2cdi
Z1Z2acbdadbci
222
z1z2acbdadbc
uiuuuuuu
QOZ1a,b,OZ2c,d
uuunuuuu
cb时取此时OZ1POZ2.
uunuun
所以OZ1OZ2Z1Z2,当且仅当ad
本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.
19.如图，某城市有一矩形街心广场ABCD,如图.其中AB4百米，BC3百米.现将在其内部挖掘一个三角形
水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB边上，要求MDN-.
4
（1）若ANCM2百米，判断DMN是否符合要求，并说明理由;
（2）设CDM，写出DMN面积的S关于的表达式，并求S的最小值.
1.-sin2
档题.
2*
20.已知数列an各项均为正数，Sn为其刖n项的和，且an,Sn,annN成等差数列.
（1）写出a1、a2、a3的值，并猜想数列an的通项公式an；
（2）证明
（1）中的猜想；
*
⑶设bntan1G0）,Tn为数列bn的刖n项和.右对于任思nN,都有Tnbm|mN,求实数t的值.
1,
【答案】
（1）ai1,a22,a33,ann；
（2）详见解析；（3）2,1.
2
【解析】
（1）代入Sna一an,求出a1，a2,a3,猜想出即可；
2
（2）利用等差数列的定义证明即可;
*n1.一...
nN,丁都是整数,
（3）由
（2）知bmmt1,Tn*」）tn,因为m,n都是整数，所以对于任意
所以a11,a22,a33,
猜想ann
22
证明
（2）当n2时，snan—an,Sn1an1an1
22
22
ananan1an1
得anan1anan110,
*
因为an0nN,所以anan11
数列an为等差数列，又由
（1）a11,a22
.一*
所以annnN
（3）解由
（2）知bmmt1,Tnn（n1）tn.
2
若bmTn,则m
1nn1
所以t一，kZ,此时mkn1,
k2
设bmT2,则m3k0,所以k1或2
nn1*
①当k1时，对于任意nN,m1N2
-*nn3*
②当k2时，对于任意nN,m2N
2
所以实数t取值的集合为1,1
2
【点睛】
考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，含参问题的数列前n项和公式的应用，中档题.
21.已知函数fxxxa,其中a为常数.
（1）当a1时，解不等式fx2；
⑵已知gx是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有gxfx.若a0,且g‘-,求函数
24
ygxx1,2的反函数；
（3）若在0,2上存在n个不同的点xii1,2,,n.n3,x1x2xn,使得
fx1fx2fx2fx3fxn1fxn8,求实数a的取值范围.
【答案】
（1）,2；
（2）y3VxMx0,3；（3）,2U6,
【解析】
（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果.
（2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数.
（3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果.
【详解】解：
（1）解不等式xx12
当x1时，x2x20,所以1x2
当x1时，x2x20,所以x1,
综上，该不等式的解集为,2
（2）当0x1时，gxxxa,
因为gx是以2为周期的偶函数，
所以g
所以当0
x1时,
所以当1
x2时,
所以函数ygx
1,2
的反函数为
0,3
（3）①当a0时,
在0,2上f
0,2上的增函数，所以
fx1
fx2
fx2fx3
xn1
xn
fxnf
x1
所以f
②当a
4时,在
0,2上fx
0,2
上的增函数，所以
fx1
x2
x2f乂3
xn1
xn
fxn
xi
所以f
③当0
4时,
在0,2
上不单调,
所以
xi
x2
x2
fx3
xn
xn
2f
max
2
—4,
4
22a
4,
0,2
上，f
max
max
f2
f
4.
x1
fx2
fx2
x3
xn
xn
2f
max
不满足
综上,
a的取值范围为
2U6,
③当2
4时,则1
2,所以
0,a上单调递增,
2
在。
2
上单调递减，于是
fx1
x2
fx2
fx3
xn
1fxn
2fmax
f（0）
2
解得
4或a4,
不符合题意;
a
④当0a2时，fx分别在0,a
2
一a
a,2上单调递增，在a,a上单调递减,
2
fx1fx2fx2fx3
a
2f2f（0）
fxni
fxn
2
aa
2f-f22-22a
24
2a4
22屈,不符合题意
2
令—2a48,解得a22石或a2
综上，所求实数a的取值范围为，2U6,
【点睛】
本题考查的知识要点：
绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.
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