考研数二真题及解析.docx

1、考研数二真题及解析2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：本题共 6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 .1(1)若X-； 0时，(1-ax2) -1与xs in x是等价无穷小，则 a= . 设函数月二f (x)由方程xy 2l nx二y4所确定，则曲线 月二f (x)在点(1,1)处的切线方 程是 .y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是 .二ea*a 0)，则该曲线上相应于极轴所围成的图形的面积为 .1 -1 1设a为3维列向量，aT是a的转置若口口丁= -1 1 -1，则J 一1 1 一 设三阶方阵 代B满足A2B - A - B二E，其中E为三

2、阶单位矩阵，若1 0 1A = 0 2 0，贝U B = .、一 2 0 L二、选择题：本题共 6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内nmbn(A) an :： bn对任意n成立.(2)设 annn 1xn4 -.1 xndx，则极限 lim nan 等于(0 n-3(B) (1 e)2 T.3(D) (1 e)2 -1.X y x x(3)已知y 是微分方程y ()的解，贝U “一)的表达式为( )In x x y y(4 )设函数f (x)在(叫址)内连续，其导函数的图形如图所示， 论则f(x)有( )(A)一个极

3、小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点4 tan x 4 x . r设 11 = 0 dx , 12 = 0 dx,则( )0 x 0 ta n x(A) Il I 2 1. (B) 1 Il I2.(C) I2 I1 1. (D) 1 I2 I 1.设向量组I : 2,r可由向量组II : ：2,s线性表示，则( )三、(本题满分10分)四、(本题满分9分)五、(本题满分9分)六、(本题满分12分)的微分方程; 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0) = 0, y (0) = 3的解.讨论曲线y =4l nx k

4、与y=4x In 4x的交点个数.、(本题满分12分)设位于第一象限的曲线 y二f(x)过点(，一)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴2 2的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.(1)求曲线 y = f (x)的方程; 已知曲线y=si nx在0,二上的弧长为l，试用l表示曲线y= f (x)的弧长s.九、(本题满分10分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线x = (y)( y - 0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为 2m.根据设 计要求，当以3m3 /min的速率向容器内注入-2 O匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体 ).(1)根据t时刻液面的面积，写出t与:(y)之间

5、的关系式;求曲线x二(y)的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)十、(本题满分10分)设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间 (a,b)内可导，且f (x) . 0.若极限f (2x - a)lim 存在，证明：x)a x - a(1)在(a, b)内 f(x) 0;(2)在(a, b)内存在点，使b2a2 2bf(x)dx f()a仏 2 2 2： b(3)在(a,b)内存在与 中 相异的点 ，使f ( )(b -a ) f (x)dx.- a a十一、(本题满分10分)2若矩阵A = 802 02 a相似于对角阵 A，试确定常数0 6a的值；并求可逆矩阵PAP 二:

6、,.十二、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为h : ax 2by 3c = 0 , l2 :bx 2cy 3a = 0 , 13: cx 2ay 3b = 0 .试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为 a b 0.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题【答案】-4【详解】当 X 0时，(1 x)n -1 x , sinx x，则(1 - ax2)4 - 1 ax2 , xsin x x2 n 41由题设已知，当Xr 0时，(1-ax2)4 -1与xsinx是等价无穷小，1 1 2所门(1-ax2F4ax 1所以 1 = lim lim 2 a，x 0 x

7、sinx J0 x 4从而 a - -4 【答案】x-y=O【分析】为了求曲线在点(1,1)处的切线方程，首先需要求出函数在点 (1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】对所给方程两边对 x求导数，将其中的 y视为x的函数，有2 3y xy 4y yx将x =1,y =1代入上式，得y(1) =1.故函数在点(1,1)处的导数为1,即点(1,1)处切线的斜率为1,再利用点斜式得，过点 (1,1)处的切线方程为y -1 =1 (x -1)，即 x - y =0.【答案】应Ln!【详解】y = f (x)带佩亚诺余项的麦克劳林公式：f (x) =f(0) f(0)x x2 山 f

