小学奥数知识清单.docx
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小学奥数知识清单
小学奥数知识清单
1、和差倍问题
（1）和差问题
已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题。
（和＋差）÷2=较大数（和—差）÷2=较小数
如：
1、甲、乙两个仓库共存大米58吨，假如从甲仓调3吨大米到乙仓，两个仓库所存的大米正好相等。
甲、乙两个仓库各存大米多少吨？
（分析与解答附后）
（2）和倍问题
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，叫做和倍应用题。
和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数【或：
和－小数=大数】
如：
2、两个数相除的商是17余6，被除数、除数、商与余数的和是479。
求被除数是多少？
（分析与解答附后）
（3）差倍问题
已知两个数的差与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，叫做差倍应用题。
差÷（倍数－1）=小数小数×倍数=大数【或：
小数＋差=大数】
如：
3、两个钱数同样多，甲给乙50元，则乙的钱是甲的6倍，甲乙原来各多少元？
（分析与解答附后）
小结：
要想顺利解决和差倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确的列式计算。
2、年龄问题
年龄问题是日常生活中一种常见的问题，是指研究两人或者多人之间的年龄变化和关系的问题。
年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
小结：
不管时间如何变化，两人的年龄的差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键。
分析时，可借助线段图分析，结合和倍、差倍、和差等问题分析方法，灵活解题。
年龄差÷倍数差=年龄（满足当时倍数关系时候的年龄）
如：
4、叔叔比小华大20岁，明年叔叔的年龄是小华的3倍．小华今年几岁？
（分析与解答附后）
3、归一问题
基本特点：
问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
归一问题是在除法简单应用题的基础上发展起来的。
关键是先用除法求出
“单位数量”是多少，把它作为固定不变的数量，然后求其它的量。
如：
5、电扇厂4名工人5小时能安装80台电扇，现在要在12小时内安装384台，需增加几名工人？
（分析与解答附后）
4、植树问题
植树问题是在一定的线路上，根据总路程、间隔长和棵数进行植树的问题。
（1）在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树
棵数＝段数+1棵距×段数=总长
（2）在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树
棵数＝段数-1棵距×段数=总长
（3）在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树
棵数＝段数棵距×段数=总长
（4）封闭曲线上植树
棵数＝段数棵距×段数=总长
（5）在方形线路上植树，如果每个顶点都要植树
则棵数=（每边的棵数－1）×边数。
如：
6、在一条长400米的公路两旁，每隔4米植一棵树，共植树多少棵？
（两端都要栽）
7、有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次？
8、在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？
9、时钟4点钟敲4下，6秒钟敲完，那么12电钟敲12下，多少秒钟敲完？
（分析与解答附后）
小结：
解决植树问题的关键是确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
5、鸡兔问题
鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一，也叫“鸡兔同笼”问题。
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
1把所有鸡假设成兔子：
鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
2把所有兔子假设成鸡：
兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
如：
10、某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明共得72分，他做对了多少道题？
（分析与解答附后）
小结：
解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，假设全部是鸡，算出脚数，与题中给出的脚数相比较，看差多少，每差一个（4－2）只脚，就说明有1只兔，将所差的脚数除以（4－2），就可求出兔的只数。
同理，假设全部是兔，可求出鸡：
（鸡兔共有的只数×4-已知的脚的只数）÷（4-2）=鸡的只数。
6、盈亏问题
把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完，如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。
凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。
基本思路：
先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．
1一次有余数，另一次不足；（盈+亏）÷两次分配数的差=份数
②当两次都有余数；（大盈-小盈）÷两次分配数的差=份数
③当两次都不足；（大亏-小亏）÷两次分配数的差=份数
每次分的数量×份数+盈=总数量。
每次分的数量×份数-亏=总数量。
如：
11、三
（1）班班主任张老师和另外3位老师带领这班同学一起去公园划船，租来若干条船。
若4人一条船，则少一条船；若5人一条船，则多出一条船。
问一共租来多少条船？
参加划船的同学有多少个？
（分析与解答附后）
小结：
这类问题的基本特点是“对象总量和总的组数是不变的”。
关键是“确定对象总量和总的组数”。
7、牛吃草问题
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
基本思路：
假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
生长量=（较长时间×长时间牛头数－较短时间×短时间牛头数）÷（长时间－短时间）；
总草量=较长时间×长时间牛头数－较长时间×生长量；
如：
12、有一池泉，泉底不断涌出泉水，且每小时涌出的泉水一样多，如果用8部抽水机10小时能把全池泉水抽干，如果用12部抽水机6小时能把全池泉水抽干，那么14部抽水机多少小时能把全池泉水抽干？
（分析与解答附后）
小结：
这类问题的基本特点是“原草量和新草生长速度是不变的”。
关键是“确定两个不变的量”。
8、周期循环
周期现象：
事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
如：
13、在数列2、3、5、8、12、17、23….中，第2012个数字被5除所得余数是：
（）（分析与解答附后）
A、1B、3C、2D、4
小结：
对于周期循环问题，这类题目难度并不大，对于解题来说首先是要确定循环周期。
，其次就是要算出余数，按照这样的思路就一定可以把题目解出来，
9、平均数
平均数是统计学中最常用的统计量
基本公式：
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
如：
14、小明上山每小时行4千米，下山每小时行6千米。
小明上山和下山的平均速度是多少？
（分析与解答附后）
小结：
这类问题的基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：
根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。
10、抽屉原理
桌上有10个苹果，要把这10个苹果放到9个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。
这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
抽屉原则一：
如果把（n＋1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：
