学年鲁教版七年级数学下册《86三角形内角和定理》同步练习题附答案.docx

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学年鲁教版七年级数学下册《86三角形内角和定理》同步练习题附答案

2021-2022学年鲁教版七年级数学下册《8-6三角形内角和定理》同步练习题（附答案）

一．选择题

1．在△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝100°，则∠C＝（　　）

A．70°B．60°C．50°D．40°

2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB、AC上一点，BE、CD相交于点F，若∠A＝60°，∠ACD＝40°，∠ABE＝30°，则∠CFE的度数为（　　）

A．50°B．60°C．120°D．130°

3．△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（　　）

A．5B．10C．12D．20

4．若三角形三个内角度数比为2：

3：

4，则这个三角形一定是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，点D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝（　　）

A．20°B．30°C．40°D．50°

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝30°，则∠CBD＝（　　）

A．5°B．10°C．15°D．20°

7．把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中A、D、B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论：

①∠MBN＝45°，②∠BNE＝∠BMC，③∠EBN＝65°，④2∠NBD＝∠CBM，其中结论正确的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A的度数为（　　）

A．30°B．45°C．20°D．22.5°

二．填空题（共8小题）

9．如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F，交AC于E．已知∠A＝35°，∠ECD＝85°，则∠D＝　　．

10．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为　　．

11．如图所示，△ABC中，∠A＝50°，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线，则∠M的度数为　　．

12．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A、B均落在O处，且EA与EB重合于线段EO，测得∠C＝42°，则∠CDO+∠CFO＝　　度．

13．如图中的x的值为　　．

14．在△ABC中，∠A＝∠B，∠A+∠C＝3∠B，则△ABC的形状是　　．

15．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝70°，则∠C的度数是　　度．

16．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，若∠A＝66°，则∠BGC的度数为　　．

三．解答题（共4小题）

17．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．

18．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．

（1）若∠C＝40°，求∠DAE的度数；

（2）若EF⊥AE，交AC于点F，请补全图形，并在第

（1）问的条件下，求∠FEC的度数．

19．如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．

（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；

（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．

20．新定义：

在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．

（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为　　倍角三角形．

（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动点；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．

