高三一轮复习 直线与圆全章 练习3套+易错题+答案.docx
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高三一轮复习直线与圆全章练习3套+易错题+答案
第十章 直线与圆
第1节 直线及直线方程
一、选择题
1.直线l:
xsin30°+ycos150°+1=0的斜率是（ A ）
（A）（B）（C）-（D）-
解析:
设直线l的斜率为k,则k=-=.
2.在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,点O（0,0）,A（1,3）,点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为（ D ）
（A）y-1=3（x-3）（B）y-1=-3（x-3）
（C）y-3=3（x-1）（D）y-3=-3（x-1）
解析:
因为|AO|=|AB|,
所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数,
所以kAB=-kOA=-3,
所以直线AB的方程为y-3=-3（x-1）.
3.已知点A（1,3）,B（-2,-1）.若直线l:
y=k（x-2）+1与线段AB相交,则k的取值范围是（ D ）
（A）[,+∞）（B）（-∞,-2]
（C）（-∞,-2]∪[,+∞）（D）[-2,]
解析:
易知直线l恒过定点P（2,1）,如图所示.若l与线段AB相交,则kPA≤k≤kPB,
因为kPA=-2,kPB=,
所以-2≤k≤.故选D.
4.平面直角坐标系中,与直线y=2x+1关于点（1,1）对称的直线方程是（ D ）
（A）y=2x-1（B）y=-2x+1
（C）y=-2x+3（D）y=2x-3
解析:
在直线y=2x+1上任取两个点A（0,1）,B（1,3）,则点A关于点（1,1）对称的点为（2,1）,点B关于点（1,1）对称的点为（1,-1）,所以所求对称直线的方程为y=2x-3.
5.已知直线ax+y-1=0与直线x+ay-1=0互相垂直,则a等于（ D ）
（A）1或-1（B）1（C）-1（D）0
解析:
因为直线ax+y-1=0与直线x+ay-1=0互相垂直,所以a×1+a×1=0⇒a=0,故选D.
6.若直线l1:
x-2y+m=0（m>0）与直线l2:
x+ny-3=0之间的距离是,则m+n等于（ A ）
（A）0（B）1（C）-1（D）2
解析:
因为直线l1:
x-2y+m=0（m>0）与直线l2:
x+ny-3=0之间的距离为,
所以
所以n=-2,m=2或m=-8（舍去）.故m+n=0.
二、填空题
7.若ab>0,且A（a,0）,B（0,b）,C（-2,-2）三点共线,则ab的最小值为 .
解析:
根据A（a,0）,B（0,b）确定的直线的方程为
+=1,又C（-2,-2）在该直线上,故+=1,
所以-2（a+b）=ab.又ab>0,所以a<0,b<0,
所以ab=-2（a+b）≥4,可得≤0（舍去）或≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时取等号.故ab的最小值为16.
答案:
16
8.设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）.
（1）若l在两坐标轴上截距相等,则l的方程为 ;
（2）若l不经过第二象限,则实数a的取值范围为 .
解析:
（1）当直线经过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距均为零,此时a=2,直线l的方程为3x+y=0;
当直线不经过原点时,即a≠2,截距存在且均不为0,
所以=a-2,即a+1=1,
所以a=0,直线l的方程为x+y+2=0.
综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
（2）l的方程可化为y=-（a+1）x+a-2,由题意得所以a≤-1.
答案:
（1）3x+y=0或x+y+2=0
（2）（-∞,-1]
9.过点A（1,2）且与原点距离最大的直线的方程为
.
解析:
由题易知所求直线与OA垂直,因为kOA=2,所以所求直线方程为y-2=-（x-1）,即x+2y-5=0.
答案:
x+2y-5=0
10.已知两直线l1:
（3+m）x+4y=5-3m,l2:
2x+（5+m）y=8,若l1∥l2,则m= ;若l1⊥l2,则m= .
解析:
若l1∥l2,则=≠,即m=-7或m=-1（舍去）,
所以m=-7.
若l1⊥l2,则（3+m）×2+4（5+m）=0,即m=-.
答案:
-7 -
11.若实数x,y满足x+y-4≥0,则z=x2+y2+6x-2y+10的最小值为 .
解析:
因为z=x2+y2+6x-2y+10=（x+3）2+（y-1）2表示的几何意义是区域内的点（x,y）到（-3,1）的距离的平方,所以所求最小值为（-3,1）到直线x+y-4=0的距离的平方,即为（）2=18.
答案:
18
12.与直线l1:
y=2x+3关于直线l:
y=x+1对称的直线l2的方程为 .
解析:
由
解得直线l1与l的交点坐标为（-2,-1）.
又易知直线l2的斜率存在,故可设直线l2的方程为y+1=k（x+2）,
即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点（1,2）,
由题可知点（1,2）到直线l1,l2的距离相等,
所以由点到直线的距离公式得
=,
解得k=（k=2舍去）,故直线l2的方程为x-2y=0.
答案:
x-2y=0
三、解答题
13.设直线l的方程为（a+1）x+y-2-a=0（a∈R）.
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
（2）若a>-1,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN面积取最小值时,直线l的方程.
解:
（1）当直线l经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为0,此时a+2=0,解得a=-2,
此时直线l的方程为-x+y=0,即x-y=0.
当直线l不经过坐标原点,即a≠-2时,若a≠-1.
则由直线在两坐标轴上的截距相等可得=2+a,解得a=0,此时直线l的方程为x+y-2=0;若a=-1,则y=1,不符合条件.所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.
（2）由直线方程可得M（,0）,N（0,a+2）.
