中考数学专题复习第三讲整式含答案.docx

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中考数学专题复习第三讲整式含答案

2016年中考数学专题复习

第三讲整式

【基础知识回顾】

一、整式的有关概念：

1．整式

单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。

组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。

2．同类项：

①定义：

所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。

②合并同类项法则：

把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。

【名师提醒】：

1．单独的一个数字或字母都是式。

2．判断同类项要抓住两个相同：

一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。

二、整式的运算：

1．整式的加减：

①去括号法则：

a+（b+c）=a+,a-（b+c）=a-.

②添括号法则：

a+b+c=a+（），a-b-c=a-（）

③整式加减的步骤是先，再。

【名师提醒】：

在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：

括号前是负号去括号时括号内每一项都要。

2．整式的乘法：

①单项式乘以单项式：

把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。

②单项式乘以多项式：

用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m（a+b+c）=。

③多项式乘以多项式：

先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）（a+b）=。

④乘法公式：

Ⅰ、平方差公式：

（a＋b）（a—b）＝，

Ⅱ、完全平方公式：

（a±b）2=。

【名师提醒】：

1．在多项式的乘法中有三点注意：

一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。

2．两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。

3．整式的除法：

①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。

即（am+bm）÷m=。

三、幂的运算性质：

1．同底数幂的乘法：

不变相加，即：

aman＝（a＞0，m、n为整数）

2．幂的乘方：

不变相乘，即：

（am）n＝（a＞0，m、n为整数）

3．积的乘方：

等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂。

即：

（ab）n＝（a＞0，b＞0，n为整数）。

4．同底数幂的除法:

不变相减，即：

am÷an＝（a＞0，m、n为整数）

【名师提醒】：

运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，（-a）n=（n为奇数），（-a）n=（n为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:

已知3m=4,2n=3,则9m8n=。

【重点考点例析】

考点一：

代数式的相关概念。

例1（2015•遵义）如果单项式

与

是同类项，那么

．

思路分析：

根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）可得：

a-2=1，b+1=3，解方程即可求得a、b的值，再代入（a-b）2015即可求解．

解：

由同类项的定义可知

a-2=1，解得a=3，

b+1=3，解得b=2，

所以（a-b）2015=1．

故答案为：

1．

点评：

考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：

相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点。

跟踪训练

1．（2013•苏州）计算-2x2+3x2的结果为（　　）

A．-5x2B．5x2C．-x2D．x2

考点二：

代数式求值

例2（2015•娄底）已知a2+2a=1，则代数式2a2+4a-1的值为（　　）

A．0B．1C．-1D．-2

思路分析：

原式前两项提取变形后，将已知等式代入计算即可求出值．

解：

∵a2+2a=1，

∴原式=2（a2+2a）-1=2-1=1，

故选B。

点评：

此题考查了代数式求值，将已知与所求式子进行适当的变形是解本题的关键，利用了整体代入的思想．

跟踪训练

2．（2015•苏州）若a-2b=3，则9-2a+4b的值为．

考点三：

单项式与多项式。

例3（2015•通辽）下列说法中，正确的是（　　）

A．

的系数是

B．

的系数是

C．3ab2的系数是3aD．

的系数是

思路分析：

根据单项式的概念求解．

解：

A、

-的系数是

，故A错误；

B、

的系数是

，故B错误；

C、3ab2的系数是3，故C错误；

D、

的系数

，故D正确．

故选：

D．

点评：

本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．

跟踪训练

3．（2015•岳阳）单项式

的次数是．

考点四：

幂的运算。

例4（2015•海南）下列运算中，正确的是（　　）

A．a2+a4=a6B．a6÷a3=a2C．（-a4）2=a6D．a2•a4=a6

思路分析：

根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．

解：

A、a2•a4=a6，故错误；

B、a6÷a3=a3，故错误；

C、（-a4）2=a8，故错误；

D、正确；

故选：

D．

点评：

本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．

跟踪训练

4．（2015•达州）下列运算正确的是（　　）

A．a•a2=a2B．（a2）3=a6C．a2+a3=a6D．a6÷a2=a3

考点五：

完全平方公式与平方差公式

例5（2015•遵义）下列运算正确的是（　　）

A．4a-a=3B．2（2a-b）=4a-b

C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a-2）=a2-4

思路分析：

根据合并同类项，去括号与添括号的法则，完全平方公式公式，平方差公式，进行解答．

解：

A、4a-a=3a，故本选项错误；

B、应为2（2a-b）=4a-2b，故本选项错误；

C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；

D、（a+2）（a-2）=a2-4，正确．

故选：

D．

点评：

本题考查合并同类项，去括号与添括号的法则，完全平方公式公式，平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．

例6（2015•衡阳）已知a+b=3，a-b=-1，则a2-b2的值为．

思路分析：

原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．

解：

∵a+b=3，a-b=-1，

∴原式=（a+b）（a-b）=-3，

故答案为：

-3．

点评：

此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

跟踪训练

5．（2015•甘南州）下列运算中，结果正确的是（　　）

A．x3•x3=x6B．3x2+2x2=5x4

C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y2

6．（2015•莱芜）已知m+n=3，m-n=2，则m2-n2=．

考点六：

整式的运算

例7（2015•青岛）计算：

3a3•a2-2a7÷a2=．

思路分析：

根据整式的混合运算顺序，首先计算乘法和除法，然后计算减法，即可求出算式3a3•a2-2a7÷a2的值是多少．

解：

3a3•a2-2a7÷a2

=3a5-2a5

=a5

故答案为：

a5．

点评：

（1）此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．

（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（3）此题还考查了同底数幂的除法法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

跟踪训练

7．（2015•威海）下列运算正确的是（　　）

A．（-3mn）2=-6m2n2B．4x4+2x4+x4=6x4

C．（xy）2÷（-xy）=-xyD．（a-b）（-a-b）=a2-b2

8．（2015•常德）计算：

b（2a+5b）+a（3a-2b）=．

考点七：

整式的化简求值

例8（2015•包头）计算：

（x+1）2-（x+2）（x-2）=．

思路分析：

原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．

解：

原式=x2+2x+1-x2+4

=2x+5．

故答案为：

2x+5．

点评：

此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

例9（2015•福建）先化简，再求值：

（x-1）2+x（x+2），其中

．

思路分析：

原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．

解：

原式=x2-2x+1+x2+2x=2x2+1，

当

时，原式=4+1=5．

点评：

此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：

完全平方公式，平方差公式，多项式除单项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

跟踪训练

9．（2015•金华）已知a+b=3，a-b=5，则代数式a2-b2的值是．

10．（2015•丽水）先化简，再求值：

a（a-3）+（1-a）（1+a），其中

．

考点八：

规律探索。

例10（2015•张家界）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：

23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是（　　）

A．46B．45C．44D．43

思路分析：

观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2015的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．

解：

∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，

∴m3有m个奇数，

所以，到m3的奇数的个数为：

，

∵2n+1=2015，n=1007，

∴奇数2015是从3开始的第1007个奇数，

∵

，

，

∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，

即m=45．

故选B．

点评：

本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．

例11（2015•六盘水）毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：

名称及图形

几何点数

层数

三角形数

正方形数

五边形数

六边形数

第一层几何点数

1

1

1

1

第二层几何点数

2

3

4

5

第三层几何点数

3

5

7

9

…

…

…

…

…

第六层几何点数

…

…

…

…

…

第n层几何点数

思路分析：

首先看三角形数，根据前三层的几何点数分别是1、2、3，可得第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；然后看正方形数，根据前三层的几何点数分别是1=2×1-1、3=2×2-1、5=2×3-1，可得第六层的几何点数是2×6-1=11，第n层的几何点数是2n-1；再看五边形数，根据前三层的几何点数分别是1=3×1-2、2=3×2-2、3=3×3-2，可得