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电磁感应

第十章电磁感应

一、知识目标

内容

要求

说明

1．电磁感应现象

Ⅰ

限于导线方向与磁场方向、运动方向垂直的情况；有关反电动势的计算不要求

2．感应电流的产生条件

Ⅱ

3．法拉第电磁感应定律；楞次定律

Ⅱ

4．互感自感涡流

Ⅰ

二、能力要求

1．掌握产生感应电流的条件；理解“磁通量变化”的几种情形．

2．理解楞次定律，并会用楞次定律判断感应电流的方向；会用右手定则判定感应电流的方向．

3．理解法拉第电磁感应定律；会用和

和E＝Blv计算感应电动势．

4．会从力与运动的关系、能量变化等角度分析导体切割磁感线等问题．

三、解题示例

例1在下图所示的操作中，能产生电磁感应现象的是

A．磁铁靠近或远离线圈B．线圈远离或靠近导线

C．A线圈中通有恒定电流D．匀强磁场中，周长一定的闭

合线圈由矩形变为圆形

分析：

判断能否产生电磁感应现象，首先是确定闭合回路，然后确定闭合回路的磁通量是否发生变化．

A选项中的闭合回路是线圈，垂直纸面看，穿过线圈的磁场如图图所示．当磁铁靠近线圈时，穿过线圈的磁感线条数增加，线圈的磁通量增大；当磁铁远离线圈时，穿过线圈的磁感线条数减少，线圈的磁通量减小．所以上述两种情况都能产生电磁感应现象．选项A正确．

B选项中闭合回路是线圈，垂直纸面看，磁场分布如图所示．当线圈远离或靠近导线时，穿过线圈的磁感线条数都将发生变化，线圈的磁通量将发生变化，能产生电磁感应现象．选项B正确．

C选项中闭合回路是B线圈．产生磁场的是A线圈，由于A线圈中的电流是恒定电流，所以A线圈产生的磁场是不变的磁场，所以通过B线圈的磁感线的条数不变，B线圈的磁通量不变，不会产生电磁感应现象．

D选项中闭合回路是线圈．在匀强磁场中，当周长一定的线圈由矩形变成圆形时，面积将变大，所以闭合线圈的磁通量增大，能产生电磁感应现象．选项D正确．

解：

正确答案是A、B、D．

讨论：

熟练掌握上一章学习的各种典型磁场的磁感线的分布情况，有助于同学们判断闭合回路磁通量的变化．

例2如图所示，通电导线与矩形线圈abcd处于同一平面．下列说法中正确的是

A．当线圈向右平动时，线圈中感应电流的方向是由a→d→c→b→a

B．当线圈向左平动时，线圈中感应电流的方向是a→d→c→b→a

C．当线圈保持ad边平行导线向下平动时，线圈没有感应电流

D．当线圈以ab边为轴转动时（小于90°），线圈中感应电流的方向是a→b→c→d→a

分析：

这是一个涉及穿过闭合面积的磁通量发生变化而引起的电磁感应现象，判断感应电流的方向应该使用楞次定律．首先确定一个闭合回路围成的面积：

以abcd围成的面积为研究对象；第二步确定穿过闭合回路围成面积的磁感线的方向（即原磁场方向）：

原磁场方向垂直纸面向里；第三步确定穿过闭合回路围成面积的磁通量的变化情况；第四步是确定感应电流产生的磁场的方向依据的是楞次定律；第五步是确定闭合回路中的感应电流的方向依据的是右手螺旋定则（安培定则）．本题具体分析如下：

