切割线定理习题.docx
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切割线定理习题
切割线定理
回顾旧知:
请结合以上的两图写出相交弦圧理及推论的内容：
相交弦窪理：
二、探索发现：
P点从圆内向圆外移动时结论：
PA・PB=PC・PD是否成立你能给出合理的证明吗
三、练习：
（1）已知PAB.PCD是圆0的割线，PA=5,AB=3,CD二3,则PC=
（2）已知PT是圆0的切线，PA二4,PT=6,
则圆O的而积=
D
（3）已知：
圆0、O?
圆相交于A、B,P是BA延长线上的一点，PCD是圆。
的割线,
PEF是圆Q的割线,
求证:
PC・PD二PE・PF
巩固加深
一、选择题（共15小题）
1.如图，PAB为割线且PA二AB,P0交OO于C,若0C=3,OP二5,则AB的长为（）
A.V10B.2^2C.V6D.V5
第1题第2题第3题
2・如图，00的割线PAB交00于点A,B,PA=14cm,AB二10cm,P0二20cm,则OO的半径是（）
A.8cmB.10cmC.12cmD.14cm
3.如图，已知00的弦AB、CD相交于点P,PA二4cm,PB=3cm,PC=6cm.EA切OO于点A,
AE与CD的延长线交于点E,若AE=2V5cm,则PE的长为（）
A.4cm
B.3cm
C.5cm
4.如图，OOi与002相交于A、B两点，PQ切OOi于点P,延长线于点N・
若MN=1.MQ=3,则NP等于（）
C.2
D.V2cm
交002于点Q、M,
交AB的
第4题
5.如图，PAB、
第7题
则CD等于（）
第5题
PCD是OO的两条割线,PA二3,AB二5,PC二4,
D.
15
T
B.3
12
45
A.15cm
B.10cm
D.5cm
6.已知PA是OO的切线，A为切点，PBC是过点0的割线，PA=10cm,PB=5cm,则00的半径长为（）
7.（2004・锦州）如图，00和OCT都经过点A和点B,点P在BA的延长线上，过P作00
的割线PCD交00于C.D,作00,的切线PE切OCT于E,若PC=4,CD=5,则PE等于（）
B.
A.6
C.20
2V5
&如图OO的两条弦AB、CD相交于点E,AC与DB的延长线交于点P,下列结论中成立的是（）
A.CE*CD=BE*BA
B.CE・AE=BE・DE
D.PGPA二PB・PD
C.POCA二PB・BD
第8题
9・已知AB为OO的直径，
CD二4,则OO的半径长是（）
第口题
第10题
C为AB的延长线上一点，过C的直线与相切于点D,若BC=2,
D.无法计算
10.如图.已知OOi.002相交于A、B两点，且点6在002上，过A作001的切线AC
交B0i的延长线于点P,交002于点C,BP交OOi于点D,若PD=1,PA出，则AC的长为（）
a.VbB.2a/bc.2+a/bd.3晶
11.如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB,PCD分別为这两圆的割线.若PA=3,
PB二6,PC=2,则PD等于（）
C.8
22・如图，在RtAABC中，AC=5t则OO的半径是（
A.卫
3
BC=12,
OO分别与边AB,AC相切，切点分别为E,C,
20
3
第12题第13题第14题
23・如图，已知PAC为OO的割线，连接P0交00于B,PB=2,0P=7,PA二AC,则PA的长
为（）
A.VrB.2^3c.V14D.3V2
14.如图,PA,PB为OO的切线，A,B分别为切点,ZAPB二60。
，点P到圆心0的距离0P=2,
则OO的半径为（）
15.（2007＜双柏县）如图，已知PA是OO的切线，A为切点,00相交于B、C两点，PB=2cm,BC=8cm»则PA的长等于（
A.4cm
C.20cm
B.16cm
D.
二填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）
交于点P，PN与002相切于点N,若PB=10,AB二6,则PN二
16.（2003＞泸州）如图，OOi与002相交于C、D两点，001的割线PAB与DC的延长线
第16题第27题第18题
17.如图，PA切OO于点A,割线PBC交OO于点B、C,若PA=6,PB二4,狐AB的度数为
60%贝ljBC=,ZPCA=度，ZPAB=度.