因为a>-1,所以S△OMN=××（2+a）=×=[（a+1）++2]
≥×[2+2]=2,
当且仅当a+1=,即a=0时,等号成立.
故当△OMN面积最小时,直线l的方程为x+y-2=0.
14.已知直线l:
x-2y+8=0和两点A（2,0）,B（-2,-4）.点P为直线l上一点.
（1）求使|PA|+|PB|最小的点P的坐标;
（2）求使||PB|-|PA||最大的点P的坐标.
解:
（1）设A关于直线l对称的点为A′（m,n）,则
解得故A′（-2,8）.
P为直线l上的一点,则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|,当且仅当B,P,A′三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值|A′B|,故点P即为直线
A′B与直线l的交点,解得
故所求点P的坐标为（-2,3）.
（2）易知A,B两点在直线l的同侧,且P是直线l上的一点,则||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值|AB|,故点P即为直线AB与直线l的交点.又直线AB的方程为y=x-2,
由
得故所求点P的坐标为（12,10）.
15.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点P.
（1）点A（5,0）到直线l的距离为3,求直线l的方程;
（2）求点A（5,0）到直线l的距离的最大值.
解:
（1）因为经过两已知直线交点的直线系方程为
（2x+y-5）+λ（x-2y）=0,
即（2+λ）x+（1-2λ）y-5=0,
所以=3,解得λ=或λ=2.
所以直线l的方程为x=2或4x-3y-5=0.
（2）由解得交点P（2,1）,如图,过P作任一直线l,设d为点A到直线l的距离,则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）.所以dmax=|PA|=.
第2节 圆的方程
一、选择题
1.已知圆M的方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中不正确的是（ C ）
（A）圆M的圆心为（4,-3）
（B）x轴被圆M截得的弦长为8
（C）圆M的半径为25
（D）y轴被圆M截得的弦长为6
解析:
圆M的标准方程为（x-4）2+（y+3）2=25,圆心坐标为（4,-3）,半径为5.显然选项C不正确.
2.已知圆x2+y2-2x+my-4=0上两点M,N关于直线2x+y=0对称,则圆的半径为（ B ）
（A）9（B）3（C）2（D）2
解析:
根据圆的几何特征,可知直线2x+y=0经过圆的圆心（1,-）.将圆心坐标代入直线方程解得m=4,即圆的方程为x2+y2-2x+4y-4=0,配方得（x-1）2+（y+2）2=32,故圆的半径为3.
3.若a为实数,则圆（x-a）2+（y+2a）2=1的圆心所在的直线方程为（ A ）
（A）2x+y=0（B）x+2y=0
（C）x-2y=0（D）2x-y=0
解析:
圆的圆心坐标为（a,-2a）,由消去参数a得2x+y=0.
4.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的和是（ C ）
（A）30（B）18
（C）10（D）5
解析:
由圆x2+y2-4x-4y-10=0知圆心坐标为（2,2）,半径为3,圆心（2,2）到直线x+y-14=0的距离d==5>3,直线和圆相离,则圆上的点到直线x+y-14=0的最大距离为d+3=8,最小距离为d-3=
2,故最大距离与最小距离的和为10.
5.直线x+y-2=0与圆（x-1）2+（y-2）2=1相交于A,B两点,则弦|AB|等于（ D ）
（A）（B）（C）（D）
解析:
因为圆心（1,2）到直线x+y-2=0的距离d=,
所以|AB|=2=.
6.已知A,B,C是圆O:
x2+y2=1上不同的三个点,且·=0,若存在实数λ,μ满足=λ+μ,则点（λ,μ）与圆O的位置关系是（ B ）
（A）在圆O外（B）在圆O上
（C）在圆O内（D）无法确定
解析:
因为点A,B,C在单位圆上,
所以||=1,于是有||2=1,
即（λ+μ）2=1,
展开得λ2+μ2=1,
所以点（λ,μ）在圆x2+y2=1上.
二、填空题
7.已知圆C过点A（1,0）和B（3,0）,且圆心在直线y=x上,则圆C的标准方程为 .
解析:
由题意可设圆心坐标为（a,a）,半径为r,则圆的标准方程为（x-
a）2+（y-a）2=r2,
所以
解得故圆C的标准方程为（x-2）2+（y-2）2=5.
答案:
（x-2）2+（y-2）2=5
8.已知两点A（-2,0）,B（0,2）,点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是 .
解析:
直线AB的方程为x-y+2=0,圆心（1,0）到直线AB的距离d=.
因为该圆的半径为1,
所以AB边上的高的最小值为-1.
因为|AB|=2,
所以△ABC面积的最小值是×2×（-1）=3-.
答案:
3-
9.点P（1,2）到圆C:
x2+y2+2kx+2y+k2=0上的点的距离的最小值是
.
解析:
圆C的标准方程为（x+k）2+（y+1）2=1,
所以圆心C（-k,-1）,半径r=1.易知点P（1,2）在圆外,
所以点P到圆心C的距离|PC|==≥3,
所以|PC|min=3,
所以点P到圆C上点的最小距离dmin=|PC|min-r=3-1=2.
答案:
2
10.已知点A（0,2）为圆M:
x2+y2-2ax-2ay=0（a>0）外一点,圆M上存在点T使得∠MAT=45°,则实数a的取值范围是 .
解析:
圆M的标准方程为（x-a）2+（y-a）2=2a2,圆心M（a,a）,半径r=a,
所以|AM|=,|TM|=a.设AS与圆切于S,
因为AM,TM长度固定,
所以当点T与点S重合时,∠MAT最大.
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