数学河南省南阳市学年高二下学期期末考试理.docx
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数学河南省南阳市学年高二下学期期末考试理
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期末考试（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．复数2（i为虚数单位）的共轭复数是（
1i
A．1iB．1iC．1i
）
D．1i
2．已知变量x,y之间的线性回归方程为y0.4x7.6，且变量x,y之间的一组相关数据
如表所示，则下列说法错误的是（）
A．变量x,y之间呈现负相关关系
B．m的值等于5
C．变量x,y之间的相关系数r0.4
D．由表格数据知，该回归直线必过点9,4
3．在等差数列
an中，如果m,n,p,r
N*
，且mn
p3r
，那么必有
am
an
ap
3ar，类比该结论，在等比数列
bn
中，如果m,n,p,rN*，且
m
n
p3r，那么必有（
）
A．bm
bn
bp
3br
B．bm
bn
bp
br3
C．bmbnbp
3br
D．bmbnbp
br3
4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有
10个白球，5个红球.从袋中任取
3个
球，所取的3个球颜色不同的概率为（
）
A．C101C51C131
B．1C103
C．C102C51
C102C52
D．1C53
C3
C3
C3
C3
15
15
15
15
5．设X~N1,1
，其正态分布密度曲线如图所示，
那么向正方形
ABCD中随机投掷10000
个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）
（注：
若X~N,
2
X
68.26%，
，则P
P2X
295.44%
）
A．7539
B．6038
C．7028
D．6587
6
m
3cosx
dx
，则
x
2
y
3
z
m
x
m2
yz
的展开式中，
项的系数等于（
）
．已知
0
2
A．180
B．-180
C．-90
D．15
7．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为
“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概
率均为3，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三
4
局的概率为（）
1
2
2
4
A．
B．
C．
D．
3
5
3
5
8．设0
p1，随机变量
的分布列是
则当p在
0,1内增大时（
）
A．D
减小
B．
C．D
先减小后增大
D．
D
D
增大
先增大后减小
9．函数fx与它的导函数f
x的图象如图所示，则函数gx
fx
的单调递减区间
ex
为（
）
A．0,4B．
C．0,4
D．
3
4
1,,4
0,1,4,
10．已知函数f
x
x33xm，若方程f
x
0
有两个相异实根x1,x2，且x1
x2
0，
则实数m的值等于（
）
A．-2或2
B．-2
C．2
D．0
11．若m,n均为非负整数，在做m
n的加法时各位均不进位（例如，1343802
3936
），
则称m,n为“简单的”有序对，而m
n称为有序数对
m,n的值，那么值为2964的“简单
的”有序对的个数是（
）
A．525
B．1050
C．432
D．864
12．若直线y
ax
b与曲线f
x
lnx
1相切，则b的最小值为（
）
a
A．
1
2
C．e
D．
1
2
B．e
e
e
第Ⅱ卷（共90
分）
二、填空题（每题
5分，满分
20分，将答案填在答题纸上）
13．在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有
8个不同节目的节目单，
如果保持原来
的节目相对顺序不变，临时再插进去
A、B、C三个不同的新节目，且插进的三个新节目按
A、B、C顺序出场，那么共有
种不同的插入方法（用数字作答）
．
14
1
1，
1
1
4，
1
1
3，
1
．观察下列各式：
1
2
3
1
2
1
2
3
2
1
1
1
1
3
1
1
3
4
8，由此可猜想，若
1
2
2
2
5
1
1
1
L
1
m，则m
．
2
1
2
3
1
2
3
L
10
1
15．假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为
1p，且各引擎是否有故障
是独立的，已知
4引擎飞机中至少有
3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；
2引擎飞
机要
2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行
.要使
4引擎飞机比
2引擎飞机更安全，则
p
的取值范围是
．
16．已知函数
f
x
2cosx
sin2x，则
f
x
的最大值是
．
三、解答题
（本大题共
6小题，共
70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
）
17．已知0
（1）试猜想
a
ab1.lnb与b
lna的大小关系；
（2）证明
（1）中你的结论.
18．如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A,B的六个点C1,C2,L,C6，直径AB
上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.则：
（1）以这12个点（包括A,B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
（2）以这10个点（不包括A,B）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？
19．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，
交通部门随机对
50名家用轿车驾驶员进
行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：
在
30名男性驾驶员中，平均车速
超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有5人，不超过100km/h的有15人．
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关；
（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取
3辆，
记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过
100km/h的车辆数为
，若每次抽取的结果是相
互独立的，求
的数学期望.
2
参考公式：
k2
n
ad
bc
，其中nab
cd．
abc
d
ac
bd
参考数据：
．已知x2n
a0
a1x1a2
x1
2
n
nN
*
20
Lanx
1
.
（1）求a0及Sn
a1
a2
Lan；
（2）试比较Sn与2n2
3n的大小，并用数学归纳法证明.
21．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，
未售出的酸奶降价处理，
以每瓶
2元的价格当天全部处理完．
根据往年销售经验，每天需求
量与当天最高气温（单位：
℃）有关．如果最高气温不低于
25，需求量为
500瓶；如果最
高气温位于区间
20,25
，需求量为
300瓶；如果最高气温低于
20，需求量为
200瓶．为
了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：
瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元），当六月份这种酸奶一天的进货
量n（单位：
瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
22．设a
R，函数f
x
x2e1
x
ax
1.
