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1、小学奥数知识清单 小学奥数知识清单1、和差倍问题 （1）和差问题已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题。（和差）2=较大数 （和差）2=较小数如：1、甲、乙两个仓库共存大米58吨，假如从甲仓调3吨大米到乙仓，两个仓库所存的大米正好相等。甲、乙两个仓库各存大米多少吨？（分析与解答附后）（2）和倍问题已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，叫做和倍应用题。和（倍数1）=小数 小数倍数=大数 【或：和小数=大数】如：2、两个数相除的商是17余6，被除数、除数、商与余数的和是479。求被除数是多少？（分析与解答附后）（3）差倍问题已知两个

2、数的差与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，叫做差倍应用题。差（倍数1）=小数 小数倍数=大数 【或：小数差=大数】如：3、两个钱数同样多，甲给乙50元，则乙的钱是甲的6倍，甲乙原来各多少元？（分析与解答附后）小结：要想顺利解决和差倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确的列式计算。2、年龄问题 年龄问题是日常生活中一种常见的问题， 是指研究两人或者多人之间的年龄变化和关系的问题。年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；小结：不管时间如何变化，两人的年龄的差总是不变的，抓

3、住“年龄差”是解答年龄问题的关键。分析时，可借助线段图分析，结合和倍、差倍、和差等问题分析方法，灵活解题。年龄差倍数差=年龄（满足当时倍数关系时候的年龄）如：4、叔叔比小华大20岁，明年叔叔的年龄是小华的3倍小华今年几岁？（分析与解答附后）3、归一问题基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。归一问题是在除法简单应用题的基础上发展起来的。关键是先用除法求出“单位数量”是多少，把它作为固定不变的数量，然后求其它的量。如：5、电扇厂4名工人5小时能安装80台电扇，现在要在12小时内安装384台，需增加几名工人？（分析与解答附后）4、植树问题植树问

4、题是在一定的线路上，根据总路程、间隔长和棵数进行植树的问题。（1） 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树棵数段数 + 1 棵距段数=总长（2） 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树棵数段数 - 1 棵距段数=总长（3） 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树棵数段数 棵距段数=总长（4） 封闭曲线上植树棵数段数 棵距段数=总长（5） 在方形线路上植树，如果每个顶点都要植树则棵数 = （每边的棵数1） 边数。如：6、在一条长400米的公路两旁，每隔4米植一棵树，共植树多少棵？（两端都要栽）7、有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次？8、在圆形的水池

5、边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？9、时钟4点钟敲4下，6秒钟敲完，那么12电钟敲12下，多少秒钟敲完？（分析与解答附后）小结：解决植树问题的关键是确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5、鸡兔问题鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一，也叫“鸡兔同笼”问题。基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：1 把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）2 把所有兔子假设成鸡：兔数（总

6、脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）如：10、某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明共得72分，他做对了多少道题？（分析与解答附后）小结：解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，假设全部是鸡，算出脚数，与题中给出的脚数相比较，看差多少，每差一个(42)只脚，就说明有1只兔，将所差的脚数除以( 42 )，就可求出兔的只数。同理，假设全部是兔，可求出鸡：（鸡兔共有的只数4-已知的脚的只数）（4-2）=鸡的只数。6、盈亏问题把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完，如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用

7、题就叫盈亏问题。基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量1 一次有余数，另一次不足； (盈+亏)两次分配数的差 = 份数当两次都有余数； (大盈-小盈)两次分配数的差 = 份数 当两次都不足； (大亏-小亏)两次分配数的差 = 份数每次分的数量份数+盈=总数量。 每次分的数量份数-亏=总数量。如：11、三(1)班班主任张老师和另外3位老师带领这班同学一起去公园划船，租来若干条船。若4人一条船，则少一条船；若5人一条船，则多出一条船。问一共租来多少条船？参加划船的同学有多少个？（分析与解答附后）小结：这类问

8、题的基本特点是“对象总量和总的组数是不变的”。关键是“确定对象总量和总的组数”。7、牛吃草问题牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 生长量=（较长时间长时间牛头数较短时间短时间牛头数）（长时间短时间）；总草量=较长时间长时间牛头数较长时间生长量；如：12、有一池泉，泉底不断涌出泉水，且每小时涌出的泉水一样多，如果用8部抽水机10小时能把全池泉水抽干，如果用12部抽水机6小时能把全池泉水抽干，那么14部抽水机多少小时能

9、把全池泉水抽干？（分析与解答附后）小结：这类问题的基本特点是“原草量和新草生长速度是不变的”。关键是“确定两个不变的量”。8、周期循环周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。如：13、在数列2、3、5、8、12、17、23.中，第2012个数字被5除所得余数是：（ ）（分析与解答附后）A、1 B、3 C、2 D、4小结：对于周期循环问题，这类题目难度并不大，对于解题来说首先是要确定循环周期。，其次就是要算出余数，按照这样的思路就一定可以把题目解出来，9、平均数平均数是统计学中最常用的统计量基本公式：平均数=总数量总份数总数量=平均数

10、总份数 总份数=总数量平均数平均数=基准数每一个数与基准数差的和总份数如：14、小明上山每小时行4千米，下山每小时行6千米。小明上山和下山的平均速度是多少？（分析与解答附后）小结：这类问题的基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算.基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式。10、抽屉原理桌上有10个苹果，要把这10个苹果放到9个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面

