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考研数二真题及解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题：

本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（1）若X-；0时，（1-ax2）-1与xsinx是等价无穷小，则a=.

⑵设函数月二f（x）由方程xy2lnx二y4所确定，则曲线月二f（x）在点（1,1）处的切线方程是.

⑶y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是.

二ea*a■0），则该曲线上相应于

极轴所围成的图形的面积为.

1-11

⑸设a为3维列向量，aT是a的转置•若口口丁=-11-1，则

J一11一

⑹设三阶方阵代B满足A2B-A-B二E，其中E为三阶单位矩阵，若

101

A=020，贝UB=.

、一20L

二、选择题：

本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内

nmbn

（A）an:

：

bn对任意n成立.

（2）设an

n1xn4-.1xndx，则极限limnan等于（

0n—-

（B）（1e'）2T.

（D）（1e）2-1.

Xyxx

（3）已知y是微分方程y（—）的解，贝U“一）的表达式为（）

Inxxyy

（4）设函数f（x）在（―叫址）内连续，其导函数的图形如图所示，论

则f（x）有（）

（A）一个极小值点和两个极大值点

（B）两个极小值点和一个极大值点

（C）两个极小值点和两个极大值点

（D）三个极小值点和一个极大值点

4tanx4x.r

⑸设11=0dx,12=0dx,则（）

0x0tanx

（A）IlI21.（B）1IlI2.

（C）I2I11.（D）1I2I1.

⑹设向量组I:

^「2,r可由向量组II:

：

2,s线性表示，则（）

三、（本题满分10分）

四、（本题满分9分）

五、（本题满分9分）

六、（本题满分12分）

的微分方程;

⑵求变换后的微分方程满足初始条件y（0）=0,y（0）=3的解.

讨论曲线

y=4lnxk与y=4xIn4x的交点个数.

、（本题满分

12分）

设位于第一象限的曲线y二f（x）过点（，一），其上任一点P（x,y）处的法线与y轴

的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.

（1）求曲线y=f（x）的方程;

⑵已知曲线y=sinx在［0,二］上的弧长为l，试用l表示曲线y=f（x）的弧长s.

九、（本题满分10分）

有一平底容器，其内侧壁是由曲线

x=（y）（y-0）绕y轴旋转而成的旋转曲面

（如图），容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以3m3/min的速率向容器内注入

-2O

匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.

（1）根据t时刻液面的面积，写出t与:

（y）之间的关系式;

⑵求曲线x二（y）的方程.

（注：

m表示长度单位米，min表示时间单位分.）

十、（本题满分10分）

设函数f（x）在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，且f（x）.0.若极限

f（2x-a）

lim存在，证明：

x）ax-a

（1）在（a,b）内f（x）0;

（2）在（a,b）内存在点，使

b2—a22

bf（x）dxf（）

仏222：

（3）在（a,b）内存在与⑵中相异的点，使f（）（b-a）f（x）dx.

--a'a

十一、（本题满分10分）

若矩阵A=8

2a相似于对角阵A，试确定常数

a的值；并求可逆矩阵

P」AP二:

十二、（本题满分8分）

已知平面上三条不同直线的方程分别为

ax2by3c=0,l2:

bx2cy3a=0,13:

cx2ay3b=0.

试证：

这三条直线交于一点的充分必要条件为ab0.

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题

⑴【答案】-4

【详解】当X—0时，（1x）n-1〜x,sinx〜x，则（1-ax2）4-1~ax2,xsinx~x2n4

由题设已知，当Xr0时，（1-ax2）4-1与xsinx是等价无穷小，

112

所门…（1-ax2F「~4ax1

所以1=limlim2a，

x0xsinxJ0x4

从而a--4•

⑵【答案】x-y=O

【分析】为了求曲线在点（1,1）处的切线方程，首先需要求出函数在点（1,1）处的导数，然后利

用点斜式写出切线方程即可.

【详解】对所给方程两边对x求导数，将其中的y视为x的函数，有

yxy4yy

将x=1,y=1代入上式，得y

（1）=1.故函数在点（1,1）处的导数为1,即点（1,1）处切线的斜

率为1,再利用点斜式得，过点（1,1）处的切线方程为

y-1=1（x-1），即x-y=0.

⑶【答案】应L

【详解】y=f（x）带佩亚诺余项的麦克劳林公式：

f（x）=f（0）f（0）x^^x2山f―xn:

（xn）2!

