1、切割线定理习题切割线定理回顾旧知:请结合以上的两图写出相交弦圧理及推论的内容:相交弦窪理: 二、探索发现:P点从圆内向圆外移动时结论:PAPB=PCPD是否成立 你能给出合理的证明吗三、练习:(1) 已知 PAB. PCD 是圆 0 的割线,PA=5 , AB=3 , CD二3,则 PC= (2) 已知PT是圆0的切线,PA二4, PT=6 ,则圆O的而积= D(3)已知:圆0、O?圆相交于A、B, P是BA延长线上的一点,PCD是圆。的割线,PEF是圆Q的割线,求证:PCPD二PEPF巩固加深一、选择题(共15小题)1.如图,PAB为割线且PA二AB, P0交OO于C,若0C=3, OP二5
2、,则AB的长为( )A.V10 B. 22 C. V6 D. V5第1题 第2题 第3题2如图,00 的割线 PAB 交00 于点 A, B, PA=14cm, AB二 10cm, P0二20cm,则OO 的半 径是( )A.8cm B. 10cm C. 12cm D. 14cm3.如图,已知00的弦AB、CD相交于点P, PA二4cm, PB=3cm, PC=6cm. EA切OO于点A,AE与CD的延长线交于点E,若AE=2V5cm,则PE的长为( )A. 4cmB. 3cmC. 5cm4.如图,OOi与002相交于A、B两点,PQ切OOi于点P, 延长线于点N若 MN=1. MQ=3,则
3、NP 等于( )C. 2D. V2cm交002于点Q、M,交AB的第4题5.如图,PAB、第7题则CD等于( )第5题PCD 是OO 的两条割线,PA二3, AB二5, PC二4,D.15TB. 3124 5A. 15cmB. 10cmD. 5cm6.已知PA是OO的切线,A为切点,PBC是过点0的割线,PA=10cm, PB=5cm,则00的 半径长为( )7. (2004锦州)如图,00和OCT都经过点A和点B,点P在BA的延长线上,过P作00的割线PCD交00于C. D,作00,的切线PE切OCT于E,若PC=4, CD=5,则PE等于( )B.A.6C. 202V5&如图OO的两条弦A
4、B、CD相交于点E, AC与DB的延长线交于点P,下列结论中成立的 是( )A. CE*CD=BE*BAB.CEAE=BEDED. PGPA二PBPDC. POCA二PBBD第8题9已知AB为OO的直径,CD二4,则OO的半径长是( )第口题第10题C为AB的延长线上一点,过C的直线与相切于点D,若BC=2,D.无法计算10.如图.已知OOi. 002相交于A、B两点,且点6在002上,过A作001的切线AC交B0i的延长线于点P,交002于点C, BP交OOi于点D,若PD=1, PA出,则AC的长 为( )a. Vb B. 2a/b c. 2+a/b d. 3晶11.如图,PT是外切两圆的
5、公切线,T为切点,PAB, PCD分別为这两圆的割线.若PA=3,PB二6, PC=2,则 PD 等于( )C.822如图,在RtA ABC中,AC=5t 则OO的半径是(A.卫3BC=12,OO分别与边AB, AC相切,切点分别为E, C,203第12题 第13题 第14题23如图,已知PAC为OO的割线,连接P0交00于B, PB=2, 0P=7, PA二AC,则PA的长为( )A. Vr B. 23 c. V14 D. 3V214.如图,PA, PB为OO的切线,A, B分别为切点,Z APB二60。,点P到圆心0的距离0P=2,则OO的半径为( )15. (2007双柏县)如图,已知P
6、A是OO的切线,A为切点, 00相交于B、C两点,PB=2cm, BC=8cm则PA的长等于(A. 4cmC.20cmB. 16cmD.二 填空题(共15小题)(除非特别说明,请填准确值)交于点P,PN与002相切于点N,若PB=10, AB二6,则PN二16. (2003泸州)如图,OOi与002相交于C、D两点,001的割线PAB与DC的延长线第16题 第27题 第18题17.如图,PA切OO于点A,割线PBC交OO于点B、C,若PA=6, PB二4,狐AB的度数为60% 贝lj BC= , Z PCA= 度,Z PAB= 度.18.如图,ABCD是边长为2a的正方形,AB为半圆0的直径,
7、CE切00于E,与BA的延 长线交于F, EF的长 29.如图,已知OO的割线PAB交OO于点A和B, PA二6cm, AB二8cm, P0交00于点C,第19题 第20题 第21题20.如图,PA、PB与OO分别相切于点A、点B, AC是00的直径,PC交00于点D,已知Z APB=60 AC=2,那么CD的长为 21如图.在ZkABC中,Z C=90度.以BC为直径作00与斜边AB交于点D,且AD二,BD= 则 AC= cm.22.如图,PT是半径为4的00的一条切线,切点为T, PBA是经过圆心的一条割线,若B 是0P的中点,则PT的长是 第22题 第23题 第24题23如图,已知OO的