把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4＋0＋0②4=3＋1＋0③4=2＋2＋0④4=2＋1＋1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：
如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n÷m]＋1个物体：
当n不能被m整除时。
②k=n÷m个物体：
当n能被m整除时。
理解知识点：
[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
如：
15、六
（1）有52名学生，这个班至少有多少人的生日在同一个月？
（分析与解答附后）
小结：
这类问题的关键是“构造物体和抽屉”。
也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
11、定义新运算
定义新运算是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。
基本思路：
严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
如：
16、如果1※2＝1＋112※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋333＋3333计算：
（3※2）×5。
（分析与解答附后）
小结：
这类问题的关键是“正确理解定义的运算符号的意义”。
注意事项：
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12、数列求和
数列定义：
若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。
数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将用
来表示），第二个数叫做第二项
以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项（我们将用
来表示），数列中数的个数称为项数，我们将用n来表示。
如：
2，4，6，8，
，100
等差数列：
在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：
首项：
等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：
等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：
数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：
表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：
这一数列全部数字的和，一般用sn表示．
基本思路：
等差数列中涉及五个量：
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：
通项公式：
an=a1＋（n－1）d；通项＝首项＋（项数一1）×公差；
数列和公式：
sn=（a1＋an）×n÷2；数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：
n=（an＋a1）÷d＋1；项数=（末项－首项）÷公差＋1；
公差公式：
d=（an－a1））÷（n－1）；公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
如：
17、求算式1+4+7+10+……+2017的和（分析与解答附后）
关键问题：
确定已知量和未知量，确定使用的公式；
13、二进制及其应用
十进制：
用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。
所以234=200＋30＋4=2×102＋3×10＋4 二进制：
用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
二进制化成十进制：
10101
（2）=1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=21
十进制化成二进制：
1根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
如：
37=100101
（2）
37÷2=18=====余1
18÷2=9======余0
9÷2=4=======余1
4÷2=2=======余0
2÷2=1========余0
1÷2=0=========余1
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
14、加法乘法原理和几何计数
加法原理：
如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：
m1＋m2.......＋mn种不同的方法。
关键问题：
确定工作的分类方法。
基本特征：
每一种方法都可完成任务。
乘法原理：
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n－1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：
m1×m2.......×mn种不同的方法。
关键问题：
确定工作的完成步骤。
基本特征：
每一步只能完成任务的一部分。
如：
18、如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有3条路，从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路。
问：
从甲地到丁地共有多少种走法？
（分析与解答附后）
直线：
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：
没有端点，没有长度。
线段：
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点：
有两个端点，有长度。
射线：
把直线的一端无限延长。
射线特点：
只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：
总数＝1＋2＋3＋…＋（点数一1）；
如：
19、右图中共有（）个三角形
（分析与解答附后）
2数角规律=1＋2＋3＋…＋（射线数一1）；
3数长方形规律：
个数=长的线段数×宽的线段数：
如：
20、数一数各图中长方形的个数。
（分析与解答附后）
15、质数与合数
质数：
一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：
一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：
如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：
把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分析质因数的标准表示形式：
其中a1、a2、a3……a1都是合数N的质因数
约数个数：
P=（r1＋1）×（r2＋1）×（r3＋1）×……×（rn＋1）
所有约数的和：
如：
20、1988有多少个约数？
1988所有约数的和是多少
互质数：
如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16、约数与倍数
约数和倍数：
若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
（1）几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
（2）几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
（3）几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
（4）几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：
12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：
1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：
1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：
