届高三理科数学一轮复习学案 二项分布与正态分布.docx

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届高三理科数学一轮复习学案二项分布与正态分布

第六节二项分布与正态分布

突破点

（一）　事件的相互独立性及条件概率

1．条件概率

（1）定义

设A，B为两个事件，且P（A）>0，称P（B|A）＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

（2）性质

①0≤P（B|A）≤1；

②如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）＋P（C|A）．

2．事件的相互独立性

（1）定义

设A，B为两个事件，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．

（2）性质

①若事件A与B相互独立，则P（B|A）＝P（B），P（AB）＝P（A）P（B）．

②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．

求条件概率

解决条件概率问题的步骤

第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．

第二步，计算概率，这里有两种思路．

思路一：

缩减样本空间法计算条件概率．

如求P（A|B），可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P（A|B）＝计算．

思路二：

直接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别计算出P（AB），P（B），再利用公式P（A|B）＝计算．

[例1]　

（1）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（　　）

A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45

（2）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）＝（　　）

A.B.C.D.

（3）如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）＝________.

[解析]　

（1）根据条件概率公式P（B|A）＝，可得所求概率为＝0.8.

（2）P（A）＝＝，P（B）＝＝，又A⊇B，则P（AB）＝P（B）＝，所以P（B|A）＝＝＝.

（3）由题意可得，事件A发生的概率P（A）＝＝＝.事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P（AB）＝＝＝.故P（B|A）＝＝＝.

[答案]　

（1）A　

（2）B　（3）

[易错提醒]

要注意P（B|A）与P（A|B）的不同：

前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　

事件的相互独立性

1．求相互独立事件的步骤

第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；

第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；

第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．

此外，也可以从对立事件入手计算概率．

2．相互独立事件概率的求法

与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：

事件A，B相互独立

概率计算公式

A，B同时发生

P（AB）＝P（A）P（B）

A，B同时不发生

P（）＝P（）P（）＝[1－P（A）][1－P（B）]

＝1－P（A）－P（B）＋P（A）P（B）

A，B至少有一个不发生

P＝1－P（AB）＝1－P（A）P（B）

A，B至少有一个发生

P＝1－P（）＝1－P（）P（）＝P（A）＋P（B）－P（A）P（B）

A，B恰有一个发生

P＝P（A＋B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）

＝P（A）＋P（B）－2P（A）P（B）

[例2]　（2016·山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（2）“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E（X）．

解：

（1）记事件A：

“甲第一轮猜对”，

记事件B：

“乙第一轮猜对”，

记事件C：

“甲第二轮猜对”，

记事件D：

“乙第二轮猜对”，

记事件E：

“‘星队’至少猜对3个成语”．

由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC，由事件的独立性与互斥性，

得P（E）＝P（ABCD）＋P（BCD）＋P（ACD）＋P（ABD）＋P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）P（D）＋P（）·P（B）P（C）P（D）＋P（A）P（）P（C）P（D）＋P（A）P（B）P（）P（D）＋P（A）P（B）P（C）P（）＝×××＋2×＝，

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.

（2）由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得

P（X＝0）＝×××＝，

P（X＝1）＝2×＝＝，

P（X＝2）＝×××＋×××＋×××＋×××＝，

P（X＝3）＝×××＋×××＝＝，

P（X＝4）＝2×＝＝，

P（X＝6）＝×××＝＝.

可得随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

6

P

所以数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.

1．抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P（A|B）等于（　　）

A.B.C.D.

解析：

选A　在事件B发生的条件下研究事件A，事件B总共有5种结果，而事件AB只含有其中的2种，所以P（A|B）＝＝.

2．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（　　）

A.B.C.D.

解析：

选B　恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是一等品，则情形为两种，∴P＝×＋×＝.

3甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为（　　）

A．0.45B．0.6C．0.65D．0.75

解析：

选D　设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A，则由P（B）＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，

得P（A|B）＝＝＝＝0.75.

4．事件A，B，C相互独立，如果P（AB）＝，P（C）＝，P（AB）＝，则P（B）＝________，P（B）＝________.

解析：

联立由③÷①得P（）＝，可得P（C）＝1－P（）＝1－＝.将P（C）＝代入②得P（）＝，所以P（B）＝1－P（）＝，由①可得P（A）＝.所以P（B）＝P（）·P（B）＝×＝.

答案：

5．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：

滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．

（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．

解：

（1）若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，

两人都付0元的概率为P1＝×＝，

两人都付40元的概率为P2＝×＝，

两人都付80元的概率为P3＝×1－－＝×＝，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.

（2）由题意得，ξ所有可能的取值为0,40,80,120,160.

P（ξ＝0）＝×＝，

P（ξ＝40）＝×＋×＝，

P（ξ＝80）＝×＋×＋×＝，

P（ξ＝120）＝×＋×＝，

P（ξ＝160）＝×＝，

ξ的分布列为

ξ

0

40

80

120

160

P

E（ξ）＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.