（3）如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．

参考答案

一．选择题

1．解：

在△ABC中，∵∠A＝40°，∠B＝100°，

∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，

故选：

D．

2．解：

∵∠A＝60°，∠ABE＝30°，∠BEC为△ABE的外角，

∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝90°，

∵∠ACD＝40°，

根据三角形内角和定理可得，

∠CFE＝180°﹣∠ACD﹣∠BEC＝50°．

故选：

A．

3．解：

∵∠C＝50°，∠B＝30°，

∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，

∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠BAE＝50°，

∴∠FED＝50°+30°＝80°，

又∵DF⊥BC，

∴∠FED+∠EFD＝90°，

∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，

故选：

B．

4．解：

设三个内角度数为2x、3x、4x，

由三角形内角和定理得，2x+3x+4x＝180°，

解得，x＝20°，

则三个内角度数为40°、60°、80°，

则这个三角形一定是锐角三角形，

故选：

A．

5．解：

∵△DEF是由△DEA折叠成的，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠DEF．

∵∠BDF+∠1+∠2＝180°，

∴∠BDF＝180°﹣2∠1．

∵∠CEF+∠CED＝∠DEF，∠CED＝∠1+∠A，∠3+∠1+∠A＝180°，

∴∠CEF＝∠3﹣∠CED

＝180°﹣∠1﹣∠A﹣∠1﹣∠A

＝180°﹣2∠1﹣40°

＝140°﹣2∠1．

∴∠BDF﹣∠CEF＝180°﹣2∠1﹣（140°﹣2∠1）

＝180°﹣2∠1﹣140°+2∠1

＝40°．

故选：

C．

6．解：

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝60°，

由折叠性质得：

∠ABD＝∠A'BD，

∴∠ABC﹣∠CBD＝∠A'BC+∠CBD，

∴60°﹣∠CBD＝30°+∠CBD，

解得：

∠CBD＝15°．

故选：

C．

7．解：

∵∠ABC＝60°，BM平分∠ABC，

∴∠ABM＝∠CBM＝30°，

∵∠DBE＝90°，

∴∠CBE＝90°+60°＝150°，

∵BN平分∠CBE，

∴∠CBN＝∠EBN＝

×150°＝75°，

∴∠MBN＝∠CBN﹣∠CBN＝75°﹣30°＝45°，故①正确，③错误，

∵∠C＝90°，

∴∠BMC＝90°﹣30°＝60°，

∵∠BNE＝180°﹣∠E﹣∠EBN＝180°﹣75°﹣45°＝60°，

∴∠BMC＝∠BNE，故②正确，

∴∠NBD＝90°﹣75°＝15°，

∴2∠NBD＝∠CBM，故④正确，

故选：

C．

8．解：

∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，

∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，

∵∠ACE＝∠A+∠ABC，

即∠ACD+∠ECD＝∠ABC+∠CBD+∠A，

∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A，

∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD）

∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝15°

∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝15°

∴∠A＝2×15°＝30°．

故选：

A．

二．填空题

9．解：

∵DF⊥AB，

∴∠AFE＝90°，

∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝180°﹣35°﹣90°＝55°，

∴∠CED＝∠AEF＝55°，

∵∠ECD＝85°，

∴∠D＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣55°﹣85°＝40°，

故答案为：

40°．

10．解：

如图，连接AA'，

∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，

∴∠A'BC＝

∠ABC，∠A'CB＝

∠ACB，

∵∠BA'C＝120°，

∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝120°，

∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，

∵沿DE折叠，

∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，

∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，

∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，

故答案为：

120°．

11．解：

∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP＝∠CBP＝

∠ABC，

∵CP平分∠ACD，

∴∠ACP＝∠DCP＝

∠ACD，

∴∠ACD＝180°﹣∠ACB，

∴∠ACP＝90°﹣

∠ACB，

∵∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB，（三角形内角和为180°），

∵∠PBC＝

∠ABC，

∵∠PCB＝90°﹣

∠ACB，

∴∠P＝180°﹣

∠ABC﹣90°+

∠ACB

＝90°﹣

（180°﹣50°）＝25°，

∵MB平分∠PBC，MC平分∠PCB，

∴∠MBC＝

∠PBC，

∠MCB＝

∠PCB，

∴∠M＝180°﹣∠MBC﹣∠MCB

＝180°﹣

（∠PBC+∠PCB）

＝180°﹣

×（180°﹣∠P）

＝102.5°．

故答案为：

102.5°．

12．解：

延长FO交AC于点G，如图，

∵∠C＝42°，

∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝138°，

由折叠性质可得∠A＝∠DOE，∠B＝∠EOF，

∴∠DOE+∠EOF＝138°，

即∠DOF＝138°，

∴∠DOG＝180°﹣∠DOF＝42°，

∵∠CGF中△DOG的外角，

∴∠CGF＝∠CDO+∠DOG＝∠CDO+42°，

在△CGF中，∠C+∠CGF+∠CFG＝180°，

∴42°+∠CDO+42°+∠CFO＝180°，

∴∠CDO+∠CFO＝96°．

故答案为：

96．

13．解：

由题意得x+x+x＝180，

即3x＝180，

解得x＝60，

故答案为60．

14．解：

∵∠A+∠C＝3∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠B+3∠B＝180°，

∴∠B＝45°，

∴∠A＝∠B＝45°，

∴∠C＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

故答案为：

等腰直角三角形．

15．解：

∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°．

故答案为：

80°．

16．解：

∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB，

∴∠EBC＝

∠ABC，∠FCB＝

∠ACB，

∴∠EBC+∠FCB＝

（∠ABC+∠ACB）＝

（180°﹣∠A）＝

（180°﹣100°）＝40°，

∴∠BGC＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）＝180°﹣40°＝140°．

故答案为：

123°．

三．解答题

17．解：

∵∠B＝40°，∠C＝80°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE＝

∠BAC＝30°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∵∠C＝80°，

∴∠CAD＝90°﹣∠C＝10°，

∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝30°﹣10°＝20°．

18．解：

（1）∵∠C＝40°，∠B＝2∠C，

∴∠B＝80°，

∴∠BAC＝60°，

∵AE平分∠BAC，

∴

，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DAC＝90°﹣40°＝50°，

∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝50°﹣30°＝20°；

（2）如图，

∵EF⊥AE，

∴∠AEF＝90°，

∴∠AED+∠FEC＝90°，

∵∠DAE+∠AED＝90°，

∴∠DAE＝∠FEC．

∵AE平分∠BAC，

∴

，

∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，

∴

，

∴

，

∴∠C＝2∠FEC，

∴∠FEC＝20°．

19．解：

（1）∵AE是∠BAC的角平分线，

∴∠BAE＝

∠BAC＝40°．

∵AD是△ABC的高线，

∴∠BDA＝90°，

∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，

∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°；

（2）如图1，∠BAD+∠BAE＝∠DAE；

如图2，∠BAD+∠DAE＝∠BAE；

如图3，∠BAE+∠DAE＝∠BAD；

如图4，∠BAE+∠DAE＝∠BAD．

20．解：

（1）∵∠E＝40°，∠F＝35°，

∴∠D＝180°﹣40°﹣35°＝105°，

∴∠D＝3∠F，

∴△ABC为3倍角三角形，

故答案为：

3；

（2）解：

∵∠POM＝30°，

∴∠OAB+∠OBA＝150°．

又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB，

∴∠CBA+∠CAB＝

∠OAB+

∠OBA＝75°，

∴∠C＝105°．

①当∠CBA＝2∠CAB时，∵∠CBA+∠CAB＝75°，

∴∠BAC＝25°；

②当∠CAB＝2∠CBA时，∵∠CBA+∠CAB＝75°，

∴∠BAC＝50°；

③当∠C＝2∠CAB时，∵∠C＝105°，

∴∠BAC＝

∠C＝52.5°；

④当∠C＝2∠CBA时，∵∠C＝105°，

∴∠CBA＝

∠C＝52.5°，

∴∠BAC＝22.5°．

综上，在△ABC中当一个角是另一个角的2倍时，∠BAC等于50°、52.5°、25°或22.5°；

（3）解：

∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，

∴∠BAE＝∠EAO，∠OAF＝∠GAF，

∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝90°，

∴∠E+∠F＝90°；

又∵EF平分∠BOQ，

∴∠EOQ＝∠E+∠EAO＝45°①，

∠BOQ＝∠ABO+∠BAO＝90°②；

①×2﹣②得：

∠ABO＝2∠E．

若△AEF为3倍角三角形：

i）若∠F＝3∠E，∵∠E+∠F＝90°，

∴∠E＝22.5°，

∴∠ABO＝45°；

ii）若∠E＝3∠F，

∴∠E＝67.5°，

∴∠ABO＝135°（不符合题意，舍去）；

iii）若∠EAF＝3∠E，∴∠E＝30°，

∴∠ABO＝60°；

iv）若∠EAF＝3∠F，∴∠F＝30°，∠E＝60°，

∴∠ABO＝120°（不符合题意，舍去）；

综上所述，∠ABO等于45°或60°时，△AEF为3倍角三角形．