8、弦AB、CD相交于点P, PA=4, PB二3, PC=6 EA切00于点A, AE与CD的延长线交于点E. AE=2街,那么PE的长 24如图,00的割线PAB交00于点A、B, PA=7cm, AB二5cm, P0=10cm,则OO的半径 为 .26.如图,PT是OO的切线,切点是T, M是OO内一点,PM及PM的延长线交OO于B,C, BM=BP=2, PT= 2V5 0M=3,那么OO 的半径为 27.如图,已知AB是O0的直径,BC是和00相切于点B的切线,。0的弦AD平行于0C,若 0A=2,且 AD+OC二6,贝IJCD二 28.如图,已知PA为00的切线,PBC为00的割线,P
9、A=6血,PB=BC,的半径0C=5 那么弦BC的弦心距0M二第28题 第29题 第30题29.如图,已知RtAABC的两条直角边AC, BC的长分别为3, 4,以AC为直径作圆与斜边AB交于点D,则AD二 30.如图,PT切00于点T,直径BA的延长线交PT于点P,若PT二4, PA二2,则OO的半径长是 31.如图,AB是(30的直径,CB、CE分别切00于点B、D, CE与BA的延长线交于点E, 连接OC、0D.(1) OBC与厶ODC是否全等 (填是或“否):(2)已知DE=a, AE=b, BC=c,请你思考后,选用以上适当的数,设计出计算00半径r的一种方案:1你选用的已知数是 ;
10、2写出求解过程.(结果用字母表示)【单点训练】切割线定理参考答案与试题解析一.选择题(共15小题)1. (2004呼和浩特)如图,PAB为割线且PA=AB, P0交00于C,若0C=3, 0P=5,则AB 的长为( )A.c. Ve d. V5考点:v切割线定理.专题:计算题.分析:延长P0到E,延长线与圆0交于点E,连接EB, AC,由半径0C的长,得到半径0E 的长,再由0E+0P得岀EP的长,0P0C得出CP的长.由PA二AB,设出PA=AB=x, 则BP=2x,根据四边形ACEB为圆0的内接四边形,利用圆内接四边形的外角等于它 的内对角得到一对角相等,再由公共角相等,利用两对对应角相等
11、的两三角形相似, 可得出三角形ACP与三角形EBP相似,由相似得比例,将各自的长代入列出关于x 的方程,求出方程的解得到x的值,即为AB的长.解答:解:延长P0到E,延长线与圆0交于点E,连接EBAC,:.EP=OE+OP=3+5=8, CP=0P - 0C=5 - 3=2, 设 PA二AB二x,则 BP=2x,四边形ACEB为圆0的内接四边形, Z ACP=Z E,又Z P=Z P, ACP- EBP, p 2 x I I- Rp ,BP EP 2k 8解得:x=2近或x=-2近(舍去),则AB二2近故选B点评:-此题考査了圆内接四边形的性质,相似三角形的判左与性质,利用了转化及方程的思 想
12、,其中作岀如图所示的辅助线是解本题的关键.2. (2006*泰安)如图,00 的割线 PAB 交00 于点 A, B, PA=14cm, AB二 10cm, PO=20cm,则OO的半径是( )10cmC.12cmD. 14cm考点:切割线泄理.分析:根据切割线左理代入公式即可求解.解答:解:设圆O的半径是x,则 PAPB= (PO - r) (PO+r), 14x (14+10) = (20 -x) (20+x),解得x=& 故选A.点评:本题的关键是利用割线左理求线段的长.3. (2004镇江)如图,已知OO 的弦 AB. CD 相交于点 P, PA=4cm, PB=3cm, PC=6cm
13、, EA4cmB 3cmC 5cm则PE的长为(D V2cmA.考点:切割线定理:相交弦左理.分析:首先根据相交弦上理得PAPB=PCPD,得PD=2.设DE=x,再根据切割线左理得 ae2=ed*ec,即x (x+8) =20 x=2 或 (负值舍去),则 PE=2+2=4解答:解: PAPB二PCPD, PA=4cm, PB二3cm, PC=6cm,PD=2;设 DE二x, AE?二 EDEC,x ( x+8) =20,(x=2或x= - 10 (负值舍去),PE=2+2=4故选A.点评:此题综合运用了相交弦左理和切割线怎理.4. (2004淮安)如图,001与002相交于A、B两点,PQ