8、 xn :(xn) 2! n!求y = f (x)的麦克劳林公式中 xn项的系数相当于先求 y = f (x)在点x = 0处的n阶y =2x|n2 ； y“ =2x(|n 2)2 ； y(n) =2x(ln2)n (归纳法及求导公式)于是有y(0) =(ln2)n，故y =2x的麦克劳林公式中xn项的系数是y(n)(0)(ln 2)nn!n!1【答案】 （e -1）4a【详解】1 R方法1用定积分计算.极坐标下平面图形的面积公式： S 2e）dr，则P2dT =!讥叫日=-1e2a方法2：用二重积分计算.D表示该图形所占的区域， 在极坐标下，利用二重积分面积公式:所以2 兀 ea0S 二 d

9、 d rdr0 - 0D1:宀=存7)-【答案】3【分析】本题的可由矩阵也可设A - - T求:T的秩为1,把其分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.2 T出，或利用A或设二X1X2X3，定出等.【详解】方法1:观察得A的三个行向量成比列，其比为1:1:1,故-j -11 11 1A =aa T =-1 1-1=-11 -11 一1 J 一_1 1知 a = -1，于是 aTa = 1_1 1-1 1】-1 =3.J 一方法 2： A = TA2T =(二笃)(、mT)=a(1)j111 -1 11 -3-31而 A2 =_11

10、-111 -133-1-1 L1 -1 一1 3-3J=3A比较（1）,式，得: V =3 .x,2X-|X2X1X3一1_11方法 3:设。=X1X2X3 T A=z T =x2X2X2X2X3=_11_11X3X1X3X22X3j1_11xd故 口丁。=(XjX2X3) x2 = xj十x22 +x32 (A的主对角元之和)1【答案】一2【分析】 先化简分解出矩阵 B,再计算行列式| B或者将已知等式变形成含有因子 B的矩阵乘积形式，而其余因子的行列式都可以求出即可.【详解】方法 1：由 A2B - A-B = E，知(A2 -E)B = A E，即(A E)(A - E)B = A E，

11、 易知矩阵A E可逆，于是有 (A - E)B =E.再两边取行列式，得 A _ E| B = 1，0因为A E = 0-20 11 0=2,所以B0 0方法2：由A2B - A-B二E，得(A E)(A -E)B 二 A E等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式 =行列式的乘积，得A+E|A-E B|=|A + EA + E式0,得B1A + E12约去二、选择题(1)【答案】(D)【详解】方法1 ：推理法由题设lim bh = 1，假设lim bncn存在并记为 A，则lim cn lim = A,这与n 并 nY bhlim =:矛盾，故假设不成立，lim bncn不存在. 所以选项(D

12、)正确.n 厂 n厂方法2:排除法, 1 n 1取 an , bn ,满足 lim an = 0 ,lim bn = 1,而 a1,b 0,a1 b1, (A)不正确；n n n 取bn取ann 1n1,cn nq = n 一2，满足 lim bn =1, lim cn -:，而 d =0 . -1 =c , (B)不正确; n n_jpc=n 一2 ,满足 lim an = 0, lim cn _ ：,而 lim ancn =1, (C)不正确.n , nn 、:【答案】（B）【详解】aln百 xnJ1、1 Xn dx = 2 2nnn 1 .1 xnd(1 xn)（第一类换元法）可见所以选

13、项-lim nan = lim =n , n_:=limn_?:=!i + in I 5 +1丿丿n一1 -in 1)J-1（凑重要极限形式）3=(1 e)2 1(B)正确（重要极限）【答案】（A）x【详解】将y 代入微分方程ln xIn x-1 f其中八冇，得: (lnx)，即 (lln x ln xrx1ln2x1令 ln x =u，有:(u) 2，以uxu 代入，得y故选项（A）正确.【答案】（C）【分析】函数的极值点可能是驻点 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.（一阶导数为零【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个（

14、导函数与x轴交点的个数）；x = 0是导数 不存在的点.对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正， 是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点： x=0.左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x = 0为极大值点.故f （x）共有两个极小值点和两个极大值点，应选 （C）.【答案】（B）-0,所以当【详解】令：(x) =tanx - x ,有(0 0, x(今 晶)c-(x)单调递增，则 (x) 0 ,即tanx x 0 , 0)，所以 In

