Lyapunov指数的计算方法.docx
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Lyapunov指数的计算方法
【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论
近期为了把计算LE的一些问题弄清楚,瞧了有7～9本书！
下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线,把目前已有的LE计算方法做一个汇总！
1、关于连续系统Lyapunov指数的计算方法 连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法,或者通过求解系统的微分方程,得到微分方程解的时间序列,然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。
关于连续系统LE的计算,主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。
（1）定义法
定义法求解Lyapunov指数、JPG
关于定义法求解的程序,与matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。
以Rossler系统为例
Rossler系统微分方程定义程序
functiondX=Rossler_ly（t,X）
% Rossler吸引子,用来计算Lyapunov指数
% a=0、15,b=0、20,c=10、0
% dx/dt=-y-z,
% dy/dt=x+ay,
% dz/dt=b+z（x-c）,
a=0、15;
b=0、20;
c=10、0;
x=X
（1）;y=X
（2）;z=X（3）;
%Y的三个列向量为相互正交的单位向量
Y=[X（4）,X（7）,X（10）;
X（5）,X（8）,X（11）;
X（6）,X（9）,X（12）];
%输出向量的初始化,必不可少
dX=zeros（12,1）;
%Rossler吸引子
dX
（1）=-y-z;
dX
（2）=x+a*y;
dX（3）=b+z*（x-c）;
%Rossler吸引子的Jacobi矩阵
Jaco=[0-1-1;
1a 0;
z0 x-c];
dX（4:
12）=Jaco*Y;
求解LE代码:
%计算Rossler吸引子的Lyapunov指数
clear;
yinit=[1,1,1];
orthmatrix=[100;
010;
001];
a=0、15;
b=0、20;
c=10、0;
y=zeros（12,1）;
%初始化输入
y（1:
3）=yinit;
y（4:
12）=orthmatrix;
tstart=0;%时间初始值
tstep=1e-3;%时间步长
wholetimes=1e5;%总的循环次数
steps=10;%每次演化的步数
iteratetimes=wholetimes/steps;%演化的次数
mod=zeros（3,1）;
lp=zeros（3,1）;
%初始化三个Lyapunov指数
Lyapunov1=zeros（iteratetimes,1）;
Lyapunov2=zeros（iteratetimes,1）;
Lyapunov3=zeros（iteratetimes,1）;
fori=1:
iteratetimes
tspan=tstart:
tstep:
（tstart+tstep*steps）;
[T,Y]=ode45（'Rossler_ly',tspan,y）;
%取积分得到的最后一个时刻的值
y=Y（size（Y,1）,:
）;
%重新定义起始时刻
tstart=tstart+tstep*steps;
y0=[y（4）y（7）y（10）;
y（5）y（8）y（11）;
y（6）y（9）y（12）];
%正交化
y0=ThreeGS（y0）;
%取三个向量的模
mod
（1）=sqrt（y0（:
1）'*y0（:
1））;
mod
（2）=sqrt（y0（:
2）'*y0（:
2））;
mod（3）=sqrt（y0（:
3）'*y0（:
3））;
y0（:
1）=y0（:
1）/mod
（1）;
y0（:
2）=y0（:
2）/mod
（2）;
y0（:
3）=y0（:
3）/mod（3）;
lp=lp+log（abs（mod））;
%三个Lyapunov指数
Lyapunov1（i）=lp
（1）/（tstart）;
Lyapunov2（i）=lp
（2）/（tstart）;
Lyapunov3（i）=lp（3）/（tstart）;
y（4:
12）=y0';
end
%作Lyapunov指数谱图
i=1:
iteratetimes;
plot（i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3）
程序中用到的ThreeGS程序如下:
%G-S正交化
functionA=ThreeGS（V） %V为3*3向量
