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数列教案整理
数列教案
（数列的概念，等差数列，等比数列，求数列通项公式，数列求和，综合练习）
数列的概念
（1）数列定义：
按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位
置的叫第2项，
数列的一般形式：
……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an；
a1,a?
a3,,an,，简记作a*。
1数列的项具有有序性，一个数列不仅与构成数列的‘数’有关，而且与这些数的排列顺序有关,意与集合中的无序性区分开。
2数列的项具有可重复性，数列中的数可重复出现，这也要与集合中的互异性区分开来。
例：
判断下列各组元素能否构成数列
（1）a,-3,-1,1,b,5,7,9;
（2）
2010年各省参加高考的考生人数。
1n2k1
2同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，an=
（1）n=（kZ）;
1,n2k
3不是每个数列都有通项公式。
例如，1,,,,……
（3）数列的函数特征与图象表示：
序号：
123456
项：
456789
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列
实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数f（n）当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列
函数值f
（1）,f
（2）,f（3）,……,f（n）,……•通常用an来代替fn,其图象是一群孤立点。
例：
画出数列an2n1的图像.
（4）数列的表示法：
1列表法2图像法：
在平面直角坐标系中，数列的图像是一列横坐标为正整数的孤立的点（n,a）3通项公式法：
将数列用一个数学式子表示出来的方法。
（5）数列分类：
①按数列项数是有限还是无限分：
有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关
系分：
单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
例：
下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
（1）1,2,3,4,5,6,…
（2）10,9,8,7,6,5,…
（3）1,0,1,0,1,0,…（4）a,a,a,a,a,…
（6）数列｛an｝的前n项和Sn与通项an的关系：
an
S（n1）SnSni（n>2）
例：
已知数列｛an｝的前n项和sn2n23，求数列｛an｝的通项公式
练习:
1•根据数列前4项，写出它的通项公式:
（6）8,88,888,8888
2•数列an中，已知an
（1）与出a1,,a2,a3,an1,an2；
2
（2）792是否是数列中的项？
若是，是第几项?
3
等差数列
题型一、等差数列定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这
个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
用递推公式表示为
anan1d（n2）或an1a.d（n1）。
例：
等差数列an2n1,anan1
题型二、等差数列的通项公式：
ana1（n1）d；
说明：
等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：
d0为递增数列，d0为常数列，d0为递减数列。
例：
1.已知等差数列an中，a7ag16,a°1,则a^等于（）
A.15B•30C•31D•64
2.｛an｝是首项a11，公差d3的等差数列，如果％2005，则序号n等于
（A）667（B）668（C）669（D）670
3.等差数列an2n1,bn2n1，则a.为bn为（填“递增数列”或
“递减数列”）
题型三、等差中项的概念：
a,A,b成等差数列
Aab即:
2a,
2
n1anan2
（2an
anmanm）
例：
1.（06全国1）设耳
是公差为正数的等差数列，
若a〔a?
83
15,a〔a283
80,则a〔1a〔2a〔3
A.120B
•105
C.90D
.75
定义：
如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
其中A
（）
2.设数列｛an｝是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是（）
A.1
题型四、等差数列的性质:
例：
1.如果等差数列中，，那么
（2010重庆文）
（2）在等差数列中，，则的值为（
D.i
A2c1
A.B.C.
33
10.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为，若，则
11.（00全国）设｛an｝为等差数列，S为数列｛an｝的前n项和，已知S=7,Ss=75,Tn为数列的前n项和，求Tn。
12.等差数列an的前n项和记为Sn,已知a1030,a2050
①求通项an；②若Sn=242,求n
13.在等差数列｛an｝中，
（1）已知S848,S12168,求內和d；
（2）a610,S55,求a*和£；（3）已知a3劭40,求07
题型六.对于一个等差数列：
（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd；②
S偶an1
…»S奇n
（2）若项数为奇数，设共有2n1叽则①S奇S偶ana中；②二奇—
S偶n1题型七.对于一个等差数列，Sn,S2nSn,S3nS?
n仍成等差数列。
例：
1.等差数列｛&｝的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）
2.一个等差数列前n项的和为48,前2n项的和为60，则前3n项的和为
3•已知等差数列an的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为
②中项法:
4.设Sn为等差数列an的前n项和，S414,SwS730,则S9=
③通项公式法:
④前n项和公式法:
Sn
An2Bn
（A,B为常数）
an是等差数列
例：
1.