第三步

第四步

第五步

磁通量的变化

感应电流的磁场的方向

感应电流的方向

A选项

减小

与原磁场方向相同

a→b→c→d→a

B选项

增大

与原磁场方向相反

a→d→c→b→a

C选项

保持不变

无感应磁场

无感应电流

D选项

减小

与原磁场方向相同

a→b→c→d→a

解：

正确答案是选项B、C、D

例3在水平面上有一固定的光滑U形金属框架，框架上有一金属杆．如图所示（纸面即为水平面）在垂直纸面方向有一匀强磁场，则：

A．当匀强磁场方向垂直纸面向外并增大时，杆将向右移动

B．当匀强磁场方向垂直纸面向外并减少时，杆将向右移动

C．当匀强磁场方向垂直纸面向里并增大时，杆将向右移动

D．当匀强磁场方向垂直纸面向里并减少时，杆将向右移动

分析：

这是一道综合考查对楞次定律、左右手定则理解的习题．根据楞次定律可知：

当匀强磁场方向垂直纸面向外并增大时，ab上的感应电流方向为从a到b；根据左手定则，可判断其受到的安培力方向为向右，所以杆将向左移动．选项A错误．

同理可知：

选项B、D正确．

解：

正确答案是选项B、D．

讨论：

ab之所以运动是因为先有电流（原因），这个电流是由于磁场的变化引起的，而后ab在磁场中受到安培力（结果）才运动，运动方向反映了其所受安培力的方向，而不是ab先运动（因），才产生电流（果）．

例4为了测量列车运行的速度和加速度大小，可采用如图所示的装置，它由一块安装在列车车头底部的强磁体和埋设在轨道地面的一组线圈及电流测量记录仪组成（测量记录仪未画出）．当列车经过线圈上方时，线圈中产生的电流被记录下来，就能求出列车在各位置的速度和加速度．

如图所示，假设磁体端部磁感应强度B＝4.4×10－2T，且全部集中在端面范围内，与端面相垂直，磁体的宽度与线圈宽度相同，且都很小，线圈的匝数n＝5匝，长l＝0.20m，电阻r＝0.40Ω（包括引出线的电阻），测试记录仪自身电阻R＝4.0Ω，其记录下来的电流－位移关系如图所示．

（1）试计算列车通过线圈Ⅰ和线圈时Ⅱ的速度v1和v2的大小；

（2）假设列车做的是匀加速直线运动，求列车的加速度的大小．

分析：

列车以某一速度经过线圈正上方时，即列车头部的强磁场以某一速度通过线圈，相当于强磁场不动，线圈以相等速率反向切割磁感线，于是产生了感应电动势，在回路中有了感应电流，被电流测量仪记录了电流的大小及方向．通过电流的大小可以计算出对应的感应电动势，继而可以求出相应的速度．由题给电流－位移图像可知：

线圈Ⅰ位置坐标为30m，线圈Ⅱ位置坐标为130m，两线圈间距离s＝100m，根据公式

可以计算出列车运动的加速度．

解：

（1）由闭合电路欧姆定律，线圈Ⅰ和线圈Ⅱ中产生的感应电动势：

E1＝i1（R＋r）＝0.53V，E2＝i2（R＋r）＝0.66V

而线圈Ⅰ、Ⅱ中产生感应电动势：

E1＝nBlv1，E2＝nBlv2

所以列车通过线圈Ⅰ、Ⅱ时速度：

v1＝

＝12m/s

v2＝

＝15m/s

（2）假设列车做匀加速运动，根据列车从线圈Ⅰ通过，到刚通过线圈Ⅱ，运动的位移即两线圈间距离s＝100m

由运动学公式：

，所以a＝

＝0.41m/s2

讨论：

这是来源于实际问题的一道习题，要从中体会如何将实际问题转化成物理模型．

（1）本题这样叙述“假设磁体的宽度与线圈宽度相同且都很小”，一者说明强磁场进出线圈过程中，线圈只有一边在磁场中；再者说明磁场进出线圈运动时间极短，可认为线圈在切割磁感线的过程中，速度不变．这点也可以与电流－位移图像相佐证．如果磁场宽度与线圈宽度不同，则图像中电流应有间断区域，这点请同学自己分析．