14、切OO于点P,交于点Q、 M,交AB的延长线于点N.若MQ=3,则NP等于( )A. - B. V3C. 2D3考点:切割线立理:切线长左理. 根据切线长左理得PN2=NBNA,根据割线左理得NBNA二NMNQ,所以PN2=NM*NQ分析:即可求得PN的长.解答:解: pn2=nb*na, nbna二nmnq, PN2=NMNQ=4,PN=2故选c.点评:此题能够有机地把切割线定理和割线定理相结合,把要求的线段和已知的线段联系到 起.5. (2004三明)如图,PAB、PCD是00的两条割线,PA二3, AB二5, PC=4,则CD等于( )BD125考点:切割线定理.分析:首先求得PB的长,
15、再根据割线左理得PCPD=PAPB即可求得PD及CD的长.解答:解: PA=3, AB二5, PC=4i.PB二& PCPD 二 PAPB,IPD二6,CD二6-4=2故选B.点评:此题主要是运用了割线左理.6. (2005荆门)已知PA是00的切线,A为切点,PBC是过点0的割线,PA=10cm, PB=5cm, 则OO的半径长为( )A. 15cm 圆的半径是3故选A点评:此题主要是运用了切割线泄理.10. (2003武汉)如图,已知OO1. 002相交于A、B两点,且点01在0 02,过A作001 的切线AC交BOi的延长线于点P,交002于点C, BP交001于点D,若PD=1, PA
16、=V5, 则AC的长为( )A- Vs B 2Vs C 2+Vs 3Vs考点:切线的性质;勾股泄理;切割线左理.专题:综合题.分析:根据PA2=PD*PB,作为相等关系可求得PB=5, BD=4, 0iD=0iB=2,再根据割线定理 PAPC二P0PB,可求得 PC=3(, 从而求得AC=2V5& 解: PA2=PD*PB 即(馅2=lxPBt解答:解得PB=5, BD=BP - PD=5 - 1=4, OiD=OiB=44-2=2, PAPC=P0i*PB,VSxPC=3x5,即PC=3码 AC=PC - AP=3a/5 - 衝.故选B.点评:根据切割线左理和割线定理解答.此题要关注两个关键
17、点:A为两圆交点,PB过点01.11.(2004.温州)如图,PT是外切两圆的公切线,T为切点,PAB. PCD分别为这两圆的割 线.若 PA二3, PB二6, PC=2,则 PD 等于( )考点:切割线泄理.分析:根据切割线左理得PT?二PAPB, PT2=PCPD,所以PAPB二PCPD,从而可求得PD的长.解答:解: PT2=PAPBt PT2=PCPD,.PAPB二PCPD,.PA二3, PB二6, PC二2,PD二9故选B.点评:注意:切割线左理和割线左理都是在同一个圆中运用的.此题借助切线把要求的线段 和已知线段联系到了一起.12. (2006临沂)如图,在RtA ABC中,AC=
18、5, BC=12, OO分别与边AB, AC相切,切点分别为E, c, 5UJOO的半径是( )Bb2 c 卫B. 16c. 20D. 23A. 3333考点:1切割线定理:切线长左理.分析:根据切线长左理得AE二AC,根据勾股泄理得AB的长,从而得到BE的长,再利用切割 线立理得BE2=BD*BC,从而可求得BD的长,也就得到了半径的长.解答:解:B/AE=AC=5, AC=5, BC=12, AB二 13,BE二& BE?二 BDBC,圆的半径是丄p,3故选A.点评:此题综合运用了切线长左理、勾股龙理和切割线左理.13. (2004沈阳)如图,已知PAC为OO的割线,连接PO交OO于B,
19、PB=2, OP=7, PA二AC, 则PA的长为( )P B 0A. VY e 23 c. V14 D. 32B.考点:切割线泄理.分析:设PA=x,延长P0交圆于D,根据割线泄理得PAPC=PBPD即可求得PA的长,也就 求得了 AC的长.解答:解:设PA=x,延长P0交圆于D,/ PAPC=PBPD, PB=2, 0P=7, PA=AC,/. x2x=24,x=2a/3故选BC点评:此题通过作辅助线构造割线定理列方程求解.14. (2006*永州)如图,PA, PB为00的切线,A, B分别为切点,Z APB=60点P到圆 心0的距离0P=2,则00的半径为( )考点:切割线左理;等边三
20、角形的性质;勾股立理.分析:根据切线长左理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的 连线,平分两条切线的夹角,可知z APO的度数,连接0A,可知0A丄AP,故在RtA AOP 中,根据三角函数公式,可将半径求出.解答:解:连接0APA为00的切线PA丄OA. z APO=-lz APB=3O2. OA=OPxsinZ APO=2xil200的半径为i故选BA点评:本题主要考查圆的切线长泄理.15. (2007双柏县)如图,已知PA是00的切线,A为切点,PC与OO相交于B. C两点, PB=2cm, BC=8cm,则 PA 的长等于( )16cmC. 20cm考点:切割线
