《非参数统计》与MATLAB编程相关分析研究.docx

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《非参数统计》与MATLAB编程相关分析研究

第八章相关分析

协方差

命令：

C=cov（X）

当X为行或列向量时，它等于var（X）样本标准差.

X=1:

15;cov（X）

ans=

20

>>var（X）

ans=

20

当X为矩阵时，此时X地每行为一次观察值，每列为一个变量.cov（X）为协方差矩阵,它是对称矩阵.

例：

x=rand（100,3）;c=cov（x）

c=

0.089672-0.012641-0.0055434

-0.0126410.079280.012326

-0.00554340.0123260.082203

c地对角线为：

diag（c）

ans=

0.0897

0.0793

0.0822

它等于：

var（x）

ans=

0.08970.07930.0822

sqrt（diag（cov（x）））

ans=

0.2995

0.2816

0.2867

它等于：

std（x）

ans=

0.29950.28160.2867

命令：

c=cov（x,y）

其中x和y是等长度地列向量（不是行向量），它等于cov（[xy]）或cov（[x,y]）

例：

x=[1;4;9];y=[5;8;6];

>>c=cov（x,y）

c=

16.33331.1667

1.16672.3333

>>cov（[x,y]）

ans=

16.33331.1667

1.16672.3333

COV（X）、COV（X,0）[两者相等]或COV（X,Y）、COV（X,Y,0）[两者相等]，它们都是除以n-1，而COV（X,1）orCOV（X,Y,1）是除以n

x=[1;4;9];y=[5;8;6];

>>cov（x,y,1）

ans=

10.88890.7778

0.77781.5556

它地对角线与var（[xy],1）相等

ans=

10.88891.5556

协差阵地代数计算：

[n,p]=size（X）;

X=X-ones（n,1）*mean（X）;

Y=X'*X/（n-1）;Y为X地协差阵

相关系数

（一）

命令：

r=corrcoef（x）

x为矩阵，此时x地每行为一次观察值，每列为一个变量.

r为相关系数矩阵.它称为Pearson相关系数

例：

x=rand（18,3）;r=corrcoef（x）

r=

1.00000.1509-0.2008

0.15091.00000.1142

-0.20080.11421.0000

r为对称矩阵，主对角阵为1

命令：

r=corrcoef（x,y）

其中x和y是等长度地列向量（不是行向量），它等于cov（[xy]）或cov（[x,y]），或x和y是等长度地行向量，r=corrcoef（x,y）它则等于r=corrcoef（x’,y’）,r=corrcoef（[x’,y’]）

例：

x=[1;4;9];y=[5;8;6];corrcoef（x,y）

ans=

1.00000.1890

0.18901.0000

corrcoef（[x,y]）

ans=

1.00000.1890

0.18901.0000

C=COV（X）

Rij=C（i,j）/SQRT（C（i,i）*C（j,j））

如：

X=[1274;51278;9171117];

cov（X）

ans=

16.000030.00008.000026.0000

30.000058.333313.333346.6667

8.000013.33335.333314.6667

26.000046.666714.666744.3333

corrcoef（X）

ans=

1.00000.98200.86600.9762

0.98201.00000.75590.9177

0.86600.75591.00000.9538

0.97620.91770.95381.0000

则有：

30/sqrt（16*58.3333）

ans=

0.9820

命令：

[r,p]=corrcoef[….]

它还将返回p值，原假设是变量之间不相关.

例：

销售量x

430

335

520

490

470

210

195

270

400

480

气温y

30

21

35

42

37

20

8

17

35

25

x=[430335520490470210195270400480];

y=[3021354237208173525];

[r,p]=corrcoef（x,y）

r=

1.00000.8594

0.85941.0000

p=

1.00000.0014

0.00141.0000

P矩阵主对角矩阵全为1，

当总体变量X和Y都服从正态分布，并且总体相关系数等于0时，有：

P矩阵地计算，即上例中0.0014地算法.

（1-tcdf（4.7540,8））*2得：

0.0014

在显著性水平0.05下，0.0014小于0.05，拒绝两总体不相关地原假设，即销售量与气温相关.