（2）分析实际问题要忽略次要因素，抓住主要因素，根据题意建立相应的物理模型，运用相应的物理规律解决实际物理问题．本题中，排除了列车本身的体积、形状等无关因素，将列车的行驶过程抽象为一个矩形磁场沿路面匀加速运动，经过线圈时切割产生磁感线产生感应电流的过程．

例5如图所示，A是一边长为l的正方形线框，电阻为R．现维持线框以恒定的速度v沿x轴运动，并穿过图中所示的在x方向宽度为3l、y方向足够宽的匀强磁场区域．取逆时针方向为线框中电流的正方向，线框从产生的感应电流i随时间t变化的图线是图中的（）

分析：

线框从图示位置开始运动，直到穿出磁场，5个关键的位置，如图所示．从位置1到位置2的过程中，线框不在磁场内，线框内没有感应电流；线框从位置2到位置3的过程中，线框的一边切割磁感线的速度保持不变，根据公式E＝Blv可知，线框中的感应电动势也保持不变，线框中的感应电流的大小也不变，根据右手定则可知，线框内将有逆时针方向的电流，即在电流方向为正方向；从位置3到位置4的过程中，线框在磁场内运动，尽管有两条边切割磁感线，当穿过线框所围面积的磁通量不变，线框内也没有感应电流；线框从位置4到位置5的过程中，线框的一边切割磁感线的速度保持不变，根据公式E＝Blv可知，线框中的感应电动势也保持不变，线框中的感应电流的大小也不变，根据右手定则可知，线框内将有顺时针方向的电流，即在电流方向为负方向．

解：

正确选项为B．

讨论：

电磁感应这部分习题中，如果涉及图象，一般是存在多个物理过程的习题．处理这类习题，首先要判断是由什么原因引起的电磁感应现象，其次要分清楚每一个过程的物理情景，弄清是什么物理量发生了变化，第三要分析涉及的图像的特点．

例6如图所示，两光滑平行导轨相距为d，一端连接电阻R，质量为m的导体MN横放在两导轨上，其他电阻不计．整个装置处在与导轨所在平面垂直的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B．现用恒力F作用在导体MN上，方向平行导轨向右，使导体从静止开始运动．求：

（1）导体可能达到的最大速度vm．

（2）导体MN的速度为

时的加速度a．

分析与解：

（1）导体MN运动后，当速度为v时导体上产生的感应动势为E＝Blv，

于是回路中产生相应的感应电流

导体MN受到方向与力F相反的安培力F'；

导体MN的加速度

这样，随着导体MN的速度的增加，其加速度就由F/m逐渐减小．加速度减小，表明导体MN的速度增加得慢了，但速度仍在增加．速度的增加将导致感应电动势E、感应电流I、安培力F'的增加，这样导体的加速度又进一步减小……

当加速度a为零时，导体MN的速度达最大值vm，此时导体MN的感应电动势最大，回路中的感应电流最大，导体MN所受的磁场力等于恒力F，即

于是有可能达到的最大速度

（2）当导体MN的速度

时，

导体上产生的感应动势为

回路中产生相应的感应电流

导体MN受到的安培力

由

（1）可知

所以

即导体MN的加速度为

讨论：

通过这个例题可以看出，综合性是涉及法拉第电磁感应定律习题的一大特征．这类综合题各物理量之间存在着内在的联系，一个物理量的变化，使其他物理量随之变化．因此，对物理过程的正确分析，寻找各物理量的内在联系，是解好这类习题的关键．

例7如图所示，用质量为m、总电阻为R的导线做成单匝矩形线框MNPQ，边长PN＝2d，PQ＝l．将线框置于水平面上，线框与水平面间绝缘，它们之间的动摩擦因数为μ．在线框的右侧存在竖直方向的有界匀强磁场，磁场边界间的距离为d，磁感应强度为B．在垂直MN边的水平拉力作用下，线框以速度v匀速穿过磁场．线框在运动过程中线框平面水平，且MN边与磁场的边界平行．求：