15、(1 ax3)L ax3 (x 0)3ax2=lim x匕 1(0型极限，用洛必达法则)0-1lim 1 - x2x_0 -(极限的四则运算)3ax2 =limx_0 1 2X2=-6a1(1-X2/-iL知X2)ax i 2f (0 ) = lim .f (x)二 lim -e x ax -X0十 十.x xsin 4ax 2e + x ax 1 =lim -x )0 ax 2= e x -ax -1 =4 lim 2 =4 limx 0 X X )0x2aeax 2x - a+ 2xaxa e + 2 2 ax 2=4 lim 2 lim (a e 2) =2a 4x)0 2 x 0f (

16、0) =6.所以，x =0为 f (x)的连续点=f (0 ) = f (0-6a =6 = 2a2 4，得 a = -1 ;所以，x=0为 f (x)的可去间断点-6a=2a2,4 = 6，即 2a2 6a 0,但a=-1解得a - -2，此时f (x)在x=0为可去间断点.四【分析】(i)变上限积分求导公式： f(t)dt = f (u)i(x) - f (v)v (x);dx v(x)(ii)参数方程:囂)的-阶导数滂普沪程说;dt(iii)若x = ;：(t) , W (t)二阶可导，函数的二阶导数公式:d2ydx2d fdy d 仰t) dt一 dx & 厂啊(t) y dx3(t)

17、(t) ：(t) ；(t)(t):2(t)rdt=.etsintdt.又 et sintdt = - etdcost(et cost-et costdt)分部积分t J- t t t=-(e cots .ed (sin =ecoses itnd t分部积分=-d cost et sint - et sin tdt,1 故 et sintdt et (sintcost) C.2Jl H由 x 二 tant( x )得 t = arctanx，因此2 2arcta n x .xe 1 arctan x , X3 dx = e ( (1 x2) 2 2 1 x2 1arcta n xx2) C=-2

18、.Vx- C.方法2:分部积分法移项整理得;arcta nx , 八 arcta nxC.xe , (x -1)e 2 3 dx= 2(1 X2) 2 2 1 x2 2六【详解】将题中的与 瞑 变换成以x为自变量y为因变量的导数 鱼 与dy来表dy dy dx dx示（即通常所说的反函数变量变换 ），有dy2代入原方程，得 y - y =s i rx. 方程（* ）所对应的齐次方程为 y”-y=O，特征方程为r2-1=0，根呢=1,因此通解为Y =C1ex C2e.由于不是特征方程得根，所以设方程 (* )的特解为*y 二 Acosx Bsin x* *卜卜贝 U y =As in x Bco

19、sx , y =Acosx-Bsi nx代入方程(* )，得：AcosxBsinxAcosxBsin x =-2Acosx2Bsinx 二sinx1*1解得A = 0, B ，故y sinx.从而y - y = sin x的通解为2 21 . sin x.I1且y(x)的导函数y(x) =ex - e_ cosx 0 ,满足题设y =0条件.七【详解】讨论曲线 y =41 n x k与y = 4x |n4 x的交点个数等价于讨论方程(x) =1 n4 x -41 n x 4x -k在区间(0,；)内的零点问题，为此对函数求导，得3亦，、4ln x 4 , 4 3 、(x) 4 (In3x -1

20、 x).x x x可以看出x =1是(x)的驻点，而且当0 :： x :： 1时，In3 x 0，则n 3x1 xQ ，而4 0 ,x有(xh：0，即(x)单调减少；当 x 1 时，In3x 0，则 In3x-1 x . 0，而-0，有 x(x) 0，即(x)单调增加，故：:(1)=4-k为函数(x)的惟一极小值即最小值. 当：:(1)=4-k 0 ,即当k 4时，：:(x)_：:(1)0 , (x)无零点，两曲线没有交点；2当：(1)=：4-k=：0，即当k =4时，(x)_“1)=：0 , (x)有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个交点；3当=4-k ：0，即当k 4时，由于lim (x)二

