特殊三角形等腰旁等角模型.docx

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特殊三角形等腰旁等角模型

“等腰旁等角”模型

知识目标：

模块一

等腰直角旁直角

例1、例2、例3、例4

难度：

★★★

模块二

等腰旁等角

例5、例6、例7

难度：

★★★★

模块一：

等腰直角旁直角

例1

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，求证：

∠ADB＝45°.

练习

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∠BDA＝45°，求证：

∠BDC＝90°.

例2

如图，△ABC中，AB＝AC，∠BDC＝90°，∠ADB＝45°，求证：

∠BAC＝90°.

练习：

如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠ADB＝45°，求证：

AB＝AC

总结归纳

（1）“等腰直角对直角”和“等腰直角旁直角”本质是一样的（四点共圆），唯一的区别就在于：

两个90度异侧时，AD平分∠BDC；两个90度同侧时，AD平分∠BDC的外角.

（2）以上四题，仍可分为两种类型：

前两题时“知等腰RT△，证外角平分线”，辅助线是“对45°作垂构造手拉手模型”；后两题是“知外角平分线，证等腰RT△”，辅助线是“作双垂”.可见，上一讲总结的“等腰对补角”的作法，对“等腰旁等角”依然适用.

（3）要灵活理解题目的条件或结论，如【例1】中要证的∠ADB＝45°等价于

∠ADC＝135°.

例3

如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰直角三角形，C是线段OB上一动点（C点不与OB的中点重合），以AC为直角边作等腰RT△ACD（点A、C、D按顺时针方向标识，C为直角顶点）.在C点的运动过程中，OA与OD的位置关系是否发生变化？

请说明理由.

例4

（2015-2016汉阳区八上期中）

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E.

（1）如图1，若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②求证：

BD＝2EC.

（2）

如图2，过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE、CE、AF之间的数量关系，并证明你的猜想.

练习

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠CAB的平分线交CB于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC于M，连CD，则下列结论：

①AC＋CE＝AB；②BD＝

AE；③∠CDA＝45°；④

为定值.其中正确的有____________________个.

挑战压轴题

（2015-2016洪山区八上期中）

已知直线AB交x轴于点A（a，0）.交y轴于点B（0，b），且a、b满足

（1）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，BE延长线交x轴于点G，连OE，求证：

EO平分∠AEG.

（2）如图2，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE到D，使BD＝AC，连OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由.

（3）

如图3，若点C在OB上，点F在AB的延长线上且AC＝CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于Q，试求

的值.

模块二等腰旁等角

例5

如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，射线BD上有一点P，且∠BPC＝∠BAC.

求证：

∠APC＝∠APD.

练习

如图，已知△ABC，射线BD上有一点P，且∠CPB＝∠CPA＝∠CAB＝60°.

（1）求证：

△ABC是等边三角形；

（2）

试探究PA、PB、PC之间的数量关系.

例6

（2015-2016七一中学月考）

如图，BD＝CD，AD平分∠BAC的外角.

（1）求证：

∠ABD＝∠ACD；

（2）试探究∠BAD与∠BCD的关系并证明.

拓展

如图，已知BD＝CD，∠ADB＝∠ACB，求证：

AD平分∠BAC的外角.

例7

已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝2∠C＝2α，点E在AD上，点F在DC上.

（1）如图1，若α＝45°，∠BDC的度数为_________________；

（2）如图2，当α＝45°，∠BEF＝90°时，求证：

BE＝EF；

（3）如图3，若α＝30°，则当∠BEF＝_____________时，使得EB＝EF成立？

请填空并说明理由.

挑战压轴题

（2016-2017二中八上期中第16题）

如图，已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC＝AD＝6，BC＝9，DE＝DF，

∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，BE＝2，点F在射线AC上，则AF的长为____________.

“等腰旁等角”模型

基础巩固

1.

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠CAB的平分线交CB于D，BM⊥AD于M，MH⊥AB于H，有下列结论：

①AD＝2BM；②AC＋AB＝2AH；③AB－AC＝2BH；④∠AHC＝45°，其中正确的有（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2.如图，四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AB，∠BAD＝90°，∠D＝45°，E是BC上一点，F是CD上一点.

（1）若EF⊥AE，求证：

AE＝EF.

（2）若AE＝EF，求证：

EF⊥AE.

3.如图，已知等边△ABC，射线BD上有一点P，且∠BPC＝60°.

（1）求证：

∠APC＝∠APD＝60°；

（2）

若BP＝3，PA＝4，求PC的长.

4.如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线CE上一动点，且∠BAC＝2∠BDO，过D作DM⊥AB于M.

（1）求证：

∠ABD＝∠ACD；

（2）求证：

AD平分∠BAE；

（3）

当A点运动时，

的值是否变化？

若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由.

综合训练

5.（2016-2017外校八上期中第24题）

已知，在平面直角坐标系中，点A（－3，0），点B（0，3），点Q为x轴正半轴一动点，过点A作AC⊥BQ于C，交y轴于点D.

（1）若点Q的坐标为（2，0），试求点D的坐标；

（2）若点Q在x轴正半轴上运动，且OQ＜3，其他条件不变，连OC，求证：

∠OCQ的度数不变；

（3）

有一等腰直角△AMN绕A旋转，且AM＝MN，∠AMN＝90°，连BN，点P为BN的中点，猜想OP与MP的数量和位置关系并证明.