已知数列｛an
｝满足anan12,
则数列｛an｝为（）
A.等差数列
B.等比数列C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
2.
已知数列｛an
｝的通项为an2n
5，则数列｛an｝为（）
A.等差数列
B.等比数列C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
3.
已知一个数列
｛an｝的前n项和Sn
2n24，则数列｛an｝为（）
A.等差数列
B.等比数列C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
4.
已知一个数列
｛an｝的前n项和Sn
2
2n，则数列｛an｝为（）
A.等差数列
B.等比数列C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
5.
已知一个数列
｛an｝满足an22a
n1an0，则数列｛an｝为（
）
A.等差数列
B.等比数列C.
既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
6.
数列an满足a1=8,a42,且
an22an1an0（nN）
①求数列a
In的通项公式；
7.
（01天津理，
2）设S是数列｛an｝的前n项和，且s=n2，则｛an｝是（
）
A.等比数列，
但不是等差数列
B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列
D.既非等比数列又非等差数列
题型九•数列最值
（1）ai0,d0时，Sn有最大值；ai0,d0时，Sn有最小值;
（2）Sn最值的求法：
①若已知Sn，的最值可求二次函数的最值;
可用二次函数最值的求法（nN）；②或者求出中的正、负分界项，即:
值.
1.数列｛an｝的前n项和Sn
1.
（1）试写出数列的前5项；
（2）数列｛an｝是等差数列吗？
（3）你能写出数
列｛an｝的通项公式吗?
2.已知数列an的前n项和Sn
n24n1,则
_2_
3.（2005湖北卷）设数列｛an｝的前n项和为S=2n，求数列｛an｝的通项公式;
1
4.已知数列an中，a13,前n和Sn-（n1）何1）1
①求证：
数列an是等差数列
②求数列an的通项公式
5.（2010安徽文）设数列的前n项和，则的值为（）
（A15（B）16（C）49（D）64
等比数列
等比数列定义
那么这个数列就叫做等比数
q（q0）。
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数
列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：
an1:
一、递推关系与通项公式
1•在等比数列an中,a14,q2，则an
2.在等比数列an中，a712,q近,则a19.
3.（07重庆文）在等比数列｛an｝中，a2=8,a=64,,则公比q为（）
（A）2（B）3（C）4（D）8
4.在等比数列an中，a22,a554，则a8=
比数列的必要而不充分条件
例：
1.2.3和2,3的等比中项为
（2）qnm亚,a/anmanm（nN）
am
（3）an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.
（4）an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列
例：
1.在等比数列耳中，3和a10是方程2x25x10的两个根，则a4a7（）
5
（A）-
2
（B）手
2
（C）
1
2
1
（D）-
2
2.在等比数列an
，已知a1
5,a9a10
100,
则a18=
3.在等比数列an
中，a1a6
33,a3a4
32,
anan1
①求an
②若Tnlga1
lga2
lgan,求Tn
4.等比数列｛a*｝的各项为正数，且玄5玄6玄4玄718,则log3aAlog3a2Llogsag（）
A.12B.10C.8D.2+|og35
5.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，（）
A.
B.
C.D
2.前n项和公式
（q
1）
Sn6（1qn）
a1
anq（q1）
1q
1
q
例：
1.已知等比数列｛an｝的首相a15，公比q2，则其前n项和Sn
1
2.已知等比数列｛an｝的首相印5，公比q，当项数n趋近与无穷大时，其前n项
2
和Sn
3.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,已a26,6a1a330,求an和Sn
4.（2006年北京卷）设f（n）22427210L23n10（nN），则f（n）等于（）A.|（8n1）B.|（8n11）C.|（8n31）D.|（8n41）
5.（1996全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为S,若S+S=2$,求数列的公比q；
6.设等比数列｛an｝的公比为q,前n项和为Sn,若S+1,Sn,S+2成等差数列，则q
的值为.
3.若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk,S?
kSk,S3kS2k成等比数列
如下图所示：
S3k
a1a2a3akak1a2ka2k1a3k
SkS2kSkS3kS2k
例：
1.（2009辽宁卷理）设等比数列｛｝的前n项和为，若=3,贝U=
A.2B.C.
2.一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为（）
A.83B.108C.75D.63
3.已知数列an是等比数列，且Sm10,S2m30,则Ssm
4.