突破点

（二）　独立重复试验与二项分布

1．独立重复试验

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai（i＝1,2，…，n）表示第i次试验结果，则P（A1A2A3…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）．

2．二项分布

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k（k＝0,1,2，…，n）．

求独立重复试验的概率

[例1]　

（1）小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（　　）

A.B.C.D.

（2）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：

质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点（2,3）的概率是（　　）

A.5B．C5

C．C3D．CC5

[解析]　

（1）所求概率P＝C·1·1－3－1＝.

（2）移动五次后位于点（2,3），

所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次．

故其概率为C3·2＝C5＝C5.

[答案]　

（1）A　

（2）B

[易错提醒]

（1）“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：

恰好发生k次的概率为Pn（k）＝Cpk（1－p）n－k，有指定的k次发生的概率为P＝pk（1－p）n－k；

（2）Pn（k）＝Cpk（1－p）n－k恰好是[（1－p）＋p]n的第k＋1项Tk＋1＝C（1－p）n－kpk.　

二项分布的简单应用

1．二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：

根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．

2．若离散型随机变量X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p），即其均值和方差的求解既可以利用定义，也可以直接代入上述公式．

[例2]　某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．

（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．

[解]　

（1）记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，

B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．

由题意知A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A12＋1A2，C＝B1＋B2.

因为P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，

所以P（B1）＝P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝×＝，

P（B2）＝P（A12＋1A2）＝P（A12）＋P（1A2）

＝P（A1）P

（2）＋P

（1）P（A2）

＝P（A1）（1－P（A2））＋（1－P（A1））P（A2）

＝×＋×＝.

故所求概率为P（C）＝P（B1＋B2）＝P（B1）＋P（B2）＝＋＝.

（2）顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，

由

（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，

所以X～B.

于是P（X＝0）＝C03＝，

P（X＝1）＝C12＝，

P（X＝2）＝C21＝，

P（X＝3）＝C30＝.

故X的分布列为

X

0

1

2

3

P

数学期望E（X）＝3×＝.

[方法技巧]

求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B（n，p），则用公式E（X）＝np；D（X）＝np（1－p）求解，可大大减少计算量．　

1．某人参加一次考试，4道题中解对3道即为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率是（　　）

A．0.18B．0.28

C．0.37D．0.48

解析：

选A　C×0.43×0.6＋C×0.44＝0.1792≈0.18.

2．设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为________．

解析：

假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B（3，p），则有1－（1－p）3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××2＝.

答案：

3．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D（X）＝________.

解析：

∵X～B，∴D（X）＝3××＝.

答案：

4．某智能玩具的外形是正方体，其每一个面（编号分别为①②③④⑤⑥）上都配置有5颗颜色各异的闪光小星星，假设每颗闪光小星星正常发光的概率均为，若一个面上至少有3颗闪光小星星正常发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要10元，用η表示更换费用．

（1）求①号面需要更换的概率；

（2）求η的分布列及数学期望．

解：

（1）由题意知，①号面需要更换的概率为1－＝.

（2）设需要更换的面的个数为ξ，则ξ～B，

P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，

P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，

P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，

P（ξ＝6）＝＝，

所以η的分布列为

η

0

10

20

30

40

50

60

P

所以数学期望E（η）＝0×＋10×＋20×＋30×＋40×＋50×＋60×＝30（元）．

（或E（η）＝E（10ξ）＝10E（ξ）＝10×6×＝30（元）．）

5．2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目．纪念活动包括纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等．据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这3个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如下表所示：

参加纪念活动的环节数

0

1

2

3

概率

（1）若从抗战老兵中随机抽取2名进行座谈，求这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同的概率；

（2）某医疗部门决定从这些抗战老兵中（其中参加纪念活动的环节数为3的抗战老兵数大于等于3）随机抽取3名进行体检，其中参加纪念活动的环节数为3的抗战老兵有ξ名，求ξ的分布列和数学期望．

解：

（1）设“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同”为事件M，则“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数相同”为事件，根据题意可知P（）＝2＋2＋2＋2＝，由对立事件的概率计算公式可得P（M）＝1－P（）＝，即这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不

同的概率为.

（2）根据题意可知随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，且ξ～B

则P（ξ＝0）＝C×3＝，

P（ξ＝1）＝C××2＝，

P（ξ＝2）＝C×2×＝，

P（ξ＝3）＝C×3＝.

则随机变量ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

P

E（ξ）＝3×＝1.

突破点（三）　正态分布

1．正态曲线及性质

（1）正态曲线的定义

函数φμ，σ（x）＝e－，x∈（－∞，＋∞）（其中实数μ和σ（σ＞0）为参数）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

（2）正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定：

2．正态分布

（1）正态分布的定义及表示：

如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N（μ，σ2）．

（2）正态分布的三个常用数据：

①P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0.682_6；

②P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝0.954_4；

③P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）＝0.997_4.