求y=f（x）的麦克劳林公式中xn项的系数相当于先求y=f（x）在点x=0处的n阶

y"=2x|n2；y“=2x（|n2）2；y（n）=2x（ln2）n（归纳法及求导公式）

于是有y⑺（0）=（ln2）n，故y=2x的麦克劳林公式中

xn项的系数是

y（n）（0）

（ln2）n

⑷【答案】（e"-1）

【详解】

方法1用定积分计算.极坐标下平面图形的面积公式：

S2e）dr，则

『P2®dT=!

讥叫日=-1e2a

方法2：

用二重积分计算.D表示该图形所占的区域，在极坐标下，利用二重积分面积公式:

所以

2兀ea0

S二d—drdr

0-0

宀=存7）-

⑸【答案】3

【分析】本题的可由矩阵

也可设A--T求

〉T的秩为1,把其分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可

选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.

出〉，或利用A或设〉二［X1X2X3］，定出〉等.

【详解】

方法1:

观察得A的三个行向量成比列，其比为

1,故

j-1

■11

A=aaT=

-11

-1

=-1

1-1

1一

1J一

_11

知a=-1，于是aTa=1

_11

-11】-1=3.

J一

方法2：

A=T

T=（二[笃）（、mT）

（1）

—1

'1-

-11

而A2=

-1

—1

—

-1L

-1一

1■

=3A

比较

（1）,⑵式，得:

■V=3.

x,2

X-|X2

X1X3

一1

1〕

方法3:

设。

=[X1X2X3]TA=zT=

x2X

X2X3

X3X1

X3X2

1」

■xd

故口丁。

=（XjX2X3）x2=xj十x22+x32（A的主对角元之和）

⑹【答案】一

【分析】先化简分解出矩阵B,再计算行列式|B或者将已知等式变形成含有因子B

的矩阵乘积形式，而其余因子的行列式都可以求出即可.

【详解】方法1：

由A2B-A-B=E，知（A2-E）B=AE，即（AE）（A-E）B=AE，易知矩阵AE可逆，于是有（A-E）B=E.

再两边取行列式，得A_E||B=1，

因为A—E=0

-2

10=2,所以B

方法2：

由A2B-A-B二E，得

（AE）（A-E）B二AE

等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式=行列式的乘积，得

A+E||A-EB|=|A+E

A+E

式0,得

A+E

约去

二、选择题

（1）【答案】（D）

【详解】方法1：

推理法

由题设limbh=1，假设limbncn存在并记为A，则limcnlim=A,这与

n并nYbh

lim=:

矛盾，故假设不成立，limbncn不存在.所以选项（D）正确.

n厂n厂

方法2:

排除法

1n—1

取an,bn,满足liman=0,limbn=1,而a^1,b^0,a1b1,（A）不正确；

nnn「

取bn

取an

n—1

cnn

q=n一2，满足limbn=1,limcn-:

，而d=0.-1=c,（B）不正确;n^^n_jpc

=n一2,满足liman=0,limcn_：

：

而limancn=1,（C）不正确.

n,n

n、:

⑵【答案】（B）

【详解】

a^l

百xnJ1、1Xndx=2

'2n

n1.1■xnd（1xn）

（第一类换元法）

可见

所以选项

limnan=lim=

n,n_§:

=lim

n_?

'i+i

nI5+1丿丿

一1\-in1）

-1

（凑重要极限形式）

=（1e」）2—1

（B）正确

（重要极限）

⑶【答案】（A）

【详解】将y代入微分方程

lnx

Inx-1f

其中八冇，得:

—（lnx），即（l

lnxlnx

ln2x

令lnx=u，有:

（u）2，以

u代入，得

故选项（A）正确.

⑷【答案】（C）

【分析】函数的极值点可能是驻点或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.

（一阶导数为零

【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个（导函数与x轴交点的个数）；x=0是导数不存在的点.

对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均

不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧

导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；

对导数不存在的点：

x=0.左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极

大值点.

故f（x）共有两个极小值点和两个极大值点，应选（C）.

⑸【答案】（B）

-0,所以当

【详解】令：

（x）=tanx-x,有（0>0,x（今晶）c-

（x）单调递增，则（x）0,即tanxx0,

—<1，由定

tanx

积分的不等式性质知，

dx=12

可见有h

可由向量组II:

'-1,'-2/',\线性表示，则当r■s时，向量组I必线性相关.