18.如图，ABCD是边长为2a的正方形，AB为半圆0的直径，CE切00于E,与BA的延长线交于F,EF的长•
29.如图，已知OO的割线PAB交OO于点A和B,PA二6cm,AB二8cm,P0交00于点C,
第19题第20题第21题
20.如图，PA、PB与OO分别相切于点A、点B,AC是00的直径，PC交00于点D,已
知ZAPB=60\AC=2,那么CD的长为・
21・如图.在ZkABC中，ZC=90度.以BC为直径作00与斜边AB交于点D,且AD二，BD=»则AC=cm.
22.如图，PT是半径为4的00的一条切线，切点为T,PBA是经过圆心的一条割线，若B是0P的中点，则PT的长是・
第22题第23题第24题
23・如图，已知OO的弦AB、CD相交于点P,PA=4,PB二3,PC=6>EA切00于点A,AE
与CD的延长线交于点E.AE=2街，那么PE的长•
24・如图，00的割线PAB交00于点A、B,PA=7cm,AB二5cm,P0=10cm,则OO的半径为.
26.如图，PT是OO的切线，切点是T,M是OO内一点，PM及PM的延长线交OO于B,
C,BM=BP=2,PT=2V5>0M=3,那么OO的半径为・
27.如图，已知AB是O0的直径，BC是和00相切于点B的切线，。
0的弦AD平行于0C,
若0A=2,且AD+OC二6,贝IJCD二・
28.如图，已知PA为00的切线，PBC为00的割线，PA=6血，PB=BC,的半径0C=5・那么弦BC的弦心距0M二
第28题第29题第30题
29.如图，已知RtAABC的两条直角边AC,BC的长分别为3,4,以AC为直径作圆与斜边
AB交于点D,则AD二・
30.如图，PT切00于点T,直径BA的延长线交PT于点P,若PT二4,PA二2,则OO的半径
长是■
31.如图，AB是（30的直径，CB、CE分别切00于点B、D,CE与BA的延长线交于点E,连接OC、0D.
（1）△OBC与厶ODC是否全等（填"是"或“否"）:
（2）已知DE=a,AE=b,BC=c,请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算00半径r的
一种方案：
1你选用的已知数是;
2
写出求解过程.（结果用字母表示）
【单点训练】切割线定理
参考答案与试题解析
一.选择题（共15小题）
1.（2004・呼和浩特）如图，PAB为割线且PA=AB,P0交00于C,若0C=3,0P=5,则AB的长为（）
A.
c.Ved.V5
考点：
v
切割线定理.
专题：
计算题.
分析：
延长P0到E,延长线与圆0交于点E,连接EB,AC,由半径0C的长，得到半径0E的长，再由0E+0P得岀EP的长，0P・0C得出CP的长.由PA二AB,设出PA=AB=x,则BP=2x，根据四边形ACEB为圆0的内接四边形，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形ACP与三角形EBP相似，由相似得比例，将各自的长代入列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AB的长.
解答：
解：
延长P0到E,延长线与圆0交于点E,连接EB・AC,
:
.EP=OE+OP=3+5=8,CP=0P-0C=5-3=2,设PA二AB二x,则BP=2x,
・・・四边形ACEB为圆0的内接四边形，
・•・ZACP=ZE,又ZP=ZP,
・•・△ACP-△EBP,
・p[]2x
■■II-■•Rp・・■■,
BPEP2k8
解得：
x=2近或x=-2近（舍去），
则AB二2近・
故选B
点评：
-
此题考査了圆内接四边形的性质，相似三角形的判左与性质，利用了转化及方程的思想，其中作岀如图所示的辅助线是解本题的关键.
2.（2006*泰安）如图，00的割线PAB交00于点A,B,PA=14cm,AB二10cm,PO=20cm,
则OO的半径是（）
10cm
C.
12cm
D.14cm
考点：
切割线泄理.
分析：
根据切割线左理代入公式即可求解.
解答：
解：
设圆O的半径是x,
则PA>PB=（PO-r）（PO+r）,
・•・14x（14+10）=（20-x）（20+x）,
解得x=&故选A.
点评：
本题的关键是利用割线左理求线段的长.
3.（2004＞镇江）如图，已知OO的弦AB.CD相交于点P,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,EA
4cm
B・3cm
C・5cm
则PE的长为（
D・V2cm
A.
考点:
切割线定理：
相交弦左理.