等比数列的判定法
2
（2）中项法：
an1anan2（an0）an为等比数列；
（3）通项公式法：
ankqn（k,q为常数）an为等比数列；
（4）前n项和法：
Snk（1qn）（k,q为常数）an为等比数列。
Snkkqn（k,q为常数）a.为等比数列。
例：
1.已知数列｛an｝的通项为an2n，则数列｛an｝为（）
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
2
2.已知数列｛an｝满足an1anan2（an0），则数列｛an｝为（）
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
3.已知一个数列｛an｝的前n项和Sn22n1，则数列｛an｝为（）
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
S1（n1）
5.利用an1'求通项.
SnSn1（n2）
的值及数列｛an｝的通项公式.
2.（2005山东卷）已知数列
an的首项a15,前n项和为Sn，且Sn1&n5（nN*），证明数
列an1是等比数列.
求数列通项公式方法
（1）•公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列的定义求通项
例：
1已知等差数列｛an｝满足：
a37,a5ay26,求an;
2.已知数列｛an｝满足a1
2,an
an1
1（n1），求数列｛an｝的通项公式；
3.数列an满足a1=8,
a42,
^且an
22an1an
0（nN）,求数列an的通项公式;
4.已知数列｛an｝满足a1
1
2,
1
2，求数列an
的通项公式；
an1
an
5.设数列｛an｝满足a1
0且-
1an1
1
1an
1，求｛an｝的通项公式
6.已知数列｛an｝满足an1
2an
—4
1，求数列｛an｝的通项公式。
an
式;
2
7.等比数列｛an｝的各项均为正数，且2ai3a21,a39a2a6，求数列｛a.｝的通项公式
8.已知数列｛an｝满足ai2,an3a.i（n1），求数列｛a.｝的通项公式；
9.已知数列｛an｝满足a1
10.已知数列｛an｝满足a1
11.已知数列｛an｝满足a1
12.数列已知数列an满足
（2）累加法
1、累加法适用于：
an
若an1anf（n）（n
两边分别相加得an1
2，a24且an2an
2,且an1
2,且an1
a1
1
2,an
1an
f（n）
a2
例：
1.已知数列｛an｝满足
2），则
a3
L
an
a1
a1
f（n）
2.已知数列｛an｝满足a.
3.已知数列｛an｝满足an
4.设数列｛an｝满足a1
an
（3）累乘法
适用于：
an1f（n）an
an1
若
an
f（n），则亚
a1
a3
f
（1）,」
a2
两边分别相乘得,
an1
a1
例：
1.已知数列
{an}满足an1
f（k）
2（n
n1
52（an
52n12
4an11（n
a2
2n
2
an1
3（an
1）.则数列
N）,求数列a.的通项公式;
）,求数列an的通项公式;
2n
an
2）（nN），求数列an
的通项公式=
的通项公
f
（1）f
（2）Lanf（n）
an
1
4n2
-，求数列｛an｝的通项公式。
1
1,
1，求数列｛an｝的通项公式。
23n
1an
1，a13，求数列｛an｝的通项公式。
322n1，
an
f
（2）丄L
1）5n
求数列｛an｝的通项公式
1
an
f（n）
an，a13，
求数列｛an｝的通项公式。
2.已知数列an满足a1-,an1—an，求an。
3n1
3n1
3.已知a13,an1an（n1），求an。
3n2
（4）待定系数法
适用于an1qanf（n）
解题基本步骤：
1、确定f（n）2、设等比数列an1f（n）,公比为
3、列出关系式an1
1f（n1）2[an2f（n）]
4、比较系数求1，2
5、解得数列an/（n）的通项公式
6、解得数列an的通项公式
例：
1.已知数列｛an｝中，a11,an2an11（n2），求数列an的通项公式。
2.
N*）.求数列an的
（2006,重庆，文,14）在数列an中，若a1,an12an3（n1），则该数列的通项an
3.（2006.福建•理22.本小题满分14分）已知数列an满足61耳12a.1（n
通项公式；
4.已知数列｛an｝满足an12an35n，a16，求数列a.的通项公式。
解：
设an1x5n12（anx5n）
5.已知数列｛an｝满足an13an52n4，印1，求数列｛an｝的通项公式。
解：
设an1x2n1y3（anx2ny）
5111
6.已知数列an中，a1-,an1—a“
（一）“，求a.