v1=V（:
1）;
v2=V（:
2）;
v3=V（:
3）;
a1=zeros（3,1）;
a2=zeros（3,1）;
a3=zeros（3,1）;
a1=v1;
a2=v2-（（a1'*v2）/（a1'*a1））*a1;
a3=v3-（（a1'*v3）/（a1'*a1））*a1-（（a2'*v3）/（a2'*a2））*a2;
A=[a1,a2,a3];
计算得到的Rossler系统的LE为———— 0、063231 0、092635 -9、8924
Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0、09 0 -9、77
需要注意的就是——定义法求解的精度有限,对有些系统的计算往往出现计果与理论值有偏差的现象。
正交化程序可以根据上面的扩展到N*N向量,这里就不加以说明了,对matlab用户来说应该还就是比较简单的！
（2）Jacobian方法
通过资料检索,发现论坛中用的较多的LET工具箱的算法原理就就是Jacobian方法。
基本原理就就是首先求解出连续系统微分方程的近似解,然后对系统的Jacobian矩阵进行QR分解,计算Jacobian矩阵特征值的乘积,最后计算出LE与分数维。
经过计算也证明了这种方法精度较高,对目前常见的混沌系统,如Lorenz、Henon、Duffing等的Lyapunov指数的计算精度都很高,而且程序编写有一定的规范,个人很推荐使用。
（虽然我自己要做的系统并不适用
）
LET工具箱可以在网络上找到,这里就不列出了！
关于LET工具箱如果有问题,欢迎加入本帖讨论！
Jacobian法求解Lyapunov指数、JPG
对离散动力系统,或者说就是非线性时间序列,往往不需要计算出所有的Lyapunov指数,通常只需计算出其最大的Lyapunov指数即可。
“1983年,格里波基证明了只要最大Lyapunov指数大于零,就可以肯定混沌的存在”。
目前常用的计算混沌序列最大Lyapunov指数的方法主要有一下几种:
（1）由定义法延伸的Nicolis方法
（2）Jacobian方法
（3）Wolf方法
（4）P－范数方法
（5）小数据量方法
其中以Wolf方法与小数据量方法应用最为广泛,也最为普遍。
下面对Nicolis方法、Wolf方法以及小数据量方法作一一介绍。
（1）Nicolis方法
这种方法与连续系统的定义方法类似,而且目前应用很有限制,因此只对其理论进行介绍,编程应用方面就省略了Nicolis方法求最大LE、JPG
（2）Wolf方法Wolf方法求最大LE、JPG
Wolf方法的Matlab程序如下:
functionlambda_1=lyapunov_wolf（data,N,m,tau,P）
% 该函数用来计算时间序列的最大Lyapunov指数--Wolf方法
% m:
嵌入维数！
一般选大于等于10
% tau:
时间延迟！
一般选与周期相当,如我选2000
% data:
时间序列！
可以选1000;
% N:
时间序列长度满足公式:
M=N-（m-1）*tau=24000-（10-1）*1000=5000
% P:
时间序列的平均周期,选择演化相点距当前点的位置差,即若当前相点为I,则演化相点只能在|I－J|>P的相点中搜寻!
P=周期=600
% lambda_1:
返回最大lyapunov指数值
min_point=1 ;%&&要求最少搜索到的点数
MAX_CISHU=5; %&&最大增加搜索范围次数
%FLYINGHAWK
% 求最大、最小与平均相点距离
max_d=0; %最大相点距离
min_d=1、0e+100; %最小相点距离
avg_dd=0;
Y=reconstitution（data,N,m,tau）; %相空间重构可将此段程序加到
整个程序中,在时间循环内,可以保存时间序列的地方。
见完整程序。
M=N-（m-1）*tau; %重构相空间中相点的个数
fori=1:
（M-1）
forj=i+1:
M
d=0;
fork=1:
m
d=d+（Y（k,i）-Y（k,j））*（Y（k,i）-Y（k,j））;
end
d=sqrt（d）;
ifmax_d max_d=d;
end
ifmin_d>d
min_d=d;
end
avg_dd=avg_dd+d;
end
end
avg_d=2*avg_dd/（M*（M-1））; %平均相点距离
dlt_eps=（avg_d-min_d）*0、02; %若在min_eps～max_eps中找不到演化相点时,对max_eps的放宽幅度
min_eps=min_d+dlt_eps/2; %演化相点与当前相点距离的最小限
max_eps=min_d+2*dlt_eps ; %&&演化相点与当前相点距离的最大限
% 从P+1～M-1个相点中找与第一个相点最近的相点位置（Loc_DK）及其最短距离
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