分析：
首先根据相交弦上理得PA・PB=PC・PD,得PD=2.设DE=x,再根据切割线左理得ae2=ed*ec,即
x（x+8）=20>x=2或（负值舍去），则PE=2+2=4・
解答：
解：
•・•PA・PB二PC・PD,PA=4cm,PB二3cm,PC=6cm,
・•・PD=2；
设DE二x,
•・•AE?
二ED・EC,
x（x+8）=20,
（
・•・x=2或x=-10（负值舍去）,
・•・PE=2+2=4・
故选A.
点评：
此题综合运用了相交弦左理和切割线怎理.
4.（2004・淮安）如图，001与002相交于A、B两点，PQ切OO］于点P,交于点Q、M,交AB的延长线于点N.若MQ=3,则NP等于（）
A.-B.V3
C.2
D・3
考点：
切割线立理：
切线长左理.
•根据切线长左理得PN2=NB>NA,根据割线左理得NB・NA二NM・NQ,所以PN2=NM*NQ
分析：
即可求得PN的长.
解答：
解：
•・•pn2=nb*na,nb・na二nm・nq,
・•・PN2=NM>NQ=4,
・•・PN=2・
故选c.
点评：
此题能够有机地把切割线定理和割线定理相结合，把要求的线段和已知的线段联系到—起.
5.（2004・三明）如图，PAB、PCD是00的两条割线，PA二3,AB二5,PC=4,则CD等于（）
B
D
12
5
考点：
切割线定理.
分析：
首先求得PB的长，再根据割线左理得PC・PD=PA・PB即可求得PD及CD的长.
解答:
解：
・••PA=3,AB二5,PC=4i
・・.PB二&
•・•PC・PD二PA・PB,
I
・•・PD二6,
・•・CD二6-4=2・
故选B.
点评：
此题主要是运用了割线左理.
6.（2005>荆门）已知PA是00的切线，A为切点，PBC是过点0的割线，PA=10cm,PB=5cm,则OO的半径长为（）
A.15cm<10cmC.D・5cm
B・
考点：
切割线泄理.
分析」
根据切割线宦理分析解答.
解答：
解：
根据切割线定理的pa2=po*pc,
所以100=5xPC,PC=20cm,BC=20-5=15cm・
因为PBC是过点0的割线，
所以00的半径长为15xi・
2
故选C.
点评：
利用切割线解题时要注意BC是直径，而求得是半径，不要误选A.
7.（2004・锦州）如图，00和OCT都经过点A和点B,点P在BA的延长线上，过P作00的割线PCD交00于C.D,作00,的切线PE切OCT于E,若PC=4,CD=5,则PE等于（）考点：
切割线泄理.
A.6
B
C.20
D.
分析：
根据割线定理得PA・PB=PC・PD,根据切割线立理得PE2=PA・PB,所以PE2=PC*PD.从而可求得PE的长.
解答：
解：
•・•PA・PB二PC・PD,PE2=PA*PB,PC=4,CD=5,
・•・PE2=PC*PD=36t
・•・PE=6・
故选A・
点评：
注意：
割线定理和切割线泄理的运用必须在同一个圆中.这里借助割线PAB,把要求的线段和已知线段建立了关系.
&（2004・天津）如图OO的两条弦AB、CD相交于点E,AC与DB的延长线交于点P,下列结论中成立的是（）
C.PC・CA二PB・BDD・PC・PA二PB・PD
CE・AE二BE・DE
考点：
切割线泄理：
相交弦左理.
分析：
根据相交弦建理的割线能理即可求解.
-解：
由相交弦定理知，CE・ED=BE・AE,由割线泄理知，PC・PA=PB・PD,只有D正确.
解答：
故选D.
点评：
本题利用了相交弦定理和割线宦理.
9・（2003・资阳）已知AB为OO的直径，C为AB的延长线上一点，过C的直线与相切于点D,若BC=2,CD二4,则00的半径长是（）
A.3，6C.8D・无法计算
B.
考点：
切割线定理.
分析：
I
设圆的半径是x,根据切割线宦理得CD2=CB・AC,可求得CA与AB的长，从而可得到圆的半径.
解答：
解：
设圆的半径是x；
•・•CD2二CB・AC,BC=2tCD二4.
・•・CA二&
AB=6>
・・・圆的半径是3・
故选A・
点评：
此题主要是运用了切割线泄理.