632
7.已知数列｛an｝满足an12an3n24n5，印1，求数列｛an｝的通项公式。
22
解：
设an1x（n1）y（n1）z2（anxnynz）
ni
8.已知数列｛an｝满足an12an43,印1，求数列a.的通项公式。
递推公式为an2pan1qan（其中p,q均为常数）。
先把原递推公式转化为an2
san1
t（an1
san）
stp
其中s,t满足P
stq
9.已知数列｛an｝满足an2
5an1
6an,a
】11,a22，求数列｛an｝的通项公式。
（5）递推公式中既有Sn
S-i,n
1
分析：
把已知关系通过an
转化为数列an或Sn的递推关系，然后米用相应的方法求解。
Sn
&1,n
2n
1
1.（2005北京卷）数列｛&｝的前n项和为S，且a1=1，an1Sn，n=1,2，3，……，求a?
a3，a4的值
3
及数列｛an｝的通项公式.
2.（2005山东卷）已知数列an的首项a15,前n项和为Sn，且Sn1Snn5（nN*），证明数列an1是等比数列.
1
3•已知数列an中，a13,前n和Sn（n1）（a.1）1
2
1求证：
数列an是等差数列
2求数列an的通项公式
」（an1）（an2），且a2,a4,a9成等比数列，求数
6
列｛an｝的通项公式。
（6）根据条件找n1与n项关系
2.
（2009全国卷I理）在数列中,（I）设，求数列的通项公式
2a
例:
1.已知数列｛an｝满足an1n,a11，求数列｛an｝的通项公式。
an2
（8）对无穷递推数列
消项得到第n1与n项的关系
例：
1.（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列｛an｝满足
a11，an62a23a3L（n1）ani（n2），求｛an｝的通项公式。
2.设数列满足，•求数列的通项；
（9）、迭代法
例：
1.已知数列｛an｝满足an1a3（n1）2",®5,求数列｛an｝的通项公式。
解：
因为an1a3（n1）2n，所以
an
3n2n13（n1）2n23n2n132（n1）n2（n2）（n1}
an1[an2]an2
[a3（n2）2n3]32（n1）n2（n2）（n°
33（n2）（n1）n2（n3）（n2）（n°
an3
L
3n123LL（n2）（n1）n212LL（n3）（n2）（n1}
a1
n（n1）
3n1n!
22
a1
n（n1）
又a1
3n1n!
22
5，所以数列｛an｝的通项公式为an5!
。
（10）、变性转化法
1、对数变换法适用于指数关系的递推公式
n5
例：
已知数列｛an｝满足an123%,②7,求数列｛务｝的通项公式。
解：
因为an123na5，a17,所以an0,an10。
两边取常用对数得lgan15lgannlg3Ig2
2、换元法适用于含根式的递推关系
1
例：
已知数列｛an｝满足an1（14an-124an）,a11，求数列｛an｝的通项公式。
16
解：
令0J24an，则an丄（b：
1）
数列求和
数列求和是数列的重要内容之一，在现行高中教材中，只对等差数列和等比数列的求和公式进行了计算推导,而数列种类繁多，形式复杂，绝大多数既非等差数列又非等比数列，也就不能直接用公式来求解。
对于这种非常规数列的求和问题，针对具体情况，现归结为以下几种方法，供大家参考。
、倒序相加法此法来源于等差数列求和公式的推导方法。
例1.已知求
解：
。
①
把等式①的右边顺序倒过来写，即①可以写成以下式子:
②把①②两式相加得
、错位相消法
此法来源于等比数列求和公式的推导方法。
例2.求数列的前n项和。
解:
设
当时，
当时，①
①式两边同时乘以公比a，得②
①②两式相减得
三、拆项分组法把一个数列分拆成若干个简单数列（等差数列、等比数列），然后利用相应公式进行分别求和。
例3.求数列的前n项和。
解:
设数列的前n项和为，则
当时，
当时，
说明：
在运用等比数列的前n项和公式时，应对q=1与的情况进行讨论。
四、裂项相消法用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项技巧。
如
例4.求数列的前n项和。
解：
五、奇偶数讨论法如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数项分别总结出与n的关系进行求解。
例5.已知数列求该数列的前n项和。
解：
对n分奇数、偶数讨论求和。
1当时，
2当时，
六、通项公式法利用，问题便转化成了求数列的通项问题。
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