21、 lim In x(ln3 x4) 4x - k二：； lim (x) = lim In x(ln3x_4) 4x_k=由连续函数的介值定理，在区间 (0,1)与(1, ：)内各至少有一个零点，又因 (x)在区间(0,1)与(1,=)内分别是严格单调的，故 ：(x)分别各至多有一个零点.总之，(x)有两个零点.综上所述，当k ： 4时，两曲线没有交点；当 k = 4时，两曲线仅有一个交点；当 k 4 时，两曲线有两个交点.八【详解】(1)曲线y二f(x)在点P(x,y)处的法线方程为x令X =0,则它与y轴的交点为（0,y ）.由题意，此点与点P（x, y）所连的线段被y，轴平分，由中点公式得

22、Ly y 0，即 2ydy xdx =0.2 y=得。=丄，故曲线y=f（x）Xp 2 2的方程为 曲线y =sinx在0,二上的弧长为弧长公式i 二另一方面，将（1）中所求得的曲线y二f （x）写成参数形式，在第一象限中考虑，于 x = cost,42 i t y psint,于是该曲线的弧长为：JI0红2JIs = 02 v(xt)2 (yt)2dt = 0曲呜cos%专孑时知:； 02 =dU所以，2s =I，即 s = 2 2九【详解】（1）设在t时刻，液面的高度为 y，此时液面的面积为所以（y） C,由题意，当t=O时（y）=2，代入求得C =4，于是得2(y) =t 4.从而 t=

23、 2(y)_4.y 2 3(2)液面的高度为y时，液体的体积为V(t)=jrL (u)du ,由题设：以3m3/min的速率向容器内注入液体，得些丿二 y 2(u)du =3dt dt 0y 2 2江 J0 护(u)du=3t = 3 (y)12.y求导，得变限积分求导=6P(y*(y)，解此微分方程，得(yCe6，其中C为任意常数,由(0) =2知C =2,故所求曲线方程为x =2e6 .f(2x a)十【详解】 因为极限lim 存在，且lim(x-a)=0,故lim f(2x-a)=0十 x a x十又 f (x)在a,b上连续，从而 lim f (2x - a) = f (a)，则 f

24、(a) = 0 . X十由于f (x)0,则f (x)在(a,b)内严格单调增加，所以f (x)在x=a处取最小值，即f (x) f (a) = 0, x (a,b).2 x(2)由要证明的形式知，要用柯西中值定理证明取 F(x)=x , g(x) f (t)dta(axb)，则g (xH f(x) 0，则F(x),g(x)满足柯西中值定理的条件，于是在 (a,b)内存在点，使F(b) _F(a) _ b2 _a2 = (x2) = 2g(b)-g(a) f f(t)dt -f (t)dt (f(t)dt)甘 fG)a a a x=_2f?52 2b - aba f(X)dX 在区间a上应用拉

25、格朗日中值定理，得在 （a）内存在一点 ，使f( )_f(a) = f( )( a)因f (a) = 0 ,上式即f ( J = f ( )C -a)，代入的结论得,ba2 2& f(x)dx f ( )( - a)a2 2 2亡 b即 f ( )(b- a ) f (x)dx.- a、a十一【分析】 已知A相似于对角矩阵，应先求出 A的特征值，再根据特征值的重数与线性 无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数 a.至于求P，则是常识问题.【详解】矩阵A的特征多项式为k2 -20-A =-8 九-2-a0 0Z -6故A的特征值为打= 2 = 6，工-3 = -2.乂 _6)_

26、2)2 _16=_6)2 2),=6应有两个线性无关的特征向量，即3 _r(6E _A) =2，于是有r(6E - A) =1._4-20 2 -16E A =.012 0-2当3二2时,0 1 1令P=0 2 -2，则P可逆，并有PAPhA.0 0 一十二【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解， 进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为 2.【详解】方法1: “必要性”.设三条直线l1,l2,l3交于一点，则线性方程组ax 2by - -3c,bx 2cy = -3a, (*)cx 2ay = -3b,a 2b a 2bb 2c与增广矩阵A = b 2cc 2a_ g 2a是 A = 0.a2b3ca + b +c2(b+c + a)-3(c+a + b)A=b2c-3a=b2c-3ac2abc2a-3b12-3111(a +b +c)b2c3a= -6(a + b+c)bcac2a-3bca