或其逆否命

□丿

■-1可由-1,'2线性表示，但：

1线性无关，排除（C）.

【详解】函数f（X）在X=0处连续，则要求函数f（x）在X=0处既是左连续又是右连续,

即f（0）=f（0）=f（0-）.

f（0limf（x）limlim

7一x—arcsinxTr—arcsinx

（由于ln（1x）L!

x（x>0），所以In（1ax3）Lax3（x>0））

3ax2

=lim——

x匕1

（0型极限，用洛必达法则）

-1

lim1-x2

x_0-

（极限的四则运算）

3ax2=lim

x_0—■12

=-6a

（（1-X2/

-iL

知X2）」

axi2

f（0）=lim.f（x）二lim-ex~ax-

X^0十^^十

.xxsin4

ax2

e+x—ax—1=lim-

x）0■

ax2

=ex-ax-1=

=4lim2=4lim

x0■XX）0

aeax2x-a

+2x

ae+22ax2

=4lim2lim（ae2）=2a4

x）02x]0

f（0）=6.

所以，x=0为f（x）的连续点=f（0）=f（0-6a=6=2a2•4，得a=-1;

所以，x=0为f（x）的可去间断点-6a=2a2,4=6，即2a26a^0,但a=-1

解得a--2，此时f（x）在x=0为可去间断点.

四【分析】（i）变上限积分求导公式：

—f（t）dt=f（u）i（x）-f（v）v（x）;

dxv（x）

（ii）参数方程｛:

囂）的-阶导数滂普沪程说;

（iii）若x=;：

（t）,W（t）二阶可导，函数的二阶导数公式:

d2y

dx2

dfdy]d仰[t）]dt

一dx&厂啊（t）ydx

3（t）

（t）：

（t）；（t）「（t）

2（t）

r£dt=.etsintdt.

又etsintdt=-etdcost^^（etcost

-etcostdt）

分部积分

tJ-ttt

=-（ecots—.ed（sin=^ecos—e

sitndt

分部积分

=-dcostetsint-etsintdt,

1故etsintdtet（sint「cost）C.

JlH

由x二tant（x）得t=arctanx，因此

arctanx.

xe1arctanx,X

3dx=e（

（1x2）221x21

arctanx

x2）C=-2.Vx-C.

方法2:

分部积分法

移项整理得;

arctanx,八arctanx

xe,（x-1）e

23dx=2—

（1X2）221x

六【详解】

⑴将题中的与瞑变换成以x为自变量y为因变量的导数鱼与dy来表

dydydxdx

示（即通常所说的反函数变量变换），有

dy2

代入原方程，得y"-y=sirx.

⑵方程（*）所对应的齐次方程为y”-y=O，特征方程为r2-1=0，根呢='1,因此

通解为Y=C1exC2e".由于•不是特征方程得根，所以设方程（*）的特解为

y二AcosxBsinx

*'*卜卜

贝Uy=—AsinxBcosx,y=—Acosx-Bsinx

代入方程（*），得：

「Acosx「Bsinx「Acosx「Bsinx=-2Acosx「2Bsinx二sinx

1*1

解得A=0,B，故ysinx.从而y-y=sinx的通解为

1.sinx.

且y（x）的导函数y（x）=ex-e_cosx•0,满足题设y=0条件.

七【详解】讨论曲线y=41nx•k与y=4x•|n4x的交点个数等价于讨论方程

（x）=1n4x-41nx4x-k

在区间（0,；）内的零点问题，为此对函数求导，得

亦，、4lnx4,43‘、

（x）4（In3x-1x）.

xxx

可以看出x=1是（x）的驻点，而且当0:

：

1时，In3x<0，则n3x1xQ，而40,

有（xh：

：

0，即（x）单调减少；当x1时，In3x■0，则In3x-1•x.0，而-0，有x

（x）0，即（x）单调增加，故：

（1）=4-k为函数（x）的惟一极小值即最小值.