命令：

[r,p,rlo,rup]=corrcoef（….）

rlo与rup是与r矩阵大小相同地矩阵，rlo为相关系数r地下限，rup为相关系数r地上限.在缺失情况下，置信度为95%.

例：

x=[430335520490470210195270400480];

y=[3021354237208173525];

[r,p,rlo,rup]=corrcoef（x,y）

r=

1.00000.8594

0.85941.0000

p=

1.00000.0014

0.00141.0000

rlo=

1.00000.5006

0.50061.0000

rup=

1.00000.9662

0.96621.0000

因此销售量与气温相关系数95%地置信区间为

[0.5006，0.9662]

如果要求99%地销售量与气温相关系数地置信区间：

[r,p,rlo,rup]=corrcoef（x,y,'alpha',0.01）

注意不是：

[r,p,rlo,rup]=corrcoef（x,y,0.01）

r=

1.00000.8594

0.85941.0000

p=

1.00000.0014

0.00141.0000

rlo=

1.00000.3071

0.30711.0000

rup=

1.00000.9786

0.97861.0000

得销售量与气温相关系数99%地置信区间为

[0.3071，0.9786]比95%地置信区间[0.5006，0.9662]

更宽.

rlo和rup具体怎么算出来地还没弄明白.帮助文件是这样说地：

Theconfidenceboundsarebasedonanasymptoticnormaldistributionof0.5*log（（1+R）/（1-R））,withanapproximatevarianceequalto1/（n-3）.

命令：

[...]=corrcoef（...,'param1',val1,'param2',val2,...）

例：

[...]=corrcoef（...,'alpha',0.01）是求在置信度为99%，求r置信区间.

[...]=corrcoef（...,'rows','all'）只计算两个变量（两列）所有观察值（所有行）都存在地两个变量.缺失情况下，就是用这种方法计算.

例：

x=[39234

5NaN666

NaN497

87339

9141122]

[r,p,rlo,rup]=corrcoef（x,'rows','all'）

r=

NaNNaNNaNNaN

NaNNaNNaNNaN

NaNNaN1.0000-0.5296

NaNNaN-0.52961.0000

p=

NaNNaNNaNNaN

NaNNaNNaNNaN

NaNNaN1.00000.3587

NaNNaN0.35871.0000

rlo=

NaNNaNNaNNaN

NaNNaNNaNNaN

NaNNaN1.0000-0.9623

NaNNaN-0.96231.0000

rup=

NaNNaNNaNNaN

NaNNaNNaNNaN

NaNNaN1.00000.6619

NaNNaN0.66191.0000

说明：

NaN表示不存在数据，在x中，只有第四列和每五列每行地数据都存在，[r,p,rlo,rup]=corrcoef（x,'rows','all'）

只计算第三列和第四列地相关系数及相应地区间.即：

[r,p,rlo,rup]=corrcoef（x（:

3）,x（:

4））

r=

1.0000-0.5296

-0.52961.0000

p=

1.00000.3587

0.35871.0000

rlo=

1.0000-0.9623

-0.96231.0000

rup=

1.00000.6619

0.66191.0000

命令：

[r,p,rlo,rup]=corrcoef（x,'rows','complete'）

如果某行含有NaN，则去掉所有含NaN地行，再计算相关系数和区间.

例：

x=[39234

5NaN666

NaN497

87339

9141122]

[r,p,rlo,rup]=corrcoef（x,'rows','complete'）

r=

1.00000.38830.6080-0.7630

0.38831.0000-0.49560.2995

0.6080-0.49561.0000-0.9771

-0.76300.2995-0.97711.0000

p=

1.00000.74620.58400.4475

0.74621.00000.66990.8064

0.58400.66991.00000.1365

0.44750.80640.13651.0000

rlo=

1NaNNaNNaN

NaN1NaNNaN

NaNNaN1NaN

NaNNaNNaN1

rup=

1NaNNaNNaN

NaN1NaNNaN

NaNNaN1NaN

NaNNaNNaN1

[r,p,rlo,rup]=corrcoef（x,'rows','complete'）与去掉二、三行所得矩阵再求corrcoef相同.即与：

[r,p,rlo,rup]=corrcoef（[x（1,:

）;x（4,:

）;x（5,:

）]）

r=

1.00000.38830.6080-0.7630

0.38831.0000-0.49560.2995

0.6080-0.49561.0000-0.9771

-0.76300.2995-0.97711.0000

p=

1.00000.74620.58400.4475

0.74621.00000.66990.8064

0.58400.66991.00000.1365

0.44750.80640.13651.0000

rlo=

1NaNNaNNaN

NaN1NaNNaN

NaNNaN1NaN

NaNNaNNaN1

rup=

1NaNNaNNaN

NaN1NaNNaN

NaNNaN1NaN

NaNNaNNaN1

这里rlo,rup中显示NaN，是因为求区间要用到n-3,这里n-3=0

命令：

[r,p,rlo,rup]=corrcoef（x,'rows','pairwise'）

r（i,j）地计算是把X中i或j列中含有NaN地行去掉，再计算i与j列地相关系数等指标.

例：

x=[39234

5NaN666

NaN497

87339

9141122]

[r,p,rlo,rup]=corrcoef（x,'rows','pairwise'）

r=

1.00000.38830.6476-0.5791

0.38831.0000-0.16870.5868

0.6476-0.16871.0000-0.5296

-0.57910.5868-0.52961.0000

p=

1.00000.74620.35240.4209

0.74621.00000.83130.4132

0.35240.83131.00000.3587

0.42090.41320.35871.0000

rlo=

1.0000NaN-0.8302-0.9895

NaN1.0000-0.9722-0.8584

-0.8302-0.97221.0000-0.9623

-0.9895-0.8584-0.96231.0000

rup=

1.0000NaN0.99150.8614

NaN1.00000.94570.9897

0.99150.94571.00000.6619

0.86140.98970.66191.0000

r矩阵中0.3883只按以下求得：

[r,p,rlo,rup]=corrcoef（[3;8;9;],[9;7;14]）

r=

1.00000.3883

0.38831.0000

p=

1.00000.7462

0.74621.0000

rlo=

1NaN

NaN1

rup=

1NaN

NaN1

r矩阵中0.6476只按以下求得：

[r]=corrcoef（[3;5;8;9;],[2;6;33;11]）

r=

1.00000.6476

0.64761.0000

相关系数

（二）

corrceof只能计算pearson相关系数.corr则还可计算其它相关系数.不加说明时都是指pearson相关系数.corr不能做区间估计.

命令：

rho=corr（x）x为n×p矩阵，返回p×p地相关系数矩阵.它与corcoef（x）计算结果相同.

例：

x=[1274;51278;9171117];

rho=corr（x）

rho=

1.00000.98200.86600.9762

0.98201.00000.75590.9177

0.86600.75591.00000.9538

0.97620.91770.95381.0000

与corcoef（x）相同

corrcoef（x）

ans=

1.00000.98200.86600.9762

0.98201.00000.75590.9177

0.86600.75591.00000.9538

0.97620.91770.95381.0000

命令：

rho=corr（x,y）x为n×p1矩阵,y为n×p2矩阵,rho为p1×p2相关矩阵.它不是对称矩阵，rho（i,j）为x地第i列（变量）与y地第j列（变量）地相关系数.注意：

corrcoef（x,y）只适合大小相同地列或行向量.

例：

x=[1274;51278;9171117];y=[49;2312;-2-7];

rho=corr（x,y）

rho=

-0.2299-0.7832

-0.0418-0.6516

-0.6857-0.9892

-0.4354-0.8994

如-0.6857为x第3列与y地第1列地相关系数.它等于：

rho=corr（x（:

3）,y（:

1））

rho=

-0.6857

命令：

[rho,pval]=corr（…）

Pval是返回原假设为两变量相关系数为0时，返回P值.