（1）在线框从MN边刚进入磁场到MN边刚穿出磁场的过程中，线框中感应电流产生的焦耳热Q；

（2）在线框从MN边刚进入磁场到PQ边刚穿出磁场的过程中，水平拉力对线框所做的功W．

分析与解：

（1）线框MN边在磁场中运动时，感应电动势E＝Blv

线框中的感应电流

线框MN边在磁场中运动的时间

此过程线框中产生的焦耳热

（2）线框PQ边在磁场中运动时线框中产生的焦耳热

从线框MN边刚进入磁场到PQ边穿出磁场的过程中，摩擦生热Q'＝3μmgd

根据能量守恒定律得水平外力做功

讨论：

能量的转化过程，必然是某些力做功的过程．如图所示，在粗糙的水平面上，用水平外力拉着一个物体做匀速直线运动．外力做功，将消耗某种其他形式的能量，这种形式能量将减小，而减小的能量正是通过克服摩擦力做功转化为系统的内能．

四、综合训练

1．恒定的匀强磁场中有一圆形的闭合导体线圈，线圈平面垂直于磁场方向．当线圈在此磁场中做下列哪种运动时，线圈中能产生感应电流？

（）

A．线圈沿自身所在的平面做匀速运动

B．线圈沿自身所在的平面做加速运动

C．线圈绕任意一条直径做匀速转动

D．线圈绕任意一条直径做变速转动

2．一平面线圈用细杆悬于P点，开始时细杆处于水平位置，释放后让它在如图所示的匀强磁场中运动．已知线圈平面始终与纸面垂直，当线圈第一次通过位置Ⅰ和位置Ⅱ时，顺着磁场的方向看去，线圈中感应电流的方向分别为（）

位置Ⅰ位置Ⅱ

A．逆时针方向逆时针方向

B．逆时针方向顺时针方向

C．顺时针方向顺时针方向

D．顺时针方向逆时针方向

3．如图所示，线圈A连接两光滑平行导轨，导轨上横放着导体MN，并处于垂直纸面向里的匀强磁场中，线圈C闭合，现使MN沿导轨向右运动，并设运动过程中，回路中电阻不变．为了使线圈C产生如图所示的感应电流，MN应向右做（）

A．匀速运动B．加速运动

C．减速运动D．以上说法都对

4．地磁场磁感线在北半球的竖直分量向下．飞机在我国上空匀速巡航，机翼保持水平，飞行高度不变．由于地磁场的作用，金属机翼上有电势差．设飞行员左方机翼末端处的电势为U1，右方机翼末端处的电势为U2，则：

（）

A．若飞机从西往东飞，U1比U2高B．若飞机从东往西飞，U2比U1高

C．若飞机从南往北飞，U1比U2高D．若飞机从北往南飞，U2比U1高

5．如图所示，A和B为两个相同的环形线圈，共轴并靠近放置，A环中通有如图所示交流电i，则（）

A．从t1到t2时间内AB两线圈相吸

B．从t2到t3时间内AB两线圈相斥

C．t1时刻两线圈间作用力为零

D．t2时刻两线圈间吸引力最大

6．在水平放置的光滑绝缘杆ab上，挂有两个金属环M和N，两环套在一个通电密绕长螺线管的中部，如图所示，螺线管中部区域的管外磁场可以忽略．当变阻器的滑动头向左移动时，两环将怎样运动？

（）

A．两环一起向左移动B．两环一起向右移动

C．两环互相靠近D．两环互相离开

7．如右图所示，线圈M和线圈P绕在同一铁芯上，则

A．在合上电键S的瞬间，线圈P中没有感应电流

B．在合上电键S的瞬间，线圈P中有感应电流

C．在断开电键S的瞬间，线圈P中没有感应电流

D．在断开电键S的瞬间，线圈P中有感应电流

8．用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导体线框，以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图所示．在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud．下列判断正确的是（）