6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
（1）分解质因数法：
先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
（2）短除法：
先找公有的约数，然后相乘。
（3）辗转相除法：
每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：
12、24、36、48……；
18的倍数有：
18、36、54、72……；
那么12和18的公倍数有：
36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
（1）两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
（2）两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：
1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法
17、数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：
如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：
整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：
末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：
末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：
末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：
各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1.如果a、b能被c整除，那么（a＋b）与（a－b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
如：
21、三年级共有75名学生参加春游，交的总钱数为一个五位数“2□7□5”元，求每位学生最多可能交多少元？
（分析与解答附后）
18、余数及其应用
基本概念：
对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0＜r＜b，那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a－b或c|b－a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
如：
22、一个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是_____.（分析与解答附后）
19、余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a－b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b（modm），读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：
a≡a（modm）；
②对称性：
若a≡b（modm），则b≡a（modm）；
③传递性：
若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）；
④和差性：
若a≡b（modm），c≡d（modm），则a＋c≡b＋d（modm），a－c≡b－d（modm）；
⑤相乘性：
若a≡b（modm），c≡d（modm），则a×c≡b×d（modm）；
⑥乘方性：
若a≡b（modm），则an≡bn（modm）；
⑦同倍性:
若a≡b（modm），整数c，则a×c≡b×c（modm×c）；
如：
23、求437×309×1993被7除的余数。
（分析与解答附后）
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c＋d则MB=Mc＋d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n（mod9）或（mod3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y－X或M≡11－（X－Y）（mod11）；
如：
24、5272×38457÷11的余数是（）（分析与解答附后）
五、费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap－1≡1（modp）。
20、分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：
把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数单位：
把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数：
表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：
从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：
找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：
把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。
最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。
常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法：
为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：
在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。
有以下三种情况：
A、分量发生变化，总量不变。
B、总量发生变化，但其中有的分量不变。
C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：
用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：
总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：
一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
如：
25、甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。
第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。
这样，甲容器中的纯酒精含量为62.5%，乙容器中纯酒精含量为25%，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？
（分析与解答附后）
小结：
解一般分数应用题时的方法：
①先寻求单位“1”：
“的”的前面、“相当于”“是”“比”的后面的名词即是单位“1”。
②单位“1”有具体数字时，（带量的数字）要用乘法，反之用除法。
③单位“1”不统一时，要先统一单位“1”再做题。
（统一单位“1”一般统一为总量或不变量）
④通常解决分数应用题即找具体数值所针对的分数量。
21、分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：
使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法：
使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法：
确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：
当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法：
当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。
（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：
把所
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