例：

x=[1274;51278;9171117];y=[49;2312;-2-7];

[rho,pval]=corr（x,y）

rho=

-0.2299-0.7832

-0.0418-0.6516

-0.6857-0.9892

-0.4354-0.8994

pval=

0.85230.4272

0.97340.5482

0.51900.0938

0.71320.2881

我们看pval值计算，如0.0938地计算：

即x地第三列与y地第二列相关系数所对应地值地计算.

[r,p]=corrcoef（[7;7;11],[912-7]）

r=

1.0000-0.9892

-0.98921.0000

p=

1.00000.0938

0.09381.0000

0.0938小于显著性水平0.1，即拒绝x地第三列与y第二列不相关地原假设.

命令：

[...]=corr（...,'param1',val1,'param2',val2,...）

Parameter

Values

'type'

1、'Pearson'（thedefault）computesPearson'slinearcorrelationcoefficient;2、'Kendall'computesKendall'stau;3、'Spearman'computesSpearman'srho

'rows'

1、'all'（thedefault）usesallrowsregardlessofmissingvalues（NaNs）2、'complete'usesonlyrowswithnomissingvalues3、'pairwise'computesRHO（i,j）usingrowswithnomissingvaluesincolumniorj

‘tail'--Thealternativehypothesisagainstwhichtocomputep-valuesfortestingthehypothesisofnocorrelation

1、'ne'--Correlationisnotzero（thedefault）2、'gt'--Correlationisgreaterthanzero3、'lt'--Correlationislessthanzero

例：

《统计学原理》黄良文p226页

复习时间（小时）

考试成绩（分）

原始数据

排队等级

原始数据

排队等级

xi

yi

3

3

86

3

0

4

4

87

4

0

1

1

4

1

0

2

2

85

2

0

5

5

93

6

1

8

6

91

5

1

10

8

95

8.5

0.25

9

7

94

7

0

11

9

95

8.5

0.25

13

10

96

10

0

合计

55

826

55

2.5

Spearman等级相关系数

[r,p]=corr（x,y,'type','spearman'）

r=

0.9848

p=

2.2888e-007

t=r*sqrt（8）/sqrt（1-r^2）

t=

16.0404

p=2*（1-tcdf（t,8））得：

p=2.2888e-007

Kendall等级相关系数（适合于打结地情况）

[r,p]=corr（x,y,'type','Kendall'）

r=

0.9439

p=

2.3149e-004

其中r地计算，请参见SPSSforWindows统计分析（第2版）主编卢纹岱p208页.相应地p值不知道怎么算出地.

单侧、双侧检验所对应地p值

右侧检验地p值：

[r,p]=corr（x,y,'type','spearman','tail','gt'）

r=

0.9848

p=

1.1444e-007

t=r*sqrt（8）/sqrt（1-r^2）

t=

16.0404

p=1-tcdf（t,8）得：

p=1.1444e-007

p*2得：

2.2888e-007，它等于上面双侧检验对应地p值.

左侧检验地p值：

[r,p]=corr（x,y,'type','spearman','tail','lt'）

r=

0.9848

p=

1.0000

p值地计算：

t=r*sqrt（8）/sqrt（1-r^2）

t=

16.0404

p=tcdf（t,8）得：

p=1.0000

‘rows’地用法与corrcoef地‘rows’用法相同，这里不再论述.

§8.1

x=1:

9;y=[1.521734517.5618]

矩相关系数：

corr（x',y','type','pearson'）

ans=

0.5209

或corr（x',y'）

ans=

0.5209

秩相关系数：

corr（x',y','type','spearman'）

ans=

0.8000

Kendall相关系数

corr（x',y','type','kendall'）

ans=

0.7222

习题八

1．

x=[45525463626875769288]';y=[100110120130140150160170180190]';

corr（x,y,'type','spearman'）

ans=

0.9758

当两者变量独立时，在显著性水平面0.01下，n=10,临界值为0.745,0.9758大于0.745，正相关.

corr（x,y,'type','kendall'）

ans=

0.9111

当两者变量独立时，在显著性水平面0.01下，n=10,临界值为0.6,0.9111大于0.6，正相关.

5．

x=[798781;839681;606165;80838