11、至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。抽屉原则一：如果把（n1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：4=400 4=310 4=220 4=211观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中nm，那么必有一个抽屉至少有:k=nm 1个物体：当n不能被m整除时。k=nm个物体：当n能被m整除时。理解知识点：X表示不超过X的最大整数。例4.351=4；

12、0.321=0；2.9999=2；如：15、六（1）有52名学生，这个班至少有多少人的生日在同一个月？（分析与解答附后）小结：这类问题的关键是“构造物体和抽屉”。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。11、定义新运算定义新运算是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。如：16、如果12111 23222222 343333333333333 计算：（32）5。（分析与解答附后）小结：这类问题的关键是“正确理解定义的运算符号的意义”。注意事项：新的

13、运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。12、数列求和数列定义：若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将用 来表示），第二个数叫做第二项以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项（我们将用 来表示），数列中数的个数称为项数，我们将用 n 来表示。如：2，4，6，8，100等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；通项：表示数列

14、中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用sn表示基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式：an= a1（n1）d； 通项首项（项数一1) 公差；数列和公式：sn= (a1 an)n2；数列和（首项末项）项数2；项数公式：n= (an a1)d1；项数=（末项首项）公差1；公差公式：d =（ana1）（n1）；公差=（末项首项）（项数1）；如：17、求算式1+4+7+10+2017的和（分析与解答附后）关键问

15、题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；13、二进制及其应用十进制：用09十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200304=21023104 二进制：用01两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。二进制化成十进制：10101（2）=124+023+122+021+120=21十进制化成二进制：1 根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。如：37=100101（2）372=18=余1182=9=余092=4=余142=2=余022=1=余012

16、=0=余1先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。14、加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1 m2. mn种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法不管前面n1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有

17、：m1m2. mn种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。如： 18、如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有3条路，从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路。问：从甲地到丁地共有多少种走法？（分析与解答附后）直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数123（点数一1）；如：19、右图中共有（ ）个三角形（分析与解答附后）2 数角规律=123（射线数一

18、1）；3 数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：如：20、数一数各图中长方形的个数。（分析与解答附后）15、质数与合数质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分析质因数的标准表示形式：其中a1、a2、a3a1都是合数N的质因数约数个数：P=(r11)(r21)(r31)(rn1)所有约数的和：如： 20、

19、1988有多少个约数？1988所有约数的和是多少互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。16、约数与倍数约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：（1）几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。（2）几个数的最大公约数都是这几个数的约数。（3）几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。（4）几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2

20、、3、6、9、18；那么12和18的公约数有：1、2、3、6；那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；求最大公约数基本方法：（1）分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。（2）短除法：先找公有的约数，然后相乘。（3）辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12的倍数有：12、24、36、48；18的倍数有：18、36、54、72；那么12和18的公倍数有：36、72、108；那么12和18最小的公倍数是36，记作12，18=36；最小

21、公倍数的性质：（1）两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。（2）两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法17、数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“”，所以的符号“”；二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成

22、的数能被8、125整除。4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。5. 能被7整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。6. 能被11整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。7. 能被13整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么（

23、ab）与（ab）也能被c整除。2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。如：21、三年级共有75名学生参加春游，交的总钱数为一个五位数“275”元，求每位学生最多可能交多少元？（分析与解答附后）18、余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得ab=qr，且0rb，那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。余数的性质： 余数小于除数。若a、b除以c的余数相同，则c|ab或c|ba。a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以

24、c的余数的和除以c的余数。a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。如：22、 一个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是_.（分析与解答附后）19、余数、同余与周期一、同余的定义：若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。已知三个整数a、b、m，如果m|ab，就称a、b对于模m同余，记作ab(mod m)，读作a同余于b模m。二、同余的性质：自身性：aa(mod m)；对称性：若ab(mod m)，则ba(mod m)；传递性：若ab(mod m)，bc(mod m)，则a c(mod m)；和差性：若ab(mod m)，cd(m

25、od m)，则acbd(mod m)，acbd(mod m)；相乘性：若a b(mod m)，cd(mod m)，则ac bd(mod m)；乘方性：若ab(mod m)，则anbn (mod m)；同倍性:若a b(mod m)，整数c，则ac bc(mod mc)；如：23、求4373091993被7除的余数。（分析与解答附后）三、关于乘方的预备知识：若A=ab，则MA=Mab=（Ma）b若B=cd则MB=Mcd=McMd四、被3、9、11除后的余数特征：一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则Mn(mod 9)或（mod 3）；一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M

26、的各个偶数数位上数字的和，则MYX或M11（XY）(mod 11)；如：24、52723845711的余数是（ ）（分析与解答附后）五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap11(mod p)。20、分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。对应思维方法：找出题目中具体的量与

27、它所占的率的直接对应关系。转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。替换

28、思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。如：25、甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。这样，甲容器中的纯酒精含量为62.5%，乙容器中纯酒精含量为25%，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？ （分析与解答附后）小结 ：解一般分数应用题时的方法：先寻求单位“1”：“的”的前面、“相当于”“是”“比”的后面的名词即是单位“1”。单位“1”有具体数字时，（

29、带量的数字）要用乘法，反之用除法。单位“1”不统一时，要先统一单位“1”再做题。（统一单位“1”一般统一为总量或不变量）通常解决分数应用题即找具体数值所针对的分数量。21、分数大小的比较基本方法：通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）转化比较方法：把所