小学奥数.docx

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小学奥数

牛吃草问题

 历史起源：

英国数学家牛顿（1642—1727）说过：

“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。

在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。

  主要类型：

  1、求时间  

  2、求头数  

  除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。

  基本思路：

  ①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。

  ②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。

  ③根据（“原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数。

  基本公式：

  解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶  

（1）草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；  

（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`  

  （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；  

  （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度  

  第一种：

一般解法  

  “有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。

如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？

并且牧场上的草是不断生长的。

”  

  一般解法：

把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：

（1）27头牛6天所吃的牧草为：

27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。

）  

（2）23头牛9天所吃的牧草为：

23×9＝207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。

）  

  （3）1天新长的草为：

（207－162）÷（9－6）＝15  

  （4）牧场上原有的草为：

27×6－15×6＝72 

  （5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：

72÷（21－15）＝72÷6＝12（天）  

  所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。

  第二种：

公式解法  

  有一片牧场，草每天都匀速生长（草每天增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。

（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？

（2）要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？

  解答：

  1） 草的生长速度：

（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）  

  原有草量：

21×8-12×8=72（份）  

  16头牛可吃：

72÷（16-12）=18（天）  

  2） 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数  

  所以最多只能放12头牛。

匀速生长：

1、一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？

1、牧场上有一片草地，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？

2、一片草地，每天都匀速长出青草。

如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天吃完。

那么可供19头牛吃几天？

3、一片牧场长满草，每天匀速生长，这片牧场可供5头牛吃8天，可供14头牛吃2天，问可供10头牛吃几天？

4、某牧场上的草，若用17人去割，30天可以割尽，若用19人去割，则只要24天便可割尽，问用多少人割，6天可以割尽？

（草匀速生长，每人每天割草量相同）

匀速减少：

由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长多，反而以固定的速度在减少，照这样计算，某牧场草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天，那么，可供多少头牛吃10天？

1、因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少。

已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。

照这样计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？

2、天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。

经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。

那么可供11头牛吃几天？

一、和倍问题 

和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。

和÷（倍数+1）=小数（1倍数）,小数×倍数=大数或：

和-小数=大数

1、甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

2、光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

3、大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个，后来大白兔吃了20个，而小灰兔又采了10个，这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的蘑菇的5倍，原来小灰兔采了多少个蘑菇？

4、甲、乙、丙、丁4个数的和是549，如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？

二、差倍问题

前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。

“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。

差÷（倍数-1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数或：

小数+差=大数

5、光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍，比踢踺子的多36人。

参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？

6、已知两个数相除的商为4，相减的差是39，者两个数分别为多少？

7、仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。

仓库有大米和面粉各多少千克？

8、两根绳，第一根长64米，第二根长52米，剪去同样长后，第一根是第二根的3倍，每根绳剪去多少米？

9、有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和等于2113，则被除数是多少

10、甲仓库存粮104吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库是乙仓库的3倍，那么必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？

11、有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？

列方程解应用题

1、小明从家到学校，如果每分钟走50米，则要迟到3分钟；如果每分钟走60米，则早到2分钟。

小明家到学校有多远？

2、学校图书室里的故事书的本数是科技书的2倍。

每班借14本故事书和10本科技书，科技书借完时，故事书还有144本，求图书室原有故事书、科技书各多少本？

3、两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商与余数的和是866，被除数是多少？

4、甲仓库有粮44吨。

乙仓库有粮食83吨。

现在甲仓库每天存入3吨，乙仓库每天存入7吨。

几天后乙仓库的总吨数是甲仓库的2倍？

5、甲、乙、丙、丁四人共做零件370个，如果甲多做10个，乙少做20个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么这四个人所做的零件恰好相等。

试问：

乙实际做了多少个零件？

6、一艘轮船所带的燃料最多可用9小时，轮船从一码头顺流而下每小时可行150千米，返回时逆流而上每小时行驶120千米，这艘轮船最多开出多少千米就必须返回？

7、某农民养鸡若干只，已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔的脚多16只。

问鸡和兔各有多少只？

8、某校有100名学生参加第四届小学“祖冲之杯”数学竞赛，平均分是63分，其中参赛男同学的平均分为60分，女同学的平均分为70分，那么该校参加比赛的男同学比女同学多多少人．