10.（2003>武汉）如图，已知OO1.002相交于A、B两点，且点01在002±,过A作001的切线AC交BOi的延长线于点P,交002于点C,BP交001于点D,若PD=1,PA=V5，则AC的长为（）
A-VsB・2VsC・2+Vs》3Vs
考点：
切线的性质；勾股泄理；切割线左理.
专题：
综合题.
分析：
根据PA2=PD*PB,作为相等关系可求得PB=5,BD=4,0iD=0iB=2,再根据割线定理PA・PC二P0—PB,可求得PC=3（^,从而求得AC=2V5・
&解：
•・•PA2=PD*PB>即（馅〉2=lxPBt
解答：
解得PB=5,
・•・BD=BP-PD=5-1=4,OiD=OiB=44-2=2,
•・・PA>PC=P0i*PB,
VSxPC=3x5,
即PC=3码
・•・AC=PC-AP=3a/5-衝.
故选B.
点评：
•
根据切割线左理和割线定理解答.此题要关注两个关键点：
A为两圆交点，PB过点
01.
11.（2004.温州）如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB.PCD分别为这两圆的割线.若PA二3,PB二6,PC=2,则PD等于（）
考点：
切割线泄理.
分析：
根据切割线左理得PT?
二PA・PB,PT2=PC>PD,所以PA・PB二PC・PD,从而可求得PD的长.
解答:
解：
•・•PT2=PA>PBtPT2=PC>PD,
・・.PA・PB二PC・PD,
・.・PA二3,PB二6,PC二2,
・・・PD二9・
故选B.
点评：
注意：
切割线左理和割线左理都是在同一个圆中运用的.此题借助切线把要求的线段和已知线段联系到了一起.
12.（2006・临沂）如图,在RtAABC中，AC=5,BC=12,OO分别与边AB,AC相切,切点
分别为E,c,5
UJOO的半径是（）
B
b
2c
>卫
B.16
c.20
D.23
A.3
3
3
3
考点：
1
切割线定理：
切线长左理.
分析：
根据切线长左理得AE二AC,根据勾股泄理得AB的长，从而得到BE的长，再利用切割线立理得BE2=BD*BC,从而可求得BD的长，也就得到了半径的长.
解答：
解:
B/AE=AC=5,AC=5,BC=12,
・•・AB二13,
・•・BE二&
・・•BE?
二BD・BC,
・・・圆的半径是丄p,
3
故选A.
点评：
此题综合运用了切线长左理、勾股龙理和切割线左理.
13.（2004・沈阳）如图，已知PAC为OO的割线,连接PO交OO于B,PB=2,OP=7,PA二AC,则PA的长为（）
PB\0
A.VYe2^3c.V14D.3^2
B.
考点：
切割线泄理.
分析:
•
设PA=x,延长P0交圆于D,根据割线泄理得PA・PC=PB・PD即可求得PA的长，也就求得了AC的长.
解答：
解：
设PA=x,延长P0交圆于D,
•/PA・PC=PB・PD,PB=2,0P=7,PA=AC,
/.x・2x=24,
x=2a/3・
故选B・
C
点评：
此题通过作辅助线构造割线定理列方程求解.
14.（2006*永州）如图,PA,PB为00的切线，A,B分别为切点,ZAPB=60\点P到圆心0的距离0P=2,则00的半径为（）
考点：
切割线左理；等边三角形的性质；勾股立理.
分析：
根据切线长左理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角,可知zAPO的度数，连接0A,可知0A丄AP,故在RtAAOP中，根据三角函数公式，可将半径求出.
解答：
解：
连接0A
•・・PA为00的切线
・•・PA丄OA
・.・zAPO=-lzAPB=3O°
2
・•.OA=OPxsinZAPO=2xil
2
00的半径为i
故选B・
A
点评：
本题主要考查圆的切线长泄理.
15.（2007・双柏县）如图，已知PA是00的切线，A为切点，PC与OO相交于B.C两点,PB=2cm,BC=8cm,则PA的长等于（）
16cm
C.20cm
考点：
切割线定理.
分析：
根据已知得到PC的长，再根据切割线左理即可求得PA的长.
解答：
解：
PB=2cm,BC=8cm>
PC=10cmt
・.・PA?
