特殊三角形等腰旁等角模型.docx

1、特殊三角形等腰旁等角模型 “等腰旁等角”模型知识目标：模块一等腰直角旁直角例1、例2、例3、例4难度：模块二等腰旁等角例5、例6、例7难度：模块一：等腰直角旁直角例1 如图，ABC为等腰直角三角形，BAC90，BDC90，求证：ADB45.练习如图，ABC为等腰直角三角形，BAC90，BDA45，求证：BDC90.例2如图，ABC中，ABAC，BDC90，ADB45，求证：BAC90.练习：如图，ABC中，BAC90，BDC90，ADB45，求证：ABAC总结归纳（1） “等腰直角对直角”和“等腰直角旁直角”本质是一样的（四点共圆），唯一的区别就在于：两个90度异侧时，AD平分BDC；两个90

2、度同侧时，AD平分BDC的外角.（2） 以上四题，仍可分为两种类型：前两题时“知等腰RT，证外角平分线”，辅助线是“对45作垂构造手拉手模型”；后两题是“知外角平分线，证等腰RT”，辅助线是“作双垂”.可见，上一讲总结的“等腰对补角”的作法，对“等腰旁等角”依然适用.（3） 要灵活理解题目的条件或结论，如【例1】中要证的ADB45等价于ADC135.例3如图，在平面直角坐标系中，OAB为等腰直角三角形，C是线段OB上一动点 （C点不与OB的中点重合），以AC为直角边作等腰RTACD（点A、C、D按顺时针方向标识，C为直角顶点）.在C点的运动过程中，OA与OD的位置关系是否发生变化？请说明理由.

3、例4（2015-2016汉阳区八上期中）如图，在ABC中，BAC90，ABAC，D是AC边上一动点，CEBD于E.（1） 如图1，若BD平分ABC时，求ECD的度数；求证：BD2EC.（2） 如图2，过点A作AFBE于点F，猜想线段BE、CE、AF之间的数量关系，并证明你的猜想.练习如图，在ABC中，ACB90，ACBC，CAB的平分线交CB于E，BDAE于D，DMAC于M，连CD，则下列结论：ACCEAB；BDAE；CDA45；为定值. 其中正确的有_个.挑战压轴题（2015-2016洪山区八上期中）已知直线AB交x轴于点A（a，0）. 交y轴于点B（0，b），且a、b满足（1） 如图1，若

4、点C在第一象限，且BEAC于点E，BE延长线交x轴于点G，连OE，求证：EO平分AEG.（2） 如图2，若点C在第一象限，且BEAC于点E，延长BE到D，使BDAC，连OC、OD、CD，试判断COD的形状，并说明理由.（3） 如图3，若点C在OB上，点F在AB的延长线上且ACCF，ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQAF于Q，试求的值.模块二 等腰旁等角例5如图，在等腰ABC中，ABAC，射线BD上有一点P，且BPCBAC .求证：APCAPD .练习如图，已知ABC，射线BD上有一点P，且CPBCPACAB60.（1） 求证：ABC是等边三角形；（2） 试探究PA、PB、PC之间的数

5、量关系.例6（2015-2016七一中学月考）如图，BDCD，AD平分BAC的外角.（1） 求证：ABDACD；（2） 试探究BAD与BCD的关系并证明. 拓展如图，已知BDCD，ADBACB，求证：AD平分BAC的外角.例7已知四边形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC2C2，点E在AD上，点F在DC上.（1） 如图1，若45，BDC的度数为_；（2） 如图2，当45，BEF90时，求证：BEEF；（3） 如图3，若30，则当BEF_时，使得EBEF成立？请填空并说明理由.挑战压轴题（2016-2017二中八上期中第16题）如图，已知ABC和DEF为等腰三角形，ABACAD6，BC9，DE

6、DF，BACEDF，点E在AB上，BE2，点F在射线AC上，则AF的长为_. “等腰旁等角”模型基础巩固1. 如图，在ABC中，ACB90，ACBC，CAB的平分线交CB于D，BMAD于M，MHAB于H，有下列结论： AD2BM； ACAB2AH； ABAC2BH；AHC45，其中正确的有（ ）A 1个 B 2个C 3个D 4个 2. 如图，四边形ABCD中，BCAD，BCAB，BAD90，D45，E是BC上一点，F是CD上一点.（1） 若EFAE，求证：AEEF.（2） 若AEEF，求证：EFAE.3. 如图，已知等边ABC，射线BD上有一点P，且BPC60.（1） 求证：APCAPD60；

7、（2） 若BP3，PA4，求PC的长. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线CE上一动点，且BAC2BDO，过D作DMAB于M.（1） 求证：ABDACD；（2） 求证：AD平分BAE；（3） 当A点运动时，的值是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由.综合训练5. （2016-2017外校八上期中第24题）已知，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，3），点Q为x轴正半轴一动点，过点A作ACBQ于C，交y轴于点D.（1） 若点Q的坐标为（2，0），试求点D的坐标；（2） 若点Q在x轴正半轴上运动，且OQ3，其他条件不变，连OC，求证：OCQ的度数不变；（3） 有一等腰直角AMN绕A旋转，且AMMN，AMN90，连BN，点P为BN的中点，猜想OP与MP的数量和位置关系并证明.