（1）当a
1时，求f
x在
3,2
上的单调区间；
4
（2）设函数gx
f
x
a
x
1
e1x
，当g
x有两个极值点x1,x2x1
x2时，总
有x2gx1
f
x1
，求实数
的值.
参考答案
一、选择题
1-5:
BCDCD6-10:
BADDC11、12：
BC
二、填空题
13．165
14．
20
15．
1,1
16．
3
3
11
3
2
三、解答题
17．解：
（1）猜想a
lnbblna.
（2）令f（x）
xlnx，则f'（x）
1
1，当0x
1时，f'（x）1
1
0，
x
x
即函数f（x）在（0,1）
上单调递减，
又因为0
a
b1
，所以f（a）
f（b），
即alna
b
lnb
，
故alnbblna.
18．解：
（1）构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：
①四个点从C1,C2,L,C6中取出，有C64个四边形；
②三个点从C1,C2,L,C6中取出，另一个点从D1,D2,D3,D4，A,B中取出，有C63C61个四
边形；
③二个点从C1,C2,L,C6中取出，另外二个点从D1,D2,D3,D4，A,B中取出，有C62C62个
四边形．
故满足条件的四边形共有
NC64C63C61C62C62360（个）．
（2）类似于
（1）可分三种情况讨论得三角形个数为
C63C61C42C62C14116（个）．
19．解：
（1）
平均车速超过平均车速不超过合计
100km/h100km/h
男性驾驶员人数
20
10
30
女性驾驶员人数
5
15
20
合计
25
25
50
5020
15
10
5
2
∵K2
25
8.333
7.879，
30
20
25
25
3
∴所以有99.5%的把握认为平均车速超过
100km/h与性别有关.
（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取
1辆，驾驶
员为女性且车速不超过
100km/h的车辆的概率为15
3
.
50
10
所以
的可能取值为
0,1,2,3，且~B
3
，
3，
10
E
np3
3
0.9
10
20．解：
（1）令x
1，则a0
3n，
n
4n，
令x
2，则
ai
i0
n
4n
3n．
所以
ai
i
1
（2）要比较Sn
与2n2
3n的大小，只要比较
4n与2n2的大小．
猜想：
4n2n2,nN．
下面用数学归纳法证明：
①当n1时，42,结论成立．
②假设当n
k（k
N*）时结论成立，即4k
2k
2，
则当n
k
1时，
4k+1
4
4k
42k2
2（k2
+2k2
k2），
因为k
N*
，所以2k2
k2
2k
1，所以2（k2+2k2
k2）2（k2+2k1）2（k1）2
所以4k1
2（k1）2，
即nk+1时结论也成立．
由①②可知，n
N
时，4n
2n2
所以Sn2n2
3n,n
N
21．解：
（1）由题意知，
X所有的可能取值为
200,300,500，由表格数据知
2
16
0.2
，PX
36
0.4，PX
25
7
4
0.4.
PX200
90
300
500
90
90
因此X的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为
500，至少为
200，因此只需考虑
200n500
当300n500时，
若最高气温不低于
25，则Y
6n4n2n；
若最高气温位于区间
20,25
，则Y
6
300
2n
300
4n
12002n；
若最高气温低于
20，则Y6
200
2n
200
4n
800
2n
因此EY2n
0.4
1200
2n
0.4
800
2n
0.2
640
0.4n
当200n300时，
若最高气温不低于
20，则Y
6n4n
2n，
若最高气温低于
20，则Y
6200
2n
200
4n
8002n，
因此EY
2n
0.40.4
800
2n
0.2
160
1.2n
所以n300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为
520元.
22．解：
（1）当a
1时，f（x）x2e1
x
（x
1），
则f（x）
2xx2
ex1，令h（x）2xx2
ex1，则h（x）22xex1.
ex
1
易知h（x）在3
2
上单调递减，又
h（
3
）
1
1
0，所以h（x）0
4
4
2
4e
所以h（x）在3,2
上单调递减，又因为
h
（1）
0，
4
所以当x
3,1
时，h（x）
0，从而f
（x）
0
，这时f（x）单调递增，
4
当x
1,2时，h（x）0，从而f（x）
0，这时f（x）单调递减.
所以f（x）在
3,2上的增区间是
x
3,1
，减区间是x
1,2
4
4
（2）由题可知g（x）
x2
ae1
x，则g（x）
x2
2xae1
x.
根据题意方程
x2
2x
a
0有两个不等实数根
x1,x2且x1
x2
令
0
得a
1，且x1
x2
2，所以x1
1
由xgx
f
（x）
，其中
2
1x
，
f（x）
2x
x
e
a
2
1
1
2
1x
2x1
2
1
x
a.将x2
2
x1，ax12
2x1
得x2x1
ae
1
x1
e
1
代入左式得：
2x12
x1e1x1
2x1
x12e1
x1
2x1
x12
，
整理得x12e1x1
e1x1
1
0
.
即不等式x12e1
x1
e1
x1
1
0
对任意x1
1恒成立.
①当x1
0时，得
R
②当x
0,1
时，即
2e1
x1
1
e1
x1
1
令Hx1
2e1
x1
21
1
，易知H
x1
是0,1上的减函数，
e1
x1
1
e1
x1
1
所以Hx1
H0
2e
2e
e
，所以
e
1
1
③当x1
0时，即
2e1
x1
.
e1x1
1
Hx1
0上也是减函数，
H
x1
H0
2e
所以
2e
在
e1
.
e1
综上所述
2e
e
1
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