二PB・PC=20,
・•・PA二2屈
>
故选D・
点评：
此题主要是运用了切割线定理.注意：
切线长的平方应是PB和PC的乘积.
二、填空题（共15小题）（除非待别说明，请填准确值）
16.（2003・泸州）如图，OO1与002相交于C、D两点，001的割线PAB与DC的延长线交于点P,PN与002相切于点N,若PB=10,AB=6,贝ljPN=2顷•
02
fD
考点：
切割线泄理.
>根据割线泄理和切割线左理，可以证明pa・pb=pc・pd=pn2,从而求得PN的值.
分析：
解答：
解：
根据割线定理,得PA・PB二PC・PD二（10-6）xl0=40,
根据切割线建理，得PN2=PC・PD=40,
则PN=2VT0・
故答案为：
2\/10.
点评：
此题综合运用了割线左理和切割线立理进行计算.
17・（2003・常州）如图，PA切OO于点A,割线PBC交00于点B.C,若PA=6,PB二4,弧
ZPCA=
30
度，ZPAB二30
度.
考点：
切割线定理：
圆心角、弧、弦的关系：
圆周角泄理.
分析：
根据切割线左理得PA2=PB.PC可求得PC与BC的长，根据圆周角左理知：
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，即ZPCA=30°,最后根据弦切角左理得ZPAB=30。
.
解答：
解：
•・•PA2=PB>PC.PA二6,PB=4；
・•・PC=9,
・•・BC=5；
•.•弧AB的度数为60。
・•・ZPCA=30%
・•・ZPAB=30°.
点评：
此题综合运用了切割线左理和圆周角、弦切角与弧的度数的关系.
18.（2001*内江）如图，ABCD是边长为2a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切OO于E,与BA的延长线交于F,求EF的长.
答：
EF二_§a・
D
考点：
切割线泄理：
圆周角左理.
分析：
本题利用切线的性质，割线泄理，及圆周角定理，结合相似三角形的性质解答.解答：
解：
连接0E：
•・•CE切00于E,
・•・0E丄CF,
・•・△EF0〜&BFC,
・0E.FE.
'■bcTb'
又•・•oe」ab=Abc,
22
・•・EF=-FB；
2
设EF二x,则FB二2x,FA=2x-2a：
•・•FE切00于E,
・•・FE2=FA*FB,
・•.x2=（2x-2a）・2x,
解得
3
EF」a.
3
%本题考査切线的性质、切割线宦理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.解答此
点评：
题的关键是连接0E,构造出相似三角形，再解答.
19.（1999*贵阳）如图，已知00的割线PAB交OO于点A和B.PA=6cm,AB=8cm,P0交00于点C,且PO=10cm＞则OO的半径为4cm・
考点：
切割线定理.
分析：
延长P0交OO于D,设OO的半径是xcm.根拯割线左理列方程求解./解：
延长PO交00于D,设00的半径是xcm.
解答：
根据割线定理，得
PA・PB二PC・PD・
即（10・x）（10+x）=6x（6+8）,
100-x2=84,
x2=16>
x=±4（负值舍去）.
即圆的半径是4cm・
此题主要是通过作辅助线，构造割线，熟练运用割线立理列方程求解.点评：
20.（2002・四川）如图，PA、PB与OO分别相切于点A、点B,AC是OO的直径，PC交OO
于点D,已知ZAPB二60°,AC=2,那么CD的长为
考点：
切割线泄理：
切线的性质.
分析：
连接AD,OB,OP,根据已知可求得AP,PC的长，再根据切割线定理得，PA2=PD*PC,从而可求得PD与CD的长.
・解：
连接AD,OB・OP：
解答：
TPA、PB与OO分别相切于点A、点B,
・•・ZOAP二ZOBP=90°,ZAOB=180°・ZP=120%
・・・ZAOP二60°,AP=AOtan60°=V3>
・•・pc=Vt；
・・・PA2=PD本题考查切线的性质，勾股左理，四边形的内角和为360%切割线左理等的综合运用.
点评:
21.（2004・泸州）如图，在AABC中.ZC=90度.以BC为直径作00与斜边AB交于点D,且AD二,BD二，则AC=4cm・
考点：
切割线定理：
切线的判左.
分析：
先根据已知条件，证得AC是00的切线：
然后运用切割线泄理求出AC的长.色解:
BC是OO的直径，AC丄BC,
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