正态曲线的性质

[例1]　

（1）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ<4）＝0.8，则P（0<ξ<2）＝（　　）

A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2

（2）某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100,102），已知P（90≤ξ≤100）＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．

[解析　

（1）画出正态曲线如图，结合图象知：

P（ξ<0）＝P（ξ>4）＝1－P（ξ<4）＝1－0.8＝0.2，P（0<ξ<2）＝P（0<ξ<4）＝[1－P（ξ<0）－P（ξ>4）]＝（1－0.2－0.2）＝0.3.

（2）由题意，知P（ξ>110）＝＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.

[答案]　

（1）C　

（2）10

[方法技巧]

利用正态曲线的对称性求概率是高考考查的重点．解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．

对于正态分布N（μ，σ2），由x＝μ是正态曲线的对称轴知：

（1）对任意的a，有P（X<μ－a）＝P（X>μ＋a）；

（2）P（X

（3）P（a

正态分布

[例2]　

（1）已知某批零件的长度误差（单位：

毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（　　）

附：

若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ<ξ<μ＋σ）＝68.26%，P（μ－2σ<ξ<μ＋2σ）＝95.44%.

A．4.56%　　　　　　　B．13.59%

C．27.18%D．31.74%

（2）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（　　）

附：

若X～N（μ，σ2），

则P（μ－σ

P（μ－2σ

A．2386B．2718C．3413D．4772

[解析]　

（1）由正态分布的概率公式知P（－3<ξ<3）＝0.6826，P（－6<ξ<6）＝0.9544，故P（3<ξ<6）＝＝＝0.1359＝13.59%.

（2）由P（－1

[答案

（1）B　

（2）C

[方法技巧]

解决正态分布问题的三个关键点

（1）对称轴x＝μ；

（2）标准差σ；

（3）分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．

1．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（4，σ2）（σ>0），若ξ在（0,4）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，＋∞）内取值的概率为（　　）

A．0.2B．0.4C．0.8D．0.9

解析：

选D　∵ξ服从正态分布N（4，σ2）（σ>0），∴曲线的对称轴是直线x＝4，∴ξ在（4，＋∞）内取值的概率为0.5.

∵ξ在（0,4）内取值的概率为0.4，∴ξ在（0，＋∞）内取值的概率为0.5＋0.4＝0.9.

2．设随机变量X服从正态分布N（3,4），若P（X＜2a－3）＝P（X＞a＋2），则a＝（　　）

A．3B.C．5D.

解析：

选D　因为X服从正态分布N（3,4），P（X＜2a－3）＝P（X＞a＋2）．∴2a－3＋a＋2＝6，a＝.

3．已知随机变量X～N（2，s2），若P（X

解析：

由正态曲线的对称性可得：

P（a≤X<4－a）＝1－2P（X

答案：

0.36

4．商场经营的某种袋装大米质量（单位：

kg）服从正态分布N（10，0.12），任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为________．（精确到0.0001）

注：

P（μ－σ

P（μ－2σ

P（μ－3σ

解析：

因为袋装大米质量（单位：

kg）服从正态分布N（10，0.12），所以P（ξ<9.8）＝[1－P（9.8<ξ<10.2）]＝[1－P（10－2×0.1<ξ<10＋2×0.1）]＝（1－0.9544）＝0.0228.

答案：

0.0228

5．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（100,100），已知满分为150分．

（1）试求考试成绩ξ位于区间（80,120]内的概率；

（2）若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格（不小于90分）的人数．

解：

（1）由ξ～N（100,100），知μ＝100，σ＝10.

∴P（80＜ξ≤120）＝P（100－20＜ξ≤100＋20）＝0.9544，

即考试成绩位于区间（80,120]内的概率为0.9544.

（2）P（90＜ξ≤110）＝P（100－10＜ξ≤100＋10）＝0.6826，

∴P（ξ＞110）＝×（1－0.6826）＝0.1587，

∴P（ξ≥90）＝0.6826＋0.1587＝0.8413.

∴及格人数为2000×0.8413≈1683.

[全国卷5年真题集中演练——明规律]

1．（2015·新课标全国卷Ⅰ）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）

A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312

解析：

选A　3次投篮投中2次的概率为P（k＝2）＝C×0.62×（1－0.6），投中3次的概率为P（k＝3）＝0.63，所以通过测试的概率为P（k＝2）＋P（k＝3）＝C×0.62×（1－0.6）＋0.63＝0.648.故选A.

2．（2014·新课标全国卷Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布，求P（187.8

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数．利用①的结果，求EX.

附：

≈12.2.

若Z～N（μ，σ2），则P（μ－σ