A．Ua＜Ub＜Uc＜UdB．Ua＜Ub＜Ud＜Uc

C．Ua＝Ub＜Uc＝UdD．Ub＜Ua＜Ud＜Uc

9．如图所示，固定在水平桌面上的金属框架cdef，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab搁在框架上，可无摩擦滑动，此时adeb构成一个边长为l的正方形，开始时磁感应强度为B0．若从t＝0时刻起，磁感应强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感应强度应随时间怎样变化（写出B与t的关系式）？

10．水平地面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆（见右上图），金属杆与导轨的电阻忽略不计；匀强磁场竖直向下．用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动．当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v和F的关系如右下图．（取重力加速度g＝10m/s2）

（1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？

（2）若m＝0.5kg，L＝0.5m，R＝0.5Ω；磁感应强度B为多大？

（3）由v－F图线的截距可求得什么物理量？

其值为多少？

11．用质量为m、总电阻为R的导线做成边长为l的正方形线框MNPQ，并将其放在倾角为θ的平行导轨上，如图所示，线框与导轨之间的动摩擦因数为μ，在导轨的下端有一宽度为l、磁感应强度为B的有界匀强磁场，磁场的边界aa'、bb'垂直导轨，磁场的方向与线框平面垂直．现从静止释放线框，线框恰能匀速穿过磁场区域．线框沿导轨下滑过程中MQ、NP始终与导轨接触．不计其他电阻，重力加速度为g．求：

（1）开始释放时，MN与bb之间的距离．

（2）在穿过磁场的过程中，线框电阻产生的焦耳热．

12．如图1所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距l＝0.20m，电阻R＝1.0Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻可忽略不计，整个装置处于磁感强度B＝0.50T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下．现用一外力F沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力F与时间t的关系如图2所示，求杆的质量m和加速度a．

图1图2

13．一直升飞机停在南半球的地磁极上空，该处地磁场的方向竖直向上，磁感应强度为B，直升飞机螺旋桨叶片的长度为l，螺旋桨转动的频率为f，顺着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨按顺时针方向转动．螺旋桨叶片的近轴端为a，远轴端为b，如图所示．如果忽略a到转轴中心线的距离，用E表示每个叶片中的感应电动势，则（）

A．E＝πfl2B，且a点电势低于b点电势

B．E＝2πfl2B，且a点电势低于b点电势

C．E＝πfl2B，且a点电势高于b点电势

D．E＝2πfl2B，且a点电势高于b点电势

14．用密度为d、电阻率为ρ、横截面积为A的薄金属条制成边长为L的闭合正方形框abb'a'

．如图所示，金属方框水平放在磁极的狭缝间，方框平面与磁场方向平行．设匀强磁场仅存在于相对磁极之间，其他地方的磁场忽略不计．可认为方框的aa'边和bb'边都处在磁极之间，磁极间磁感应强度大小为B．方框从静止开始释放，其平面在下落过程中保持水平（不计空气阻力）．

图1装置纵截面示意

图2装置俯视示意图

（1）求方框下落的最大速度vm（设磁场区域在竖直方向足够长）；

（2）当方框下落的加速度为

时，求方框的发热功率P；

※（3）已知方框下落时间为t时，下落高度为h，其速度为vt（vt＜vm）．若在同一时间t内，方框内产生的热与一恒定电流I0在该框内产生的热相同，求恒定电流I0的表达式．

15．如图所示，一宽40cm的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里．一边长为20cm的正方形导线框位于纸面内，以垂直于磁场边界的恒定速度v＝20cm/s通过磁场区域，在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行．取它刚进入磁场的时刻t＝0，在下列图线中，正确反映感应电流随时间变化规律的是（）

16．如图所示，虚线上方空间有垂直线框平面的匀强磁场，直角扇形导线框绕垂直于线框平面的轴O以角速度ω匀速转动．设线框中感应电流方向以逆时针为正，那么在下图中能正确描述线框从图中所示位置开始转动一周的过程中，线框内感应电流随时间变化情况的是（）