9、一个商人估计，假如1公斤苹果卖1.2元，就得赔2元，假如1公斤苹果卖1.5元，就可赚4元，他想快点出手，以不赔不赚的价格出卖，每公斤苹果应卖多少元？

10、在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75分，乙队的平均分为73分，两队全体同学的平均分为73.5分。

又知乙队比甲队多6人，那么乙队有多少人？

逻辑推理

1、已知四人中只有一人说真话，请根据下面四人说的话，判断是哪名同学修好的桌凳。

（1）许兵说:

“桌凳不是我修的。

”

（2）李平说:

“桌凳是张明修的。

”

（3）刘成说:

“桌凳是李平修的。

”

（4）张明说:

“我没有修过桌凳。

”

后经了解，四人中只有一人说的是真话。

请问:

桌凳是谁修的?

2、小华、小红、小明三人中，有一人在数学竞赛中得了奖。

老师问他们谁是获奖者,小华说是小红，小红说不是自已,小明也说不是自己。

如果他们当中只有一人说了真话,那么，谁是获奖者?

3、一位警察，抓获四个盗窃嫌疑犯A,B,C,D,他们的供词如下：

A说：

“不是我偷的。

”

B说：

“是A偷的。

”

C说：

“不是我。

”

D说：

“是B偷的”

他们四人中只有一人说的是真话。

你知道谁是小偷吗？

4、有500人聚会，其中至少有一人说假话，这500人里任意两人总有一人说真话。

说真话的有多少人，说假话的有多少人？

5、虹桥小学举行科技知识竞赛，同学们对贯刻苦学习、爱好读书的4名学生的成绩进行了如下估计:

（1）丙得第一,乙得第二。

（2）丙得第二，丁得第三。

（3）甲得第二，丁得第四。

比赛结果一公布，果然是这4名学生获得前4名。

但以上三种估计，每一种只对了一半。

请问他们各得第几名?

6、甲、乙、丙、丁四人同时参加一次数学竞赛。

赛后，他们四人预测名次的谈话如下:

甲:

“丙第一，我第三。

”

乙:

“我第一，丁第四。

”

丙“丁第二，我第三。

”

丁:

没有说话。

最后公布结果时，发现甲、乙、丙三人的预测都只对了一半。

请你说出这次竞赛中甲、乙、丙、丁四人的名次。

7、某小学最近举行一次田径运动会，人们对一贯刻苦锻炼的五名学生的短跑成绩进行了如下的估计:

A说:

“第二名是D，第三名是B。

”

B说:

“第二名是C，第四名是E。

”

C说:

“第一名是E，第五名是A。

”

D说:

“第三名是C，第四名是A。

”

E说:

“第二名是B，第五名是D。

”

这五名学生每人说对了一半。

请你猜猜这五名学生的名次。

8、某次考试考完后，A,B,C,D四名同学猜测他们的考试成绩。

A说:

"我肯定考得最好。

”

B说:

"“我不会是最差的。

”

C说:

“我没有A考得好,但也不是最差的。

”

D说:

“可能我考得最差。

”

成绩一公布，只有一人说错了。

请你按照考试分数由高到低排出他们的顺序。

简便计算

一、分配律的灵活运用。

课堂练习1

1、333387

×79+790×66661

2、3.5×

+125％+1

÷

3、9

×425+4.25÷

4、0.9999×0.7+0.1111×2.7

2、换元法解题

换元法又叫变量替换法，是对一些比较复杂的式子将其中的一部分看成一个整体，用新字母代替的方法，利用换元法，可以化繁为简，化难为易。

换元法技巧：

1、出现（）×（）±（）×（）形式往往采用换元法

2、设最常出现的部分为a或b

2、设短不设长

课堂练习2

1、（0.1+0.21+0.321）×（0.21+0.321+0.4321）-（0.1+0.21+0.321+0.4321）×（0.21+0.321）

2、（

）×（

）-（

）×（

）

3、（1+3.4+5.7