21、定理.分析:根据已知得到PC的长,再根据切割线左理即可求得PA的长.解答:解:PB=2cm, BC=8cmPC=10cmt. PA?二PBPC=20,PA二2屈故选D点评:此题主要是运用了切割线定理.注意:切线长的平方应是PB和PC的乘积.二、填空题(共15小题)(除非待别说明,请填准确值)16. (2003泸州)如图,OO1与002相交于C、D两点,001的割线PAB与DC的延长线 交于点P, PN与002相切于点N,若PB=10, AB=6,贝lj PN= 2顷 02fD考点:切割线泄理. 根据割线泄理和切割线左理,可以证明papb=pcpd=pn2,从而求得PN的值.分析:解答:解:根据
22、割线定理,得PAPB二PCPD二(10-6)xl0=40,根据切割线建理,得PN2=PCPD=40,则 PN=2VT0故答案为:2/10.点评:此题综合运用了割线左理和切割线立理进行计算.17(2003常州)如图,PA切OO于点A,割线PBC交00于点B. C,若PA=6, PB二4,弧,Z PCA=30度,Z PAB二 30度.考点:切割线定理:圆心角、弧、弦的关系:圆周角泄理.分析:根据切割线左理得PA2=PB.PC可求得PC与BC的长,根据圆周角左理知:圆周角的度 数等于它所对的弧的度数的一半,即Z PCA=30,最后根据弦切角左理得ZPAB=30。.解答:解: PA2=PBPC. PA
23、二6, PB=4;PC=9,BC=5;.弧AB的度数为60。, Z PCA=30% Z PAB=30.点评:此题综合运用了切割线左理和圆周角、弦切角与弧的度数的关系.18. (2001*内江)如图,ABCD是边长为2 a的正方形,AB为半圆O的直径,CE切OO于E, 与BA的延长线交于F,求EF的长.答:EF二_a D考点:切割线泄理:圆周角左理.分析:本题利用切线的性质,割线泄理,及圆周角定理,结合相似三角形的性质解答. 解答:解:连接0E: CE切00于E,0E丄CF, EF0& BFC, 0E.FE. bcTb又 oeab=Abc,2 2 EF=-FB;2设 EF二x,则 FB二2x,
24、FA=2x - 2a: FE切00于E, FE2=FA*FB,. x2= (2x - 2a)2x,解得3EFa.3% 本题考査切线的性质、切割线宦理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.解答此点评:题的关键是连接0E,构造出相似三角形,再解答.19. (1999*贵阳)如图,已知00的割线PAB交OO于点A和B. PA=6cm, AB=8cm, P0交 00于点C,且PO=10cm则OO的半径为4 cm考点:切割线定理.分析:延长P0交OO于D,设OO的半径是xcm.根拯割线左理列方程求解. / 解:延长PO交00于D,设00的半径是xcm.解答:根据割线定理,得PAPB二PCPD即(10 x
25、) (10+x) =6x (6+8),100 - x2=84,x2=16x=4 (负值舍去).即圆的半径是4cm此题主要是通过作辅助线,构造割线,熟练运用割线立理列方程求解. 点评:20. (2002四川)如图,PA、PB与OO分别相切于点A、点B, AC是OO的直径,PC交OO于点D,已知ZAPB二60, AC=2,那么CD的长为考点:切割线泄理:切线的性质.分析:连接AD, OB, OP,根据已知可求得AP, PC的长,再根据切割线定理得,PA2=PD*PC, 从而可求得PD与CD的长. 解:连接AD, OBOP:解答:TPA、PB与OO分别相切于点A、点B, Z OAP二Z OBP=90, Z AOB=180 Z P=120% Z AOP二60, AP=AOtan60=V3 pc=Vt; PA2=PDPC,本题考查切线的性质,勾股左理,四边形的内角和为360%切割线左理等的综合运用.点评:21. (2004泸州)如图,在AABC中.Z C=90度.以BC为直径作00与斜边AB交于点D, 且 AD二,BD二,则 AC= 4 cm 考点:切割线定理:切线的判左.分析:先根据已知条件,证得AC是00的切线:然后运用切割线泄理求出AC的长. 色 解:BC是OO的直径,AC丄BC,
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