17．一匀强磁场，磁场方向垂直纸面，规定向里的方向为正．在磁场中有一细金属圆环，线圈平面位于纸面内，如图1所示．现令磁感强度B随时间t变化，先按图1中所示的Oa图线变化，后来又按图线bc和cd变化，用E1、E2、E3分别表示这三段变化过程中感应电动势的大小，I1、I2、I3分别表示对应的感应电流，则（）

图1图2

A．E1＞E2，I1沿逆时针方向，I2沿顺时针方向

B．E1＜E2，I1沿逆时针方向，I2沿顺时针方向

C．E1＜E2，I2沿顺时针方向，I3沿逆时针方向

D．E2＝E3，I2沿顺时针方向，I3沿顺时针方向

18．如图1所示，一闭合金属圆环处在垂直圆环平面的匀强磁场中．若磁感强度B随时间t按如图2所示的规律变化，设图中磁感强度垂直纸面向里为正方向，环中感应电流沿顺时针方向为正方向．则环中电流随时间变化的图象可能是图（）

19．图中A是一边长为l的方形线框，电阻为R．今维持线框以恒定的速度v沿x轴运动，并穿过图中所示的匀强磁场B区域．若以x轴正方向作为力的正方向，线框在图示位置的时刻作为时间的零点，则磁场对线框的作用力F随时间t的变化曲线为图（）

20．如图所示，矩形线圈abcd质量为m，宽为d，在竖直平面内由静止自由下落．其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上、下边界水平，宽度也为d，线圈ab边刚进入磁场就开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程，产生了多少电热？

21．如右图所示，空间存在磁感强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场区域．现有一矩形线框处在图中纸面内，它的短边与磁场边界重合，它长度为2b，宽为a，电阻为R．从某时刻起线框在外力作用下，以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界方向穿过磁场．求从线框开始进入磁场到完全离开磁场的过程中，外力对线框所做的功．

22．两根光滑的长直金属导轨MN、M'N'平行置于同一水平面内，导轨间距为l，电阻不计：

M、M'处接有如图所示的电路，电路中各电阻的阻值均为R，电容器的电容为C．长度也为l，电阻同为R的金属棒ab垂直于导轨放置，导轨处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中ab在外力作用下向右匀速运动且与导轨保持良好接触，在ab运动距离为s的过程中，整个回路中产生的焦耳热为Q．求：

（1）ab运动速度v的大小；

（3）电容器所带的电荷量q．

23．如图所示的电路中，A1和A2是完全相同的灯泡，线圈L的直流电阻可以忽略．下列说法中正确的是（）

A．合上开关S接通电路时，A2先亮，A1后亮，最后一样亮

B．合上开关S接通电路时，A1和A2始终一样亮

C．断开开关S切断电路时，A2立刻熄灭，A1过一会才熄灭

D．断开开关S切断电路时，A1和A2都要过一会儿才熄灭

24．如图所示，A、B为大小、形状均相同且内壁光滑，但用不同材料制成的圆管，竖直固定在相同高度．两个相同的磁性小球，同时从A、B管上端的管口无初速释放，穿过A管的小球比穿过B管的小球先落到地面．下面对于两管的描述中哪些可能是正确的

①A管是用塑料制成的，B管是用铜制成的

②A管是用铝制成的，B管是用胶木制成的

③A管是用胶木制成的，B管是用塑料制成的

④A管是用胶木制成的，B管是用铝制成的

A．只有①B．只有②

C．只有①③D．只有①④

参考答案

第十章

1．CD　2．B　3．C　4．AC　5．ABC　6．C　7．BD　8．B　9．

10．

（1）变速运动　

（2）

　（3）摩擦阻力2N

11．

（1）

（2）Q＝2mglsinθ－2μmglcosθ

12．a＝10m/s2，m＝0.1kg　13．A

14．

（1）

（2）

　（3）

15．C　16．A　17．BD　18．C　19．B　20．2mgd

21．

　22．

（1）

（2）

　23．AD　24．D