考研数二真题标准答案及解析.docx

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考研数二真题标准答案及解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学

（二）

一、填空题

（1）曲线的水平渐近线方程为.

（2）设函数在处连续，则.

（3）广义积分.

（4）微分方程的通解是.

（5）设函数由方程确定，则=.

（6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则=

.

二、选择题

（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则

（A）（B）

（C）（D）【】

（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是

（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数

（C）在间断的奇函数（D）在间断的偶函数.【】

（9）设函数可微，，则等于

（A）.（B）

（C）（D）【】

（10）函数满足一个微分方程是

（A）（B）

（C）（D）

（11）设为连续函数，则等于

（A）（B）

（C）（D）【】

（12）设与均为可微函数，且.已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是

（A）若，则.

（B）若，则.

（C）若，则.

（D）若，则.【】

（13）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是

（A）若线性相关，则线性相关.

（B）若线性相关，则线性无关.

（C）若线性无关，则线性相关.

（D）若线性无关，则线性无关.【】

（14）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则

（A）（B）

（C）（D）

三解答题

15．试确定A，B，C的常数值，使得，其中是当

.

16．.

17．，

18．

；

.

19．

20设函数满足等式.

（Ⅰ）验证；（Ⅱ）若.

21已知曲线的方程为

（Ⅰ）讨论的凹凸性；

（Ⅱ）过点（-1，0）引的切线，求切点，并写出切线的方程；

（Ⅲ）求此切线与（对应于的部分）及轴所围成的平面图形的面积.

22已知非齐次线性方程组

Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩；

Ⅱ求的值及方程组的通解.

23设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解,（Ⅰ）求A的特征值与特征向量（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.

2006年全国硕士研究生入学考试数学

（二）真题解析

一、填空题

（1）曲线的水平渐近线方程为

（2）设函数在x=0处连续，则a=

（3）广义积分

（4）微分方程的通解是

（5）设函数确定，则

当x=0时，y=1，

又把方程每一项对x求导，

（6）设A=21,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=.

-12

解:

由BA=B+2E化得B（A-E）=2E,两边取行列式,得

|B||A-E|=|2E|=4,

计算出|A-E|=2,因此|B|=2.

二、选择题

（7）设函数具有二阶导数，且为自变量x在点x0处的增量，，则[A]

（A）（B）

（C）（D）

由严格单调增加

是凹的

即知

（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则

是[B]

（A）连续的奇函数（B）连续的偶函数

（C）在x=0间断的奇函数（D）在x=0间断的偶函数

（9）设函数则g

（1）等于[C]

（A）（B）

（C）（D）

∵，g

（1）=

（10）函数满足的一个微分方程是[D]

（A）（B）

（C）（D）

将函数代入答案中验证即可.

（11）设为连续函数，则等于[C]

（A）（B）

（C）（D）

（12）设均为可微函数，且在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是[D]

（A）若

（B）若

（C）若

（D）若

今代入

（1）得

今故选[D]

（13）设α1,α2,…,αs都是n维向量，A是mn矩阵，则（）成立.

（A）若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.

（B）若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.

（C）若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.

（D）若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.

解:

（A）

本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.

若α1,α2,…,αs线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得

c1α1+c2α2+…+csαs=0,

用A左乘等式两边,得

c1Aα1+c2Aα2+…+csAαs=0,

于是Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.

如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:

1.α1,α2,…,αs线性无关r（α1,α2,…,αs）=s.

2.r（AB）r（B）.

矩阵（Aα1,Aα2,…,Aαs）=A（α1,α2,…,αs）,因此

r（Aα1,Aα2,…,Aαs）r（α1,α2,…,αs）.

由此马上可判断答案应该为（A）.

（14）设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记110

P=010,则

001

（A）C=P-1AP.（B）C=PAP-1.

（C）C=PTAP.（D）C=PAPT.

解:

（B）

用初等矩阵在乘法中的作用得出

B=PA,

1-10

C=B010=BP-1=PAP-1.

001

三、解答题

（15）试确定A，B，C的常数值，使其中是当.

解：

泰勒公式代入已知等式得

整理得

比较两边同次幂函数得

B+1=A①

C+B+=0②

③

式②-③得

代入①得

代入②得

（16）求.

解：

原式=

.

（17）设区域，计算二重积分.

解：

用极坐标系

.

（18）设数列满足，

证明：

（1）存在，并求极限；

（2）计算.

证：

（1）

单调减少有下界

根据准则1，存在

在两边取极限得

因此

（2）原式

离散型不能直接用洛必达法则

先考虑

用洛必达法则

.

（19）证明：

当时，.

证：

令

只需证明严格单调增加

严格单调减少

又

故单调增加（严格）

得证

（20）设函数内具有二阶导数，且满足等式.

（I）验证；

（II）若求函数.

证：

（I）

（II）令

（21）已知曲线L的方程

（I）讨论L的凹凸性；

（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程；

（III）求此切线与L（对应部分）及x轴所围的平面图形的面积.

解：

（I）

（II）切线方程为，设，，

则

得

点为（2，3），切线方程为

（III）设L的方程

则

由于（2，3）在L上，由

（22）已知非齐次线性方程组

x1+x2+x3+x4=-1,

4x1+3x2+5x3-x4=-1，

ax1+x2+3x3+bx4=1

有3个线性无关的解.

证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.

求a,b的值和方程组的通解.

解:

设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r（A）2,从而r（A）2.

又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r（A）2.

两个不等式说明r（A）=2.

对方程组的增广矩阵作初等行变换:

1111-11111-1

（A|β）=435-1-10–11–53,

a13b1004-2a4a+b-54-2a

由r（A）=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:

102-42

01-15-3.

00000

得同解方程组

x1=2-2x3+4x4，

x2=-3+x3-5x4，

求出一个特解（2,-3,0,0）T和AX=0的基础解系（-2,1,1,0）T,（4,-5,0,1）T.得到方程组的通解:

（2,-3,0,0）T+c1（-2,1,1,0）T+c2（4,-5,0,1）T,c1,c2任意.

（23）设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=（-1,2,-1）T,α2=（0,-1,1）T都是齐次线性方程组AX=0的解.

求A的特征值和特征向量.

求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得QTAQ=.

解:

条件说明A（1,1,1）T=（3,3,3）T,即α0=（1,1,1）T是A的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关,特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.

属于3的特征向量:

cα0,c0.

属于0的特征向量:

c1α1+c2α2,c1,c2不都为0.

将α0单位化,得η0=（,,）T.

对α1,α2作施密特正交化,的η1=（0,-,）T,η2=（-,,）T.

作Q=（η0,η1,η2）,则Q是正交矩阵,并且

300

QTAQ=Q-1AQ=000.

000