①当：

（1）=4-k0,即当k4时，：

（x）_：

（1）・0,（x）无零点，两曲线没有交点；

2当：

（1）=：

4-k=：

0，即当k=4时，「（x）_“1）=：

0,（x）有且仅有一个零点，即两

曲线仅有一个交点；

3当「⑴=4-k：

：

0，即当k4时，由于

lim（x）二lim[Inx（ln3x「4）4x-k]二：

；lim（x）=lim[Inx（ln3x_4）4x_k]=

由连续函数的介值定理，在区间（0,1）与（1,•：

：

）内各至少有一个零点，又因（x）在区间（0,1）

与（1,=）内分别是严格单调的，故：

（x）分别各至多有一个零点.总之，（x）有两个零点.

综上所述，当k：

：

4时，两曲线没有交点；当k=4时，两曲线仅有一个交点；当k4时，两曲线有两个交点.

八【详解】

（1）曲线y二f（x）在点P（x,y）处的法线方程为

令X=0,则它与y轴的交点为（0,y）.由题意，此点与点P（x,y）所连的线段被

y，

轴平分，由中点公式得

Lyy—^0，即2ydyxdx=0.

^=~得。

=丄，故曲线y=f（x）

Xp22

的方程为

⑵曲线y=sinx在［0,二］上的弧长为

弧长公式

i二

另一方面，将

（1）中所求得的曲线y二f（x）写成参数形式，在第一象限中考虑，于

\x=cost,

42itypsint,

于是该曲线的弧长为：

0红

s=02v（xt）2（yt）2dt=0

曲呜cos%专孑时知

；；02=dU

所以

，2s=〔I，即s=22

九【详解】

（1）设在t时刻，液面的高度为y，此时液面的面积为

所以’（y）C,由题意，当t=O时「（y）=2，代入求得C=4，于是得

2（y）=t4.

从而t=2（y）_4.

y23

（2）液面的高度为y时，液体的体积为V（t）=jrL®（u）du,由题设：

以3m3/min的

速率向容器内注入液体，得

些丿二y2（u）du=3

dtdt0

y22

江J0护（u）du=3t=3®（y）—12.

y求导，得

变限积分求导

=6P（y^*（y），

解此微分方程，得

（y^Ce6，其中C为任意常数,

由「（0）=2知C=2,故所求曲线方程为

x=2e6.

f（2x—a）

十【详解】⑴因为极限lim存在，且lim（x-a）=0,故limf（2x-a）=0

■^十x—ax―十

又f（x）在［a,b］上连续，从而limf（2x-a）=f（a），则f（a）=0.X—十

由于f（x）・0,则f（x）在（a,b）内严格单调增加，所以f（x）在x=a处取最小值，即

f（x）f（a）=0,x（a,b）.

（2）由要证明的形式知，要用柯西中值定理证明•取F（x）=x,g（x）f（t）dt

（a^x^b），则g（xHf（x）0，则F（x）,g（x）满足柯西中值定理的条件，于是在（a,b）

内存在点，使

g（b）-g（a）ff（t）dt-「f（t）dt（『f（t）dt）'甘fG）

'aa'ax=_

b-a

af（X）dX

⑶在区间［a「］上应用拉格朗日中值定理，得在（a「）内存在一点，使

f（）_f（a）=f（）（—a）

因f（a）=0,上式即f（J=f（）C-a），代入⑵的结论得,

b—a22

&f（x）dxf（）（-a）

222亡b

即f（）（b-a）f（x）dx.

-—a、a

十一【分析】已知A相似于对角矩阵，应先求出A的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a.至于求P，则是常识问

题.

【详解】矩阵

A的特征多项式为

k—2-2

-A=

-8九-2

-a

Z-6

故A的特征值为打=■2=6，工-3=-2.

乂_6）[「_2）2_16]=「_6）2「2）,

=6应有两个线性无关的特征向量，即

3_r（6E_A）=2，于是有

r（6E-A）=1.

-2

02-1

6E—A=

120

当‘3二「2时,

011

令P=02-2，则P可逆，并有P’APhA.

」00一

十二【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵

与增广矩阵的秩均为2.

【详解】方法1:

“必要性”.设三条直线l1,l2,l3交于一点，则线性方程组

ax2by--3c,

bx2cy=-3a,（*）

cx2ay=-3b,

a2ba2b

b2c与增广矩阵A=b2c

c2a_g2a

是A=0.

—3c

a+b+c

2（b+c+a）

-3（c+a+b）

-3a

£b

-3b

-3

（a+b+c）

—3a

=-